柔顺宏微操作器的最优抑振轨迹规划研究
陈特欢 杨依领 吴高华
摘要： 针对柔顺宏微操作器中的微纳振动问题，在使用假设模态法和拉格朗日方程建立系统整体动力学模型的基础上，以多项式函数作为宏运动轨迹的基准曲线，并采用柔顺部分综合等效激振力矩最小和弹性振动能量最小构造优化准则，提出一种最优抑振轨迹规划方法。优化后的轨迹可以同时减少系统运动过程中的强迫振动以及运动结束后的残余振动，综合考虑全局弹性振动。最后通过遗传算法进行数值计算得到系统最优抑振轨迹，并搭建实验测控平台进行验证。实验结果表明：与跟踪常规多项式轨迹相比，柔顺微操作器在系统运动过程中的弹性振动幅值降低15.5%，系统运动结束后的弹性振动幅值减少52.2%，残余振动衰减时间缩短56.4%，改善了宏微操作器系统的全局操控稳定性，并提高了系统定位精度。
关键词： 振动控制； 宏微操作器； 柔順机构； 轨迹规划； 动力学建模
中图分类号： TB535； TP242文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0611-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.008
引言
近年来，随着微操作和微装配任务的复杂程度不断增加，具有结构紧凑、运动精度高、无摩擦和无需润滑等优点的柔顺机构得到了广泛应用[1]。通常，柔顺机构可以增大微操作器工作范围，实现多自由度位姿调整并进行精密力检测[2-3]。然而，当柔顺机构固定串入宏动系统中构成宏微操作系统时，大范围宏运动将不可避免地激起柔顺微操作器的弹性振动，影响系统的工作效率和操控稳定性[4]。
对于柔顺机构的弹性振动，一方面可以在柔顺机构上采用闭环反馈的方式进行振动抑制。Avci[5]等人采用基于机器视觉的闭环反馈控制将多自由度柔顺微操作器的末端弹性振动幅值由原来的25.9 μm降低至15.4 μm，衰减时间由原来的173 ms减少至49 ms。张清华等[6]则采用变率反馈控制和最优状态反馈控制有效地抑制了平面3-RRR柔性并联机构的弹性振动。但是闭环反馈控制需要增加额外的传感检测与致动单元，而微操作系统中的安装空间又往往有限。同时闭环反馈控制也只能在弹性振动被激起之后才进行抑制，难以从根本上降低弹性振动的危害[7]。另一方面，轨迹规划可以在弹性振动被激起之前有效地抑制柔顺机构的振动，并且也不需要额外的检测与致动单元。因此，可以通过轨迹优化的方式对宏运动轨迹进行合理规划。Abe[8]通过优化伺服电机的运动轨迹，有效地抑制了柔性机械臂的残余弹性振动。Heidari[9]等人以柔性机械臂（尺寸1000 mm×2 mm×2 mm）的弹性振动最小为准则，优化了伺服电机的点到点运动轨迹，柔性机械臂残余振动的幅值衰减了40%。Lou[10]等人也采用轨迹优化的方式对伺服电机大范围运动激励下柔性机械臂的弹性振动控制问题进行了研究。但是目前的研究大都针对单个柔性臂的残余弹性振动，并且振动幅度也高达毫米乃至厘米级别。对于微操作任务来说，柔顺机构在系统运动过程中与运动结束后的全局弹性振动均需要得到抑制，如何提出一种有效抑制柔顺宏微操作器中微纳弹性振动的轨迹规划方法，仍存在诸多问题需要深入研究。
1动力学建模〖3〗1.1系统描述研究中选取图1所示的柔顺微操作器，其工作原理为：在铰链A点施加输入位移di，杠杆AO1B绕固定点O1转动，杆O2C绕O2转动，连杆BCD做平面运动带动平行四边形机构EFGH平行运动，从而产生末端夹持臂的输出位移do，更多详细信息参见文献[11]。
第4期陈特欢，等： 柔顺宏微操作器的最优抑振轨迹规划研究振 动 工 程 学 报第31卷将微操作器固定串联至伺服电机驱动的宏动平台上，以构成图2（a）所示的宏微操作系统。为了方便探讨大范围宏动对柔顺微操作器的影响，只保留宏动平台的单自由度旋转运动。图2（b）给出了系统的混合坐标系，其中xOy为微操作器夹持臂根部固连的浮动坐标系；x1O1y1是微操作器基体部分（包括双摇杆放大机构和平行四边形机构）等效到IJ杆上后的偏转坐标系；x0O0y0是宏微操作系统固定惯性坐标系。代表宏运动开始之前IJ杆和O0I杆之间的夹角；θ（t）表示宏运动角位移；φ（t）为IJ杆偏离平衡位置的振动角位移；w（x，t）是微操作器末端夹持臂上P点的弯曲振动位移。
1.2系统建模
根据假设模态法，微操作器末端柔性夹持臂的横向弯曲振动位移可以表示为wx，t≈∑mi=1Φixqit=Φxqt（1）式中Φ（x）=（Φ1，Φ2，…，Φm）是柔性夹持臂弯曲模态振型矢量，由一端自由一端固定的边界条件确定；q（t）=（q1，q2，…，qm）表示柔性夹持臂的广义弯曲模态坐标矢量；m是截取的模态数。
