基于时—频包线的非平稳地震动合成及其对结构非线性响应的影响
曲国岩 俞瑞芳
摘要： 地震动频率非平稳特性对结构的非线性响应有重要影响。引入具有统计参数的时-频包线函数来近似模拟地震动频率非平稳特性，建立了以反应谱为目标的非平稳地震动拟合方法。以天然地震动为种子，设计了4种时程拟合方案，得到了满足相同目标谱的4组加速度时程，结果分析表明，（1）本文建立的地震动拟合方法，能够很好地保留原始地震动的非平稳特性和持续时间，且拟合精度较高；（2）基于实际地震动提取的时-频包线函数，能够较好地模拟地震动频率的非平稳特性；（3）基于统计参数定义的时-频包线函数能够近似模拟地震动频率非平稳特性，与真实地震动频率随时间的变化规律符合较好。以这4组地震加速度时程作为输入，分别对层数为7层和15层的规则钢筋混凝土框架结构进行三维非线性时程分析，结果表明，采用仅考虑强度非平稳特性的地震输入，存在低估规则钢筋混凝土结构非线性响应的风险，因此在人工合成地震动中应该考虑其频率的非平稳特性，合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性。
关键词： 随机振动； 地震动； 结构非线性响应； 频率非平稳特性； 地震动合成
中图分类号： O324； TU311.3文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）02-0198-11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.002
引 言
实际地震动是一个非平稳的随机过程。工程中常用的强度包线函数，能够反映地震动强度的非平稳过程，即认为地震动经历一定长度的上升时间段，达到某一强度并保持平稳持续一段时间，然后再缓慢衰减至地震动结束[1]。但强度包线并不能反映实际地震记录中频率随时间变化的特性，即地震动的频率非平稳特性[2]。从结构响应的角度看，地震动的非平稳特性可以理解成地震动能量在频率和时间上的不均匀分布。不少研究表明，地震动的能量如果在频率和时间上分布相对集中，那么它要比能量分布相对均匀的地震动对结构产生更为严重的破坏[3]。因此地震动频率含量变化对结构的影响，特别是对结构非线性时程分析结果将产生不可忽视的影响[4-5]。分析近年来的研究成果，主要分为两类，一类研究结果认为，结构进入非线性状态时，结构频率有降低的趋势，实际地震动在持时后半段低频分量较为丰富，则结构会因共振而产生更大的响应[6-7]，影响程度则与频率的非平稳程度有关[8]；另一类研究结果则认为，结构的最大反应通常发生在强震阶段，而非地震动的后期，由于地震动后期幅值变小很多，即使低频分量变得更显著也不会引起更大的响应[9]。地震动频率的非平稳特性究竟对结构响应有多大的影响，学者们并没有得出明确的结论。
因此，本文的研究目的主要有两个，一是引入具有统计参数的时-频包线函数，近似模擬地震动频率非平稳特性，建立能够反映地震动频率非平稳特性的拟合方法，为结构地震响应分析提供合理的输入；二是通过采用不同的拟合方法，控制地震输入的频谱特性，分析地震动非平稳特性对结构非线性响应的影响。结果分析表明，本文建立的频率非平稳地震动的拟合方法能够近似反映地震动的非平稳特性；地震动频率非平稳特性对规则钢筋混凝土结构的非线性响应有不可忽视的影响，仅考虑地震动的强度非平稳特性，存在低估规则钢筋混凝土结构非线性响应的风险。因此，在实际工程应用中，为了合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性，不应忽视地震动的频率非平稳特性。
1 基于时-频包线函数的地震动合成方法1.1 非平稳地震动合成的基本公式
为了能够反映地震动频率的非平稳变化，本文采用以下随机过程模型[10]，即y（t）=∫∞-∞B（t，ω）eiωtdF（ω）（1）式中 i=-1，B（t，ω）是一个确定的时-频调制函数，表示了一个地震过程绝对幅值的包络。若将B（t，ω）换成工程中常用的仅依赖于时间变化的强度包线函数[11-12]，则式（1）就仅能考虑地震动强度非平稳特性。dF（ω）表示一个零均值，相互独立的正交过程：E[dF（ω）]=0（2）
E[dF*（ω1）dF（ω2）]=δ（ω1-ω2）S（ω1）dω1dω2（3）式中 E[·]表示总体的平均值，δ（·）为狄拉克δ函数，*表示复共轭，S（ω）为dF（ω）的功率谱密度函数。
在地震工程中，时频调制函数只有当它是实数、非负的时候才有意义，即B（t，ω）∈R， B（t，ω）≥0（4） 假设，对于给定的ωk，B（t，ω）有max[B（t，ωk）]=1（5）B（t，ωk）仅确定的是相应于频率ωk的包络线的形状，而ωk处地震动的幅值则由功率谱密度函数S（ωk）来决定。因此，根据式（1），采用三角级数法生成人工地震动时程，即y（t）=∑nk=1B（t，ωk）2S（ωk）Δωcos（ωkt+k）（6）式中 Δω为频率的增量，ωk为离散的频率，k为[0，2π]间均匀分布的随机相位。
很明显，如果根据实际工程需要能够合理地估计对应于不同频率ωk的时频包线函数B（t，ωk），式（6）的计算就会很简单。
1.2 具有统计参数的时-频包线函数B（t，ω）
近年来，能够从时域和频域联合描述地震动强度和频率非平稳特性的瞬时谱得到了发展[13-14]。瞬时谱具有时间和频率分辨能力，能更准确地反映地震动非平稳特性，但是由于对时间和频率的二元函数描述过于复杂，且影响模型参数的因素较多、统计性较差，使瞬时谱无法直接用于工程实践。文献[15]提出了用主频率Fp来近似模拟地震动频率随时间的变化。Fp表示在一系列采样时间点上，对应于时频谱最大幅值的频率值（如图1所示），文献[15]基于对NGA数据库中10545条加速度记录的时-频分析，给出了不同震级、震中距及场地条件下计算Fp的统计参数，非常方便工程应用。主频率计算公式[15]Fp（t）=f0+pe-stsin（ωt）（7） 第2期曲国岩，等： 基于时-频包线的非平稳地震动合成及其对结构非线性响应的影响振 动 工 程 学 报第31卷 式中 Fp表示的是在一系列采样时间点上（t1，t2，…，tn），对应于小波谱的最大幅值的频率值，即主频率；参数f0，p，s，ω具有统计意义，决定了主频率时变曲线的形状。
图1 主频率的定义[15]
Fig.1 Definition of predominant frequencies[15]
对于一系列时间采样点tk，时频谱的变化可以用单峰函数来表示L（f，tk）=fFp（tk）e-f-Fp（tk）Fp（tk）（8）式中 f为频率，Fp（tk）为每个采样时间点tk处的主频率，如式（7）所示。
用E（t）表示地震动的幅值随时间的变化过程，则地震动的时频联合分布可定义为WB（t，f）=E2（t）L（f，t） （9）因此对应于不同的采样频率fk处，时频包线函数B（t，fk）可以通过正规化WB（t，f）得到，即
B（t，fk）=WB（t，fk）/max[WB（t，fk）]，
k=1，2，… （10）
如果选取二类场地、M[6.5，7.0）、R[40-60]的主频参数，即：
Fp（t）=3.392+25e-0.008tsin（-0.004t）（11）
