立足背景材料 培养思维概括
许莹
[摘 ?要] 数学概念教学要立足背景材料，关注学生学习新知识的原有认知结构中的认知基础、活动经验、认识能力，对有利与困难等方面给出分析和联结. 概念教学要注意问题引领，科学设置数学问题（核心问题与思维性问题）. 让概括者——学生参与大量实例的本质特征的分析过程，在观察、思考、比较的基础上，揭示出感性经验背后的理性、抽象的数学经验，获取有概括性、普遍性的数学概念.
[关键词] 初中数学;概念教学;问题引领;思维概括
背景介绍
学术解读：函数的出现，是数学史上的一个转折点，标志着数学开始进入一个崭新的时期——变量数学时期. 函数概念经历了“解析式——变量说——对应说——关系说”的发展过程. 初中阶段的函数学习属于变量对应说阶段.
教材分析：《义务教育数学课程标准（2011版）》有关函数教学的要求是：探索简单实例中的数量关系和变化規律，了解常量、变量的意义;结合实例，了解函数概念和三种表示法，能举出函数的实例. 本节是八年级下册（人教版）第十四章第一节;教材将常量与变量、函数各安排了一个课时.
笔者认为，第一课时仅学习常量与变量略显单薄，函数本质是从运动变化的角度研究变量间的对应关系，不妨将常量、变量与函数概念放在一起学习. 将“两个变量之间的运动变化是怎样具体对应的”作为本节学习的主线，在概括对应关系中，获得常量和变量的认知. 因此，获得函数的本质特征是本节课的重点.
学情分析：小学阶段的“变化的量”，七年级的“整式的加减”“从算式到方程”“二元一次方程组”，这些知识开阔了学生的视野，转变了只从算术的视角解决问题的思维模式，能够解决一定实际问题（物品配套、工作效率、销售盈亏等）. 这些学习经历提高了他们的数量关系表达能力，丰富了对量的依赖关系的感受，积累了很多案例背景. 这是本节的学习基础.
本节学生的理解和接受比较困难.根据以往的教学经验，容易出现这样几种情况：①函数概念说不清，认为只有解析式形式描述的才是函数;②图像形式的对应法则理解不够深刻，“数形”转化出现障碍.所以，本节难点是“将具体实例进行数学化，概括对应法则”.
笔者在认真研读“课标”和教材的基础上对本节部分片段与思考整理成文，现与大家交流.
教学过程设计
片段一 ?明确研究问题.
师：我们学了数的分类、数的运算、用字母表示数、方程（组）——不等式（组）等知识，在解决问题过程中遇到了很多量，今天我们就继续研究量与量之间的关系.
师：举出你熟悉的一些量.
生：时间，售价，重量，面积.
师：有些量之间是相互联系的，请举出一些具体例子并表述他们的关系.
生：路程等于速度乘以时间，总金额等于单价乘以数量.
师：结合以往的经验，有些量是发生变化的，甚至它还会随着另一个量的变化而变化. 那么，“运动变化的量之间，这种依赖关系有没有什么共同特征”便是本节课我们需要深入研究的内容.
（板书问题：探究一个量随另一个量变化依赖关系的共同特征）
设计意图 ?知识的铺垫，要降低到学生能听懂的地方. 教学实践表明，多数教师选择直接使用教材给出的4个事例，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量和常量的概念，而后再探究变量之间的对应关系. 感受这种导入方法，没有很好地利用学生的学习起点，略显得“唐突”. 学生已经接触到了很多量，对变化的量的依赖关系有一定的经验基础. 所以，笔者从学生熟知的生活中的量入手，通过对相互关联的量自主举例，引出本课研究主题，意在用比较概括的思想展开本节课的探究学习.
片段二 ?描述变量对应关系.
（学生给出实例，丰富问题背景，引导学生描述对应关系）
师：补充“销售总额等于单价乘以数量”的问题背景，说出已知条件和结论.
生1：卖电影票，票25元一张，售票总价随卖出的票数变化.
师：观察哪些量在变？哪些量没变？（观察的角度）
生2：票的单价（售价）不变，票数与销售额都在变.
师：总销售额是怎么变的？与票数有什么关系？
生3：随着票数的不断增加，销售额也在不断增加.
师：你能否用符号表示出他们之间的关系？
生4：用x表示票数，y表示总销售额，那么有y=25x.