为了确定宏微操作系统的最优抑振轨迹，首先选定满足起始和停止运动状态要求的基准曲线，并将基准曲线等分为N段（与时间ti对应的基准角位移为θBi）。然后，将该点作为基准点，将基准点偏移Fi，得到控制点θOi （即：θOi = θBi + Fi）。最后，选定某一插值曲线，依次通过每一个控制点θBi。当把轨迹等分为N段时，共有N-1个控制点，在系统边界条件（起点和终点位置、速度和加速度信息）确定的情况下，只需要确定这N-1个控制点θOi，便可以获得由某条曲线插值得到的系统运动轨迹，如图3所示。
实际轨迹规划过程中，一般先选取一条基准曲线来得到基准点对应位移θBi，然后在θBi附近偏移一定量Fi，之后通过图4所示的遗传算法寻优过程，选择不同的基准曲线与优化准则，即可优化得到不同的偏移值，进而获得不同的插值轨迹，满足不同轨迹规划要求。
3数值计算
针对图2所示的宏微夹持系统，采用Matlab软件对其进行数值仿真分析，仿真中所用到的结构参数如表1所示。由于到二阶以上模态对柔顺微操作器的输出贡献非常小[12]，这里只取前两阶模态进行仿真研究。其他设定条件为：最终角位移为π，运动时间为2 s；轨迹的初始和终止速度和加速度均为零。
对于残余最优抑振轨迹，本文以五次多项式函数作为基准轨迹，并采用遗传算法使得优化准则f1（t）取最小值。考虑到残余最优抑振轨迹难以有效地减少运动过程中的弹性振动，选取五次多项式和抛物线轨迹组合构成的混合多项式轨迹作为基准轨迹，并利用优化准则f2（t）得到全局最优抑振轨迹。图 5 给出了采用遗传算法进行轨迹优化时迭代过程，从图中可以看出，残余最优和全局最优抑振轨迹分别在33代和20代左右收敛到最优值。
图6给出了得到的优化轨迹的角位移、角速度、角加速度和模态位移图，并与常规五次多项式轨迹进行了对比。从图中可以看出，优化轨迹和五次多项式轨迹的角位移曲线基本重合，而角速度趋势已有一定的区别，优化轨迹在起始和停止阶段的速度更为平缓，但在中间过程的最大速度要大于五次多项式的最大速度。在起始和停止阶段，优化轨迹的加速度也小于五次多项式轨迹的加速度。根据图6（d），与五次多项式轨迹相比， 残余最优和全局最优抑振轨迹均能有效地减少运动结束后的残余弹性振动，同时全局最优抑振轨迹也可抑制运动过程中的强迫弹性振动，从而在保证系统全局定位精度的同时，提高操控稳定性和效率，也初步验证了所提出的抑振轨迹优化策略的可行性。
4实验验证
图7给出了搭建的宏微操作测控系统实物图。PC机通过运动控制卡向伺服电机（安川， SGMAH-01A1A2S）发送期望运动轨迹，伺服控制器（安川， SGDH-01AE）检测电机自带编码器的反馈信号，构成半闭环来确保宏运动轨迹跟踪精度。微操作器末端夹持臂在宏运动过程中的振动信息通过激光传感器（基恩士， LK-G30， 分辨率50 nm， 量程±5 mm）检测。此外，为了精确地检测宏运动轨迹的实际跟踪结果，采用外部光电编码器（瑞普安华高， ZSP3806-003G-2000BZ1-5L）檢测经过谐波齿轮传动减速器 （Harmonic Drive， SGMAH-01A1A2S）后的宏运动轨迹信号，并通过运动控制卡传入到PC机。
首先让宏动平台跟踪残余最优抑振轨迹，图8给出了实际测得的宏运动角位移、角速度、角加速度和微操作器末端夹持臂的振动曲线。从图中可以看出，宏运动实际角位移曲线与理论角位移曲线基本一致。角速度与角加速度曲线与理论曲线也较为吻合，但是实际角加速度曲线存在一定的波动。同时微操作器末端夹持臂的振动趋势也与数值仿真中的趋势基本一致，实测振动结果在宏运动过程中存在明显的波动，波动主要来自于宏运动机械本体引入的系统扰动。
为了进一步说明残余最优抑振轨迹的振动控制效果，图8（d）中也给出了跟踪常规五次多项式轨迹时柔顺微操作器末端夹持臂的振动曲线。从中可以看出，残余最优轨迹和五次多项式轨迹在运动结束后的弹性振动幅值分别为2.6 μm 和4.6 μm。残余振动衰减时间（减小至1 μm）分别为185 ms和431 ms。在运动过程中，残余最优抑制轨迹和五次多项式轨迹的最大振动幅值也基本一致，约为12.9 μm。因此，残余最优抑振轨迹可以将系统运动结束后的弹性振动幅值降低54.9%，衰减时间缩短57.1%。
然后，让宏动平台跟踪全局最优抑振轨迹，图9给出了实际测得的宏运动角位移、角速度、角加速度和微操作器末端夹持臂的振动曲线。从图中可以看出，宏运动实际角位移、角速度、角加速度和末端夹持臂振动曲线与理论角曲线基本一致，但是实际角加速度和微操作器末端夹持臂振动曲线存在一定的波动。