选择双指数函数模型描述地震动的强度变化，即E（t）=I0（e-αt-e-βt）（12）式中 α=0.08，β=0.085，I0=1。即可获得地震动随频率变化的包线函数B（t，ω）。B（t，ω）在频率分别为0.8，5.0，10 Hz的变化曲线如图2所示。可以看出，频率越小，低频分量就变得越突出，也就是说，随频率变化的调制函数B（t，ω）符合地震动频率随时间的变化规律，能够反映地震动频率的变化特性。
图2 具有统计参数的时-频包线函数B（t，ω）
Fig.2 Frequency-dependent amplitude envelope function B（t，ω）1.3 提取实际地震动的时-频包线函数B（t，ω）
基于实际地震动计算的瞬时谱适合于特定地震记录的仿真再现。随着时频分析技术的发展，目前可以采用多种方法对实际地震进行时频分析，例如时变功率谱（瞬时功率谱、渐进功率谱、物理谱）、ARMA模型、Wigner-Ville分布、小波变换和Hibert-Huang变换等[16-19]。
本文采用一维连续小波变换提取能反映实际频谱特性的包线函数B（t，ω）。对于选定的小波函数ψa，b（t），将地震信号y（t）做连续小波变换，即可得到关于时间和尺度的小波系数
WS（a，b）=∫+∞-∞y（t）ψa，b（t）dt=
1a∫+∞-∞y（t）ψ（t-ba）dt （13）
式中 ψa，b（t）为小波函数ψa，b（t）的共轭函数，a为尺度因子，b为平移因子。
相应于尺度因子a的频率Fa可以表示为Fa=Fcfsa（14）式中 Fc为小波基ψ（t）的中心频率，有Fc=1，fs为加速度时程y（t）的采样频率。
对地震动y（t）进行一维连续小波变换，即得到强震记录y（t）在小波函数上的分量，展开参数a和b，即可得到任意时刻、任意尺度的频谱。将尺度换算成频率，从而得到关于时间和频率的小波谱WS（t，ω）。因此，式（6）中相应于不同ωk处的B（t，ωk）就可以通过规则化小波谱，即
B（t，ωk）=WS（t，ωk）/max[WS（t，ωk）]，
k=1，2，… （15）
式中 k为离散频率的点数。图3给出了Imperial Valley-06地震记录的频率为0.8，5.0，10 Hz的包线函数。与图2给出的频率变化曲线相比，该方法得到的包线函数随时间变化呈现出不同的抖动状态，而图2中时频包线函数过于光滑，因此，采用式（10）所示的包线函数进行地震动拟合时，会忽略了实际地震动的一些细小因素。
图3 提取天然地震动不同频率处的包线函数B（t，ω）
Fig.3 Frequency-dependent amplitude envelope function B（t，ω） at different frequencies of natural ground motion2 基于反应谱的频率非平稳地震动拟合 基于目标反应谱对初始地震动进行调节的目的是，使调整后的地震动在能够真实反映实际地震动频谱特性的同时，满足对目标反应谱的拟合精度[20-21]。本文基于目标反应谱、地震动主频率时变曲线，采用在时域叠加加速度脉冲响应函数的方法，并引入随频率变化的包线函数，建立了能够实现多个目标的频率非平稳地震动的拟合方法。
在时域内对初始地震动进行调整时，由于对时程的微小调整不会影响最大反应发生的时间，因此可以使产生的加速度时程既满足规范的目标反应谱，又保留了原地震动记录的非平稳特性和持续时间[22]。
如果设经过k次调整后的加速度时程为akg（t），对于控制频率ωk，若计算反应谱与目标反应谱之间的差值为δS，则定义叠加的加速度時程δag（t）为δag（t）=r·h（tm-t）B（t，ωk）， t≤tm（16）式中 tm为单自由度体系最大反应发生的时刻；B（t，ωk）为本文定义的时频包线函数；r为振幅调整系数，可由计算反应谱Sa（ω）与目标反应谱STa（ω）的差值δS确定，即δS=Cr （17）式中C=∫tm0[h（tm-π）]2dτ（18）上式中，叠加的脉冲加速度函数表示为
h（t-tm）=eζωk（t-tm）cos（ωkt+k）， t≤tm （19）
式中 ζ为阻尼比；k为加速度脉冲函数的初始相位。
将C值代入式（17）确定振幅调整系数r，再将r代入式（16）就可以确定相应于频率ωk的调整时程δag（t）。
经过一次调整后的地震时程ak+1g（t）为ak+1g（t）=akg（t）+δag（t）（20） 将ak+1g（t）作为调整下一个控制点反应谱的初始时程，采用式（16）～（20）确定控制频率的调整波。由于在初始地震动和调整时程中都计入了对频率变化的控制，因此在完成对目标反应谱拟合的同时，可以近似模拟地震动频率非平稳特性。
在这个过程中，每一个频率控制点的调整都会影响其他控制点，这些影响可以通过多次迭代的方法减轻，直至地震动时程的反应谱与目标反应谱的误差满足精度要求。
3 设计地震动拟合〖*8〗3.1 时程方案设计 本文以图4（b）所示的β谱[23]作为目标反应谱进行地震动拟合，其中设计地震动峰值加速度Amax=0.268g，特征周期Tg=0.40 s，结构的阻尼比ζ=0.05，动力放大系数最大值βm=2.2，曲线下降段的衰减指数r=0.9。本文取80个控制点确定目标反应谱STa，允许误差为5%。
图4 原始地震动及其反应谱与目标谱的比较
Fig.4 Original ground motion and comparison between its response spectrum and the target response spectrum
选取1979年Imperial Valley-06水平地震记录作为种子时程，如图4（a）所示，其计算反应谱与选定的目标谱拟合情况如图4（b）所示。为了研究地震动频率非平稳特性对结构非线性响应的影响，本文设计了4种不同的输入方案：
方案1：Acc_wave1，以Imperial Valley地震动作为初始地震动，采用式（20）在时域内进行调整，使之满足目标反应谱；
方案2：Acc_wave2，仅考虑地震动强度非平稳特性，采用三段式强度包络函数在时域内对初始地震动进行调整，包线参数提取Imperial Valley地震加速度记录的5%和75%Arias强度对应的时刻，即t1=6.395 s，t2=16.07 s，c=0.1，为了考虑相位随机性的影响，对于该时程方案，分别合成5个不同随机相位的地震动时程，分别记为Acc_wave2（a），Acc_wave2（b），Acc_wave2（c），Acc_wave2（d），Acc_wave2（e）；
方案3：Acc_wave3，根据1.3节中给出的方法，提取Imperial Valley地震加速度记录的时-频包线函数B（t，ω），采用式（20）在时域内进行调整，使其满足目标反应谱；
方案4：Acc_wave4，根据1.2节中的方法，确定具有统计意义的时-频包线函数B（t，ω），并采用式（20）在时域内进行调整，使其满足目标反应谱；根据Imperial Valley地震加速度记录的实际条件选取主频率参数，即基于二类场地、M[6.5，7.0）、R[40-60]水平向[15]确定的主频参数模型，构造时-频谱的强度包线参数采用方案2中的参数。
图5 地震动加速度时程曲线
Fig.5 Acceleration time histories
图6 地震动主频率时变曲线
Fig.6 Time-varying curves of the predominant frequency
3.2 时程拟合结果分析