师：得出两者之间的数量关系式，有没有更直观的方法显示出销售额与票数的变化过程？
生5：代入数值.
追问：你是怎么想到的？为什么这样做？
生6：数字比字母更直观，容易看出总金额与票数的具体变化.
学生展示变量之间的对应关系：
师：还能用什么方式显示销售额与票数的变化与对应关系？
沉闷……
师：班级成绩单，是采用什么形式将姓名与成绩对应起来的？
生齐答：表格.
师：各小组用表格方式呈现出总销售额与票数的变化过程.
学生展示表格结果：
追问：若题目最初用表格形式描述总销售额与票数的变化，由票数的值怎么找出对应的总金额？
生齐答：看票数正下方与它相对应的那个数.
追问：观察上下两组数据，你能发现总金额与票数的数量关系吗？
生齐答：总金额是票数的25倍.
师：除了数量关系式、表格，还能用什么形式表示总金额与票数的变化？
生7：图. （小组内讨论图像的样子）
小组汇报：图的具体长相不太准确，但钱数是随着票数的增加而增大的，所以猜测图像应该是往上的.
师：（多媒体出示函数y=25x，x≥0的图像）利用图像举例说明，总金额与票数是怎样对应的.
学生在网格图像中画出票数取 4，7时对应的金额数.
追问：我们用数量关系式、图像、表格三种方式描述了销售金额与票数的变化过程和对应关系，比较三者各自有哪些特点？
生8：式子从数量关系的角度显示了量之间的关系，容易求值.
生9：表格清楚地列出了一些对应值.
生10：图像比较形象直觀，容易看出升、降.
设计意图 ?学生是学习的体验者、知识的获得者. 学生自主举例，符号表示数量关系，描述对应关系，这些活动，体现了具体实例数学化的过程. 三种描述方式，目的是让学生体验如何由自变量的值去找出所对应的函数值（对应法则），蕴含对应法则这个核心的教学. 虽然，此刻未提出自变量、函数值、对应法则等概念，但他们已能够感受到对应关系的存在.
片段三 ?概括共同特征，形成函数概念.
课上学生选取恰当的方式描述自己列举实例中的变化量的对应关系（一日气温与时间，长方形的周长一定时长与宽的关系，人口统计中人口数与年份的变化）.
师：这些具体问题，他们虽背景不同，但内里却有着共同的特征，大家把共同特征找出来. （小组讨论）
小组代表：我们从变化的角度思考，有的量数值发生变化，有的量不变. 当一个变化量取值确定后，利用他们之间的对应关系，可以找出另一变化量的值.
师：他们小组研究问题从“是否变”“怎样变”两个方面入手，比较全. 除了从数值角度发现了两个变量的对应关系，还有什么补充吗？
生举手：两个变化量变的顺序不一样. 一个先变，另一个随着改变. 从对应数值的个数上思考，第二个变化的量只能找到一个值与第一变化量对应.
教师概括结果：
师：将实例中涉及的量分类，你想怎样分？说出分的依据并给每一类命名.
学生讨论，得出常量和变量的概念.
师：把具有这种共同特征的变量间的对应关系称为函数. 这是本节课主要学习的内容. ?（板书课题，出示函数的概念）
设计意图 ?概念的核心是概括，概括需要大量实例. 实例来自于概括者——学生. 让概括者——学生参与大量实例的本质特征的分析过程，在引导学生观察、思考、比较的基础上，揭示出感性经验背后的理性、抽象的数学经验，让学生获取有概括性、普遍性的数学概念. 这样，学生才能学以致用，灵活地运用概念解决问题.
一点思考
教学要立足背景材料，关注学生已有的经验，科学设置数学问题. 教师备课中，除了关注学生数学客观性知识和技能的掌握情况，还要从教学角度对学生学习新知识的原有认知结构中的数学活动经验、认识能力，以及有利与困难等方面给出分析和联结. 以已有经验设置思维的起点，由具体内容提炼出相应的核心问题，围绕核心问题设置思维性问题——“怎样开展问题探究？从哪些角度分析观察？中间遇到了哪些困难？你怎样想到这样做？涉及学过的哪些数学知识和方法？”等等. 概念教学要注意问题引领，多关注“如何走向深刻”，让学生更好地理解数学知识的本质.