由图9（d）中可知，全局最优抑振轨迹在运动结束后的残余振动幅值为2.2 μm，残余振动衰减时间为188 ms。同时，在运动过程中，全局最优抑振轨迹的最大振动幅值也降低至10.9 μm。因此，与常规五次多项式相比，全局最优抑振轨迹将运动过程中的弹性振动幅值降低15.5%，将运动结束后的残余振动幅值降低52.2%，衰减时间缩短56.4%。
图10给出了跟踪五次多项式轨迹、残余最优抑振轨迹和全局最优抑振轨迹时末端夹持臂的弹性振动的时域和频域对比图。从图中可以看出，采用全局最优轨迹可以同时抑制运动过程中的弹性振动和运动结束后的残余振动，在一定程度上减小大范围宏运动对柔顺微夹持器末端夹持臂的影响，从而提高宏微操作系统的全局操作稳定性和定位精度。
5结论
在建立系统整体动力学模型的基础上，提出一种综合考虑柔顺机构全局弹性振动的最优抑振轨迹规划方法。数值仿真和实验结果均验证了所建系统模型和提出的轨迹规划方法的正确性。与跟踪常规多项式轨迹相比，柔顺微操作器在系统运动过程中的弹性振动幅值降低15.5%，系统运动结束后的弹性振动幅值减少52.2%，残余振动衰减时间缩短56.4%，宏微操作器系统的全局操控稳定性和系统定位精度得到了提高。为微操作和微装配技术领域中的柔顺机构振动抑制问题提供了新的思路和有益的尝试。
参考文献：
[1]Zubir Mohd Nashrul Mohd， Shirinzadeh Bijan， Tian Yanling. Development of novel hybrid flexure-based microgrippers for precision micro-object manipulation[J]. Review of Scientific Instruments， 2009，80（6）：065106.
[2]Xiao Sunli， Li Yangming. Visual servo feedback control of a novel large working range micro manipulation system for microassembly[J]. Journal of Microelectromechanical Systems， 2014，23（1）：181—190.
[3]杨依领， 傅雷， 田埂，等.集成位置/力传感器的桥式压电微夹持器[J]. 机器人， 2015， 37（6）： 655—662.
Yang Yiling， Fu Lei， Tian Geng， et al. A bridge-type piezoelectric microgripper with integrated position/force sensors[J]. Robot， 2015， 37（6）： 655—662.
[4]Rakotondrabe Micky， Clevy Cedric， Lutz Philippe. Complete open loop control of hysteretic， creeped， and oscillating piezoelectric cantilevers[J]. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2009，7（3）：440—450.
[5]Avci Ebubekir， Ohara Kenichi， Chanh-Nghiem， et al. High-speed automated manipulation of microobjects using a two-fingered microhand[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2015， 62（2）：1070—1079.
[6]張清华， 张宪民.平面3-RRR柔性并联机器人残余振动主动控制[J]. 农业机械学报， 2013，44（2）：232—237，266.
Zhang Qinghua， Zhang Xianmin. Active residual vibration control of planar 3-RRR flexible parallel robots [J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2013， 44（2）： 232—237，266.