图5，6分别给出了原始Imperial Valley时程、Acc_wave1到Acc_wave4拟合的加速度时程曲线图及主频率时变曲线图，由于篇幅原因，这里只列出了方案2中5条不同随机相位时程中的Acc_wave2（a）。与原始时程Imperial Valley相比，可以看出：（1）经过时域调整得到的时程Acc_wave1很好地保留了原始时程的频谱变化特性；（2）基于实际地震动提取的时-频包线函数合成的地震动Acc_wave3，能够较好地模拟地震动的频率非平稳特性；（3）基于统计参数的时-频包线函数合成的地震动Acc_wave4能够近似模拟地震动非平稳特性，与实际地震记录频率随时间的变化规律符合较好；（4）基于强度包線函数合成的时程Acc_wave2虽然在形状上大致保留了原始记录的强度变化情况，但频率变化相对比较均匀，未能反映出频率的时变特性。
图7给出了4条地震时程计算反应谱与目标反应谱的拟合情况，可以看出，采用时域叠加脉冲响应函数的调整方法，每条地震动与目标谱的拟合效果都很好。图8为4条时程功率谱的变化曲线，4条时程的功率谱变化趋势也都比较接近。4种调整方法得到的主频率比较接近，大约为2 Hz左右。
图7 反应谱的拟合情况
Fig.7 Fitting of the response spectrum
图8 功率谱变化曲线
Fig.8 Time-varying curves of the power spectrum4 结构的选型及非线性时程分析〖*2〗4.1 结构模型 本文仅讨论比较规则的结构形式。选择2个不同高度的钢筋混凝土框架结构模型。模型1为3跨7层结构，模型2为5跨15层结构，立面图如图9所示。底层框架柱为600 mm×600 mm，中间层框架柱550 mm×550 mm，其余层框架柱500 mm×500 mm，所有框架梁为300 mm×500 mm，现浇板厚度为120 mm。混凝土强度等级柱子为C40、梁和板均为C30。楼面恒荷载为4 kN/m2，楼面屋面活荷载为2 kN/m2。模型的前3阶振型周期及频率如表1所示。
图9 模型1，2的立面图
Fig.9 Elevation drawing of model 1 and 2
表1 模型1，2前3阶振型周期及频率
Tab.1 The former 3 step vibration shape and frequency
模型振型/阶周期/s频率/Hz10.96991.0310120.91091.097830.77871.284212.44080.4097222.37450.421132.03090.49244.2 结构非线性时程反应分析
本文采用通用有限元软件SAP2000建立三维框架模型，采用设计的4种时程输入方案，分别对模型1，2进行结构非线性反应分析。
4.2.1 滞回曲线
图10，11分别给出了2个结构底层剪力-位移变化曲线。可以看出，剪力-位移曲线呈现出明显的非线性变化，结构进入非线性阶段，并且滞回曲线面积较大，表明结构具有一定的耗能能力。
图10 模型1底层剪力-位移曲线
Fig.10 Shear force-displacement for the bottom floor of model 1
图11 模型2底层剪力-位移曲线
Fig.11 Shear force-displacement for the bottom floor of model 2
4.2.2 结果分析
下面将以时程方案1，即Acc_wave1作用下的计算结果为基准，分别对模型1，2的楼层位移响应和层间位移响应结果进行讨论，其中方案2的结果是统计5条不同相位时程作用结果的平均值。模型1最大楼层位移曲线如图12所示。可以看出：方案3和4作用下的结构楼层位移总体上偏大，而方案2计算的结果则偏小，且随着楼层的增高，偏小程度越大。方案2，3，4下，结构顶点位移值与基准方案1结果的相对误差如表2所示，相对误差δ按下式计算δ=（D-D1）D1×100% （21）式中 D为方案2，3，4分别作用下的计算结果；D1为方案1顶点位移计算结果。若δ为正，则大于方案1的计算结果；若δ为负，则小于方案1的计算结果。对于模型1，D1=60.0 mm。从表中数据可以看出，只有方案2计算的结果偏小，且偏离程度较大。
图12 模型1最大楼层位移
Fig.12 Maximum floor displacement of model 1
表2 模型1顶点位移及相对误差
Tab.2 The top displacement and relative error of model 1
时程方案顶点位移/mmδ/%Acc_wave257.5-4.2Acc_wave361.62.7Acc_wave460.71.2
模型1层间位移曲线如图13所示。可以看出，在较高的楼层处，结构的层间位移值比较小，且4种方案作用的結果几乎接近；但在结构的薄弱层附近，方案3，4计算的位移响应结果偏大且比较接近方案1 的结果；方案2的结果明显偏小，且偏离程度较大。表3给出了薄弱层附近的层间位移值及与基准
图13 模型1层间位移
Fig.13 Maximum story displacement of model 1表3 模型1层间位移及相对误差（单位：mm）
Tab.3 The story displacement and relative error of model 1 （Unit：mm）
楼层方案1方案2方案3方案4层间位移层间位移均值δ/%层间位移δ/%层间位移δ/%411.6811.31-3.1712.375.9112.426.34313.9812.95-7.3714.231.7914.382.86212.5711.71-6.8412.590.1612.47-0.8017.787.43-4.507.71-0.907.70-1.03
方案1结果的相对误差。分析以上结果可以看出，只有方案2全部计算结果偏小，且偏离程度相对较大；方案3，4计算结果总体偏大，个别值偏小，但是偏离程度较小。
模型2最大楼层位移曲线、层间位移曲线分别如图14，15所示。观察可知：方案3的计算结果均偏大；方案2和4作用的结果总体上小于方案1的结果，且方案2作用下的楼层位移结果随着楼层的增高偏离越来越大，薄弱层附近的层间位移结果相对偏小，且偏离程度较大。方案2，3，4下，结构顶点位移及层间位移与基准方案1结果的相对误差如表4，5所示，对于模型2，D1=170.7 mm
图14 模型2最大楼层位移
Fig.14 Maximum floor displacement of model 2
观察可知：只有方案3的计算结果全部偏大；方案2和4作用的部分结果偏小，但方案4的结果更接近方案1的结果，尤其是薄弱层处。虽然模型1，2的自振周期不同，但是在方案2作用下，尤其是薄弱层附近的层间位移响应，相对其他时程方案偏小。图15 模型2层间位移
Fig.15 Maximum story displacement of model 2
表4 模型2顶点位移及相对误差
Tab.4 The top displacement and relative error of
model 2
时程方案顶点位移/mmδ/%Acc_wave2160.0-6.2Acc_wave3197.915.9Acc_wave4166.7-2.4