[7]Habineza Didace， Rakotondrabe Micky， Le Gorrec Yann. Bouc-Wen modeling and feedforward control of multivariable hysteresis in piezoelectric systems： application to a 3-DOF piezotube scanner[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2015，23（5）：1797—1806.
[8]Abe Akira. Trajectory planning for residual vibration suppression of a two-link rigid-flexible manipulator considering large deformation[J]. Mechanism and Machine Theory， 2009，44（9）：1627—1639.
[9]Heidari H R， Korayem M H， Haghpanahi M， et al. Optimal trajectory planning for flexible link manipulators with large deflection using a new displacements approach[J]. Journal of Intelligent and Robotic Systems， 2013，72（3-4）：287—300.
[10]Lou Junqiang， Wei Yanding， Li Guoping， et al. Optimal trajectory planning and linear velocity feedback control of a flexible piezoelectric manipulator for vibration suppression [J]. Shock and Vibration， 2015， 2015：1—11.
[11]Yang Yiling， Wei Yanding， Lou Junqiang， et al. A new piezo-driven microgripper based on the double-rocker mechanism[J]. Smart Materials and Structures， 2015，24（7）：075031.
[12]Qiu Zhicheng， Xu Yanfei. Vibration control of a rotating two-connected flexible beam using chattering-free sliding mode controllers[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part G Journal of Aerospace Engineering， 2016，230（3）：444—468.
Abstract： To deal with the micro-nano vibration problem in the flexure-based macro-micro manipulator， the overall dynamic system model is firstly derived using the assumed mode method and the Lagrange equation. Then， the polynomial functions are selected as the basic curve of the macro motion trajectory， and optimization criterions minimizing the equivalent comprehensive excitation torques and elastic vibration energy are used. Thus， the optimal trajectory planning for vibration suppression is proposed based on the system model and the optimization criterions. The optimized trajectory can reduce the forced vibration during the system motion and the residual vibration after the motion simultaneously. Moreover， the global elastic vibration for the macro-micro manipulator is considered. Finally， the optimal vibration suppression trajectory of the system is obtained by using the genetic algorithm and the experimental platform is established to verify its effectiveness. The experimental results demonstrate that the elastic vibration amplitude during the system motion is reduced by 15.5%compared with the conventional polynomial trajectory. Meanwhile， the residual vibration amplitude after the system motion is decreased by 52.2% and the settling time is shortened by 56.3%. Therefore， both the global control stability and the positioning accuracy of the macro-micro manipulator system are improved.