综合以上分析：（1）基于原始时程提取的时频包线函数合成的频率非平稳地震动基本上能够安全地估计结构的响应；（2）仅考虑强度非平稳特性合成的人工地震动，会低估结构的顶点位移响应和薄弱层的位移响应值；（3）本文提出的具有统计参数的时频包线函数合成的频率非平稳地震动，相对于强度非平稳地震动能够较好地估计结构的地震响应，但是对于部分响应结果仍偏于保守，所以仍需进一步的研究改进。表5 模型2层间位移及相对误差（单位：mm）
Tab.5 The story displacement and relative error of model 2 （Unit： mm）
楼层方案1方案2方案3方案4层间位移层间位移均值δ/%层间位移δ/%层间位移δ/%911.539.53-17.3513.3115.4410.65-7.63813.4211.93-11.1016.3521.8312.81-4.55715.6714.44-7.8519.2923.1014.86-5.17618.6616.39-12.1721.8617.1517.17-7.98520.3018.22-10.2523.1413.9919.06-6.11420.8119.13-8.0723.4712.7820.42-1.92319.7018.67-5.2322.2813.1020.142.23216.2216.300.4918.6214.8018.0010.9719.8210.537.2311.5317.4111.9621.795 结 论
本文通过引入具有统计意义的时-频包线函数，建立了匹配多目标的频率非平稳地震动合成方法；并将不同方法拟合得到的4种地震加速度记录作为输入，对不同特性的规则钢筋混凝土框架结构进行非线性时程分析，得出以下结论：
（1）在时域中通过叠加加速度脉冲响应函数，对初始地震动进行多目标的拟合方法能够很好地保留原始地震动的非平稳特性和持续时间，而且拟合精度较高；
（2）基于实际地震动提取的时-频包线函数，能够较好地模拟地震动的频率非平稳特性；
（3）基于统计参数构造的时-频包线函数能够近似模拟地震动非平稳特性，符合实际地震加速度记录频率随时间的变化规律；
（4）地震动的频率非平稳特性对结构的非线性响应有着不可忽视的影响，仅考虑强度非平稳特性合成的人工地震动输入存在低估结构的某些非线性响应的风险。
因此，在实际合成地震动过程中应该考虑频率的非平稳特性，合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性。
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Simulation method of earthquake ground motion based on frequency-dependent
amplitude envelope function and its influence on the
structural nonlinear responses
QU Guo-yan， YU Rui-fang
（Institute of Geophysics， China Earthquake Administration， Beijing 100081， China）
Abstract： The non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion has an important effect on structural nonlinear responses. By introducing a frequency-dependent amplitude envelope function with statistical parameters to simulate the non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion， a method is developed for the non-stationary earthquake ground motion， which takes the response spectrum as the target. Taking the natural ground motion as the seed， four acceleration time histories for the same target spectrum are obtained by using four different methods. The results suggest that：（1） The fitting method developed could preserve the non-stationarity and duration of the original time history with higher fitting precision；（2） Based on the frequency-dependent amplitude envelope function of the natural ground motion， the earthquake ground motion can be used to simulate the non-stationarity of frequency better；（3） The one based on the frequency-dependent amplitude envelope function with statistical significance is able to simulate the non-stationarity of frequencies approximately， which agrees with the frequency time-variation of the natural ground motion. Taking the four time histories as input， the nonlinear time-history analysis of the reinforced concrete frame structure with 7 and 15 layers are presented. The results show that there exists the risk of underestimating the reinforced concrete structural nonlinear response under the earthquake ground motion only considering the non-stationarity of the intensity. Therefore， the non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion should be considered in the simulation of the artificial ground motion. In this way， the structural nonlinear responses could be estimated reasonably and the safety of the structure design can be guaranteed.
Key words： random vibration； earthquake ground motion； structural nonlinear responses； non-stationarity of frequency； simulation of earthquake ground motion
摘要： 地震动频率非平稳特性对结构的非线性响应有重要影响。引入具有统计参数的时-频包线函数来近似模拟地震动频率非平稳特性，建立了以反应谱为目标的非平稳地震动拟合方法。以天然地震动为种子，设计了4种时程拟合方案，得到了满足相同目标谱的4组加速度时程，结果分析表明，（1）本文建立的地震动拟合方法，能够很好地保留原始地震动的非平稳特性和持续时间，且拟合精度较高；（2）基于实际地震动提取的时-频包线函数，能够较好地模拟地震动频率的非平稳特性；（3）基于统计参数定义的时-频包线函数能够近似模拟地震动频率非平稳特性，与真实地震动频率随时间的变化规律符合较好。以这4组地震加速度时程作为输入，分别对层数为7层和15层的规则钢筋混凝土框架结构进行三维非线性时程分析，结果表明，采用仅考虑强度非平稳特性的地震输入，存在低估规则钢筋混凝土结构非线性响应的风险，因此在人工合成地震动中应该考虑其频率的非平稳特性，合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性。
关键词： 随机振动； 地震动； 结构非线性响应； 频率非平稳特性； 地震动合成
中图分类号： O324； TU311.3文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）02-0198-11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.002
引 言
实际地震动是一个非平稳的随机过程。工程中常用的强度包线函数，能够反映地震动强度的非平稳过程，即认为地震动经历一定长度的上升时间段，达到某一强度并保持平稳持续一段时间，然后再缓慢衰减至地震动结束[1]。但强度包线并不能反映实际地震记录中频率随时间变化的特性，即地震动的频率非平稳特性[2]。从结构响应的角度看，地震动的非平稳特性可以理解成地震动能量在频率和时间上的不均匀分布。不少研究表明，地震动的能量如果在频率和时间上分布相对集中，那么它要比能量分布相对均匀的地震动对结构产生更为严重的破坏[3]。因此地震动频率含量变化对结构的影响，特别是对结构非线性时程分析结果将产生不可忽视的影响[4-5]。分析近年来的研究成果，主要分为两类，一类研究结果认为，结构进入非线性状态时，结构频率有降低的趋势，实际地震动在持时后半段低频分量较为丰富，则结构会因共振而产生更大的响应[6-7]，影响程度则与频率的非平稳程度有关[8]；另一类研究结果则认为，结构的最大反应通常发生在强震阶段，而非地震动的后期，由于地震动后期幅值变小很多，即使低频分量变得更显著也不会引起更大的响应[9]。地震动频率的非平稳特性究竟对结构响应有多大的影响，学者们并没有得出明确的结论。
因此，本文的研究目的主要有两个，一是引入具有统计参数的时-频包线函数，近似模擬地震动频率非平稳特性，建立能够反映地震动频率非平稳特性的拟合方法，为结构地震响应分析提供合理的输入；二是通过采用不同的拟合方法，控制地震输入的频谱特性，分析地震动非平稳特性对结构非线性响应的影响。结果分析表明，本文建立的频率非平稳地震动的拟合方法能够近似反映地震动的非平稳特性；地震动频率非平稳特性对规则钢筋混凝土结构的非线性响应有不可忽视的影响，仅考虑地震动的强度非平稳特性，存在低估规则钢筋混凝土结构非线性响应的风险。因此，在实际工程应用中，为了合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性，不应忽视地震动的频率非平稳特性。
1 基于时-频包线函数的地震动合成方法1.1 非平稳地震动合成的基本公式
为了能够反映地震动频率的非平稳变化，本文采用以下随机过程模型[10]，即y（t）=∫∞-∞B（t，ω）eiωtdF（ω）（1）式中 i=-1，B（t，ω）是一个确定的时-频调制函数，表示了一个地震过程绝对幅值的包络。若将B（t，ω）换成工程中常用的仅依赖于时间变化的强度包线函数[11-12]，则式（1）就仅能考虑地震动强度非平稳特性。dF（ω）表示一个零均值，相互独立的正交过程：E[dF（ω）]=0（2）
E[dF*（ω1）dF（ω2）]=δ（ω1-ω2）S（ω1）dω1dω2（3）式中 E[·]表示总体的平均值，δ（·）为狄拉克δ函数，*表示复共轭，S（ω）为dF（ω）的功率谱密度函数。
在地震工程中，时频调制函数只有当它是实数、非负的时候才有意义，即B（t，ω）∈R， B（t，ω）≥0（4） 假设，对于给定的ωk，B（t，ω）有max[B（t，ωk）]=1（5）B（t，ωk）仅确定的是相应于频率ωk的包络线的形状，而ωk处地震动的幅值则由功率谱密度函数S（ωk）来决定。因此，根据式（1），采用三角级数法生成人工地震动时程，即y（t）=∑nk=1B（t，ωk）2S（ωk）Δωcos（ωkt+k）（6）式中 Δω为频率的增量，ωk为离散的频率，k为[0，2π]间均匀分布的随机相位。
很明显，如果根据实际工程需要能够合理地估计对应于不同频率ωk的时频包线函数B（t，ωk），式（6）的计算就会很简单。
1.2 具有统计参数的时-频包线函数B（t，ω）
近年来，能够从时域和频域联合描述地震动强度和频率非平稳特性的瞬时谱得到了发展[13-14]。瞬时谱具有时间和频率分辨能力，能更准确地反映地震动非平稳特性，但是由于对时间和频率的二元函数描述过于复杂，且影响模型参数的因素较多、统计性较差，使瞬时谱无法直接用于工程实践。文献[15]提出了用主频率Fp来近似模拟地震动频率随时间的变化。Fp表示在一系列采样时间点上，对应于时频谱最大幅值的频率值（如图1所示），文献[15]基于对NGA数据库中10545条加速度记录的时-频分析，给出了不同震级、震中距及场地条件下计算Fp的统计参数，非常方便工程应用。主频率计算公式[15]Fp（t）=f0+pe-stsin（ωt）（7） 第2期曲国岩，等： 基于时-频包线的非平稳地震动合成及其对结构非线性响应的影响振 动 工 程 学 报第31卷 式中 Fp表示的是在一系列采样时间点上（t1，t2，…，tn），对应于小波谱的最大幅值的频率值，即主频率；参数f0，p，s，ω具有统计意义，决定了主频率时变曲线的形状。
图1 主频率的定义[15]
Fig.1 Definition of predominant frequencies[15]
对于一系列时间采样点tk，时频谱的变化可以用单峰函数来表示L（f，tk）=fFp（tk）e-f-Fp（tk）Fp（tk）（8）式中 f为频率，Fp（tk）为每个采样时间点tk处的主频率，如式（7）所示。
用E（t）表示地震动的幅值随时间的变化过程，则地震动的时频联合分布可定义为WB（t，f）=E2（t）L（f，t） （9）因此对应于不同的采样频率fk处，时频包线函数B（t，fk）可以通过正规化WB（t，f）得到，即
B（t，fk）=WB（t，fk）/max[WB（t，fk）]，
k=1，2，… （10）
如果选取二类场地、M[6.5，7.0）、R[40-60]的主频参数，即：
Fp（t）=3.392+25e-0.008tsin（-0.004t）（11）
选择双指数函数模型描述地震动的强度变化，即E（t）=I0（e-αt-e-βt）（12）式中 α=0.08，β=0.085，I0=1。即可获得地震动随频率变化的包线函数B（t，ω）。B（t，ω）在频率分别为0.8，5.0，10 Hz的变化曲线如图2所示。可以看出，频率越小，低频分量就变得越突出，也就是说，随频率变化的调制函数B（t，ω）符合地震动频率随时间的变化规律，能够反映地震动频率的变化特性。
图2 具有统计参数的时-频包线函数B（t，ω）
Fig.2 Frequency-dependent amplitude envelope function B（t，ω）1.3 提取实际地震动的时-频包线函数B（t，ω）
基于实际地震动计算的瞬时谱适合于特定地震记录的仿真再现。随着时频分析技术的发展，目前可以采用多种方法对实际地震进行时频分析，例如时变功率谱（瞬时功率谱、渐进功率谱、物理谱）、ARMA模型、Wigner-Ville分布、小波变换和Hibert-Huang变换等[16-19]。
本文采用一维连续小波变换提取能反映实际频谱特性的包线函数B（t，ω）。对于选定的小波函数ψa，b（t），将地震信号y（t）做连续小波变换，即可得到关于时间和尺度的小波系数
WS（a，b）=∫+∞-∞y（t）ψa，b（t）dt=
1a∫+∞-∞y（t）ψ（t-ba）dt （13）
式中 ψa，b（t）为小波函数ψa，b（t）的共轭函数，a为尺度因子，b为平移因子。
相应于尺度因子a的频率Fa可以表示为Fa=Fcfsa（14）式中 Fc为小波基ψ（t）的中心频率，有Fc=1，fs为加速度时程y（t）的采样频率。
对地震动y（t）进行一维连续小波变换，即得到强震记录y（t）在小波函数上的分量，展开参数a和b，即可得到任意时刻、任意尺度的频谱。将尺度换算成频率，从而得到关于时间和频率的小波谱WS（t，ω）。因此，式（6）中相应于不同ωk处的B（t，ωk）就可以通过规则化小波谱，即
B（t，ωk）=WS（t，ωk）/max[WS（t，ωk）]，
k=1，2，… （15）
式中 k为离散频率的点数。图3给出了Imperial Valley-06地震记录的频率为0.8，5.0，10 Hz的包线函数。与图2给出的频率变化曲线相比，该方法得到的包线函数随时间变化呈现出不同的抖动状态，而图2中时频包线函数过于光滑，因此，采用式（10）所示的包线函数进行地震动拟合时，会忽略了实际地震动的一些细小因素。
图3 提取天然地震动不同频率处的包线函数B（t，ω）
Fig.3 Frequency-dependent amplitude envelope function B（t，ω） at different frequencies of natural ground motion2 基于反应谱的频率非平稳地震动拟合 基于目标反应谱对初始地震动进行调节的目的是，使调整后的地震动在能够真实反映实际地震动频谱特性的同时，满足对目标反应谱的拟合精度[20-21]。本文基于目标反应谱、地震动主频率时变曲线，采用在时域叠加加速度脉冲响应函数的方法，并引入随频率变化的包线函数，建立了能够实现多个目标的频率非平稳地震动的拟合方法。
在时域内对初始地震动进行调整时，由于对时程的微小调整不会影响最大反应发生的时间，因此可以使产生的加速度时程既满足规范的目标反应谱，又保留了原地震动记录的非平稳特性和持续时间[22]。
如果设经过k次调整后的加速度时程为akg（t），对于控制频率ωk，若计算反应谱与目标反应谱之间的差值为δS，则定义叠加的加速度時程δag（t）为δag（t）=r·h（tm-t）B（t，ωk）， t≤tm（16）式中 tm为单自由度体系最大反应发生的时刻；B（t，ωk）为本文定义的时频包线函数；r为振幅调整系数，可由计算反应谱Sa（ω）与目标反应谱STa（ω）的差值δS确定，即δS=Cr （17）式中C=∫tm0[h（tm-π）]2dτ（18）上式中，叠加的脉冲加速度函数表示为
h（t-tm）=eζωk（t-tm）cos（ωkt+k）， t≤tm （19）
式中 ζ为阻尼比；k为加速度脉冲函数的初始相位。
将C值代入式（17）确定振幅调整系数r，再将r代入式（16）就可以确定相应于频率ωk的调整时程δag（t）。
经过一次调整后的地震时程ak+1g（t）为ak+1g（t）=akg（t）+δag（t）（20） 将ak+1g（t）作为调整下一个控制点反应谱的初始时程，采用式（16）～（20）确定控制频率的调整波。由于在初始地震动和调整时程中都计入了对频率变化的控制，因此在完成对目标反应谱拟合的同时，可以近似模拟地震动频率非平稳特性。
在这个过程中，每一个频率控制点的调整都会影响其他控制点，这些影响可以通过多次迭代的方法减轻，直至地震动时程的反应谱与目标反应谱的误差满足精度要求。
3 设计地震动拟合〖*8〗3.1 时程方案设计 本文以图4（b）所示的β谱[23]作为目标反应谱进行地震动拟合，其中设计地震动峰值加速度Amax=0.268g，特征周期Tg=0.40 s，结构的阻尼比ζ=0.05，动力放大系数最大值βm=2.2，曲线下降段的衰减指数r=0.9。本文取80个控制点确定目标反应谱STa，允许误差为5%。
图4 原始地震动及其反应谱与目标谱的比较
Fig.4 Original ground motion and comparison between its response spectrum and the target response spectrum
选取1979年Imperial Valley-06水平地震记录作为种子时程，如图4（a）所示，其计算反应谱与选定的目标谱拟合情况如图4（b）所示。为了研究地震动频率非平稳特性对结构非线性响应的影响，本文设计了4种不同的输入方案：
方案1：Acc_wave1，以Imperial Valley地震动作为初始地震动，采用式（20）在时域内进行调整，使之满足目标反应谱；
方案2：Acc_wave2，仅考虑地震动强度非平稳特性，采用三段式强度包络函数在时域内对初始地震动进行调整，包线参数提取Imperial Valley地震加速度记录的5%和75%Arias强度对应的时刻，即t1=6.395 s，t2=16.07 s，c=0.1，为了考虑相位随机性的影响，对于该时程方案，分别合成5个不同随机相位的地震动时程，分别记为Acc_wave2（a），Acc_wave2（b），Acc_wave2（c），Acc_wave2（d），Acc_wave2（e）；
方案3：Acc_wave3，根据1.3节中给出的方法，提取Imperial Valley地震加速度记录的时-频包线函数B（t，ω），采用式（20）在时域内进行调整，使其满足目标反应谱；
方案4：Acc_wave4，根据1.2节中的方法，确定具有统计意义的时-频包线函数B（t，ω），并采用式（20）在时域内进行调整，使其满足目标反应谱；根据Imperial Valley地震加速度记录的实际条件选取主频率参数，即基于二类场地、M[6.5，7.0）、R[40-60]水平向[15]确定的主频参数模型，构造时-频谱的强度包线参数采用方案2中的参数。
图5 地震动加速度时程曲线
Fig.5 Acceleration time histories
图6 地震动主频率时变曲线
Fig.6 Time-varying curves of the predominant frequency
3.2 时程拟合结果分析
图5，6分别给出了原始Imperial Valley时程、Acc_wave1到Acc_wave4拟合的加速度时程曲线图及主频率时变曲线图，由于篇幅原因，这里只列出了方案2中5条不同随机相位时程中的Acc_wave2（a）。与原始时程Imperial Valley相比，可以看出：（1）经过时域调整得到的时程Acc_wave1很好地保留了原始时程的频谱变化特性；（2）基于实际地震动提取的时-频包线函数合成的地震动Acc_wave3，能够较好地模拟地震动的频率非平稳特性；（3）基于统计参数的时-频包线函数合成的地震动Acc_wave4能够近似模拟地震动非平稳特性，与实际地震记录频率随时间的变化规律符合较好；（4）基于强度包線函数合成的时程Acc_wave2虽然在形状上大致保留了原始记录的强度变化情况，但频率变化相对比较均匀，未能反映出频率的时变特性。
图7给出了4条地震时程计算反应谱与目标反应谱的拟合情况，可以看出，采用时域叠加脉冲响应函数的调整方法，每条地震动与目标谱的拟合效果都很好。图8为4条时程功率谱的变化曲线，4条时程的功率谱变化趋势也都比较接近。4种调整方法得到的主频率比较接近，大约为2 Hz左右。
图7 反应谱的拟合情况
Fig.7 Fitting of the response spectrum
图8 功率谱变化曲线
Fig.8 Time-varying curves of the power spectrum4 结构的选型及非线性时程分析〖*2〗4.1 结构模型 本文仅讨论比较规则的结构形式。选择2个不同高度的钢筋混凝土框架结构模型。模型1为3跨7层结构，模型2为5跨15层结构，立面图如图9所示。底层框架柱为600 mm×600 mm，中间层框架柱550 mm×550 mm，其余层框架柱500 mm×500 mm，所有框架梁为300 mm×500 mm，现浇板厚度为120 mm。混凝土强度等级柱子为C40、梁和板均为C30。楼面恒荷载为4 kN/m2，楼面屋面活荷载为2 kN/m2。模型的前3阶振型周期及频率如表1所示。
图9 模型1，2的立面图
Fig.9 Elevation drawing of model 1 and 2
表1 模型1，2前3阶振型周期及频率
Tab.1 The former 3 step vibration shape and frequency
模型振型/阶周期/s频率/Hz10.96991.0310120.91091.097830.77871.284212.44080.4097222.37450.421132.03090.49244.2 结构非线性时程反应分析
本文采用通用有限元软件SAP2000建立三维框架模型，采用设计的4种时程输入方案，分别对模型1，2进行结构非线性反应分析。
4.2.1 滞回曲线
图10，11分别给出了2个结构底层剪力-位移变化曲线。可以看出，剪力-位移曲线呈现出明显的非线性变化，结构进入非线性阶段，并且滞回曲线面积较大，表明结构具有一定的耗能能力。
图10 模型1底层剪力-位移曲线
Fig.10 Shear force-displacement for the bottom floor of model 1
图11 模型2底层剪力-位移曲线
Fig.11 Shear force-displacement for the bottom floor of model 2
4.2.2 结果分析
下面将以时程方案1，即Acc_wave1作用下的计算结果为基准，分别对模型1，2的楼层位移响应和层间位移响应结果进行讨论，其中方案2的结果是统计5条不同相位时程作用结果的平均值。模型1最大楼层位移曲线如图12所示。可以看出：方案3和4作用下的结构楼层位移总体上偏大，而方案2计算的结果则偏小，且随着楼层的增高，偏小程度越大。方案2，3，4下，结构顶点位移值与基准方案1结果的相对误差如表2所示，相对误差δ按下式计算δ=（D-D1）D1×100% （21）式中 D为方案2，3，4分别作用下的计算结果；D1为方案1顶点位移计算结果。若δ为正，则大于方案1的计算结果；若δ为负，则小于方案1的计算结果。对于模型1，D1=60.0 mm。从表中数据可以看出，只有方案2计算的结果偏小，且偏离程度较大。
图12 模型1最大楼层位移
Fig.12 Maximum floor displacement of model 1
表2 模型1顶点位移及相对误差
Tab.2 The top displacement and relative error of model 1
时程方案顶点位移/mmδ/%Acc_wave257.5-4.2Acc_wave361.62.7Acc_wave460.71.2
模型1层间位移曲线如图13所示。可以看出，在较高的楼层处，结构的层间位移值比较小，且4种方案作用的結果几乎接近；但在结构的薄弱层附近，方案3，4计算的位移响应结果偏大且比较接近方案1 的结果；方案2的结果明显偏小，且偏离程度较大。表3给出了薄弱层附近的层间位移值及与基准
图13 模型1层间位移
Fig.13 Maximum story displacement of model 1表3 模型1层间位移及相对误差（单位：mm）
Tab.3 The story displacement and relative error of model 1 （Unit：mm）
楼层方案1方案2方案3方案4层间位移层间位移均值δ/%层间位移δ/%层间位移δ/%411.6811.31-3.1712.375.9112.426.34313.9812.95-7.3714.231.7914.382.86212.5711.71-6.8412.590.1612.47-0.8017.787.43-4.507.71-0.907.70-1.03
方案1结果的相对误差。分析以上结果可以看出，只有方案2全部计算结果偏小，且偏离程度相对较大；方案3，4计算结果总体偏大，个别值偏小，但是偏离程度较小。
模型2最大楼层位移曲线、层间位移曲线分别如图14，15所示。观察可知：方案3的计算结果均偏大；方案2和4作用的结果总体上小于方案1的结果，且方案2作用下的楼层位移结果随着楼层的增高偏离越来越大，薄弱层附近的层间位移结果相对偏小，且偏离程度较大。方案2，3，4下，结构顶点位移及层间位移与基准方案1结果的相对误差如表4，5所示，对于模型2，D1=170.7 mm
图14 模型2最大楼层位移
Fig.14 Maximum floor displacement of model 2
观察可知：只有方案3的计算结果全部偏大；方案2和4作用的部分结果偏小，但方案4的结果更接近方案1的结果，尤其是薄弱层处。虽然模型1，2的自振周期不同，但是在方案2作用下，尤其是薄弱层附近的层间位移响应，相对其他时程方案偏小。图15 模型2层间位移
Fig.15 Maximum story displacement of model 2
表4 模型2顶点位移及相对误差
Tab.4 The top displacement and relative error of
model 2
时程方案顶点位移/mmδ/%Acc_wave2160.0-6.2Acc_wave3197.915.9Acc_wave4166.7-2.4
综合以上分析：（1）基于原始时程提取的时频包线函数合成的频率非平稳地震动基本上能够安全地估计结构的响应；（2）仅考虑强度非平稳特性合成的人工地震动，会低估结构的顶点位移响应和薄弱层的位移响应值；（3）本文提出的具有统计参数的时频包线函数合成的频率非平稳地震动，相对于强度非平稳地震动能够较好地估计结构的地震响应，但是对于部分响应结果仍偏于保守，所以仍需进一步的研究改进。表5 模型2层间位移及相对误差（单位：mm）
Tab.5 The story displacement and relative error of model 2 （Unit： mm）
楼层方案1方案2方案3方案4层间位移层间位移均值δ/%层间位移δ/%层间位移δ/%911.539.53-17.3513.3115.4410.65-7.63813.4211.93-11.1016.3521.8312.81-4.55715.6714.44-7.8519.2923.1014.86-5.17618.6616.39-12.1721.8617.1517.17-7.98520.3018.22-10.2523.1413.9919.06-6.11420.8119.13-8.0723.4712.7820.42-1.92319.7018.67-5.2322.2813.1020.142.23216.2216.300.4918.6214.8018.0010.9719.8210.537.2311.5317.4111.9621.795 结 论
本文通过引入具有统计意义的时-频包线函数，建立了匹配多目标的频率非平稳地震动合成方法；并将不同方法拟合得到的4种地震加速度记录作为输入，对不同特性的规则钢筋混凝土框架结构进行非线性时程分析，得出以下结论：
（1）在时域中通过叠加加速度脉冲响应函数，对初始地震动进行多目标的拟合方法能够很好地保留原始地震动的非平稳特性和持续时间，而且拟合精度较高；
（2）基于实际地震动提取的时-频包线函数，能够较好地模拟地震动的频率非平稳特性；
（3）基于统计参数构造的时-频包线函数能够近似模拟地震动非平稳特性，符合实际地震加速度记录频率随时间的变化规律；
（4）地震动的频率非平稳特性对结构的非线性响应有着不可忽视的影响，仅考虑强度非平稳特性合成的人工地震动输入存在低估结构的某些非线性响应的风险。
因此，在实际合成地震动过程中应该考虑频率的非平稳特性，合理估计结构的非线性响应，保证结构设计的安全性。
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Simulation method of earthquake ground motion based on frequency-dependent
amplitude envelope function and its influence on the
structural nonlinear responses
QU Guo-yan， YU Rui-fang
（Institute of Geophysics， China Earthquake Administration， Beijing 100081， China）
Abstract： The non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion has an important effect on structural nonlinear responses. By introducing a frequency-dependent amplitude envelope function with statistical parameters to simulate the non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion， a method is developed for the non-stationary earthquake ground motion， which takes the response spectrum as the target. Taking the natural ground motion as the seed， four acceleration time histories for the same target spectrum are obtained by using four different methods. The results suggest that：（1） The fitting method developed could preserve the non-stationarity and duration of the original time history with higher fitting precision；（2） Based on the frequency-dependent amplitude envelope function of the natural ground motion， the earthquake ground motion can be used to simulate the non-stationarity of frequency better；（3） The one based on the frequency-dependent amplitude envelope function with statistical significance is able to simulate the non-stationarity of frequencies approximately， which agrees with the frequency time-variation of the natural ground motion. Taking the four time histories as input， the nonlinear time-history analysis of the reinforced concrete frame structure with 7 and 15 layers are presented. The results show that there exists the risk of underestimating the reinforced concrete structural nonlinear response under the earthquake ground motion only considering the non-stationarity of the intensity. Therefore， the non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion should be considered in the simulation of the artificial ground motion. In this way， the structural nonlinear responses could be estimated reasonably and the safety of the structure design can be guaranteed.
Key words： random vibration； earthquake ground motion； structural nonlinear responses； non-stationarity of frequency； simulation of earthquake ground motion