Key words： vibration control； macro-micro manipulator； compliant mechanism； trajectory planning； dynamic modeling
摘要： 针对柔顺宏微操作器中的微纳振动问题，在使用假设模态法和拉格朗日方程建立系统整体动力学模型的基础上，以多项式函数作为宏运动轨迹的基准曲线，并采用柔顺部分综合等效激振力矩最小和弹性振动能量最小构造优化准则，提出一种最优抑振轨迹规划方法。优化后的轨迹可以同时减少系统运动过程中的强迫振动以及运动结束后的残余振动，综合考虑全局弹性振动。最后通过遗传算法进行数值计算得到系统最优抑振轨迹，并搭建实验测控平台进行验证。实验结果表明：与跟踪常规多项式轨迹相比，柔顺微操作器在系统运动过程中的弹性振动幅值降低15.5%，系统运动结束后的弹性振动幅值减少52.2%，残余振动衰减时间缩短56.4%，改善了宏微操作器系统的全局操控稳定性，并提高了系统定位精度。
关键词： 振动控制； 宏微操作器； 柔順机构； 轨迹规划； 动力学建模
中图分类号： TB535； TP242文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0611-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.008
引言
近年来，随着微操作和微装配任务的复杂程度不断增加，具有结构紧凑、运动精度高、无摩擦和无需润滑等优点的柔顺机构得到了广泛应用[1]。通常，柔顺机构可以增大微操作器工作范围，实现多自由度位姿调整并进行精密力检测[2-3]。然而，当柔顺机构固定串入宏动系统中构成宏微操作系统时，大范围宏运动将不可避免地激起柔顺微操作器的弹性振动，影响系统的工作效率和操控稳定性[4]。
对于柔顺机构的弹性振动，一方面可以在柔顺机构上采用闭环反馈的方式进行振动抑制。Avci[5]等人采用基于机器视觉的闭环反馈控制将多自由度柔顺微操作器的末端弹性振动幅值由原来的25.9 μm降低至15.4 μm，衰减时间由原来的173 ms减少至49 ms。张清华等[6]则采用变率反馈控制和最优状态反馈控制有效地抑制了平面3-RRR柔性并联机构的弹性振动。但是闭环反馈控制需要增加额外的传感检测与致动单元，而微操作系统中的安装空间又往往有限。同时闭环反馈控制也只能在弹性振动被激起之后才进行抑制，难以从根本上降低弹性振动的危害[7]。另一方面，轨迹规划可以在弹性振动被激起之前有效地抑制柔顺机构的振动，并且也不需要额外的检测与致动单元。因此，可以通过轨迹优化的方式对宏运动轨迹进行合理规划。Abe[8]通过优化伺服电机的运动轨迹，有效地抑制了柔性机械臂的残余弹性振动。Heidari[9]等人以柔性机械臂（尺寸1000 mm×2 mm×2 mm）的弹性振动最小为准则，优化了伺服电机的点到点运动轨迹，柔性机械臂残余振动的幅值衰减了40%。Lou[10]等人也采用轨迹优化的方式对伺服电机大范围运动激励下柔性机械臂的弹性振动控制问题进行了研究。但是目前的研究大都针对单个柔性臂的残余弹性振动，并且振动幅度也高达毫米乃至厘米级别。对于微操作任务来说，柔顺机构在系统运动过程中与运动结束后的全局弹性振动均需要得到抑制，如何提出一种有效抑制柔顺宏微操作器中微纳弹性振动的轨迹规划方法，仍存在诸多问题需要深入研究。
1动力学建模〖3〗1.1系统描述研究中选取图1所示的柔顺微操作器，其工作原理为：在铰链A点施加输入位移di，杠杆AO1B绕固定点O1转动，杆O2C绕O2转动，连杆BCD做平面运动带动平行四边形机构EFGH平行运动，从而产生末端夹持臂的输出位移do，更多详细信息参见文献[11]。
第4期陈特欢，等： 柔顺宏微操作器的最优抑振轨迹规划研究振 动 工 程 学 报第31卷将微操作器固定串联至伺服电机驱动的宏动平台上，以构成图2（a）所示的宏微操作系统。为了方便探讨大范围宏动对柔顺微操作器的影响，只保留宏动平台的单自由度旋转运动。图2（b）给出了系统的混合坐标系，其中xOy为微操作器夹持臂根部固连的浮动坐标系；x1O1y1是微操作器基体部分（包括双摇杆放大机构和平行四边形机构）等效到IJ杆上后的偏转坐标系；x0O0y0是宏微操作系统固定惯性坐标系。代表宏运动开始之前IJ杆和O0I杆之间的夹角；θ（t）表示宏运动角位移；φ（t）为IJ杆偏离平衡位置的振动角位移；w（x，t）是微操作器末端夹持臂上P点的弯曲振动位移。
1.2系统建模
根据假设模态法，微操作器末端柔性夹持臂的横向弯曲振动位移可以表示为wx，t≈∑mi=1Φixqit=Φxqt（1）式中Φ（x）=（Φ1，Φ2，…，Φm）是柔性夹持臂弯曲模态振型矢量，由一端自由一端固定的边界条件确定；q（t）=（q1，q2，…，qm）表示柔性夹持臂的广义弯曲模态坐标矢量；m是截取的模态数。
为了确定宏微操作系统的最优抑振轨迹，首先选定满足起始和停止运动状态要求的基准曲线，并将基准曲线等分为N段（与时间ti对应的基准角位移为θBi）。然后，将该点作为基准点，将基准点偏移Fi，得到控制点θOi （即：θOi = θBi + Fi）。最后，选定某一插值曲线，依次通过每一个控制点θBi。当把轨迹等分为N段时，共有N-1个控制点，在系统边界条件（起点和终点位置、速度和加速度信息）确定的情况下，只需要确定这N-1个控制点θOi，便可以获得由某条曲线插值得到的系统运动轨迹，如图3所示。
实际轨迹规划过程中，一般先选取一条基准曲线来得到基准点对应位移θBi，然后在θBi附近偏移一定量Fi，之后通过图4所示的遗传算法寻优过程，选择不同的基准曲线与优化准则，即可优化得到不同的偏移值，进而获得不同的插值轨迹，满足不同轨迹规划要求。
3数值计算
针对图2所示的宏微夹持系统，采用Matlab软件对其进行数值仿真分析，仿真中所用到的结构参数如表1所示。由于到二阶以上模态对柔顺微操作器的输出贡献非常小[12]，这里只取前两阶模态进行仿真研究。其他设定条件为：最终角位移为π，运动时间为2 s；轨迹的初始和终止速度和加速度均为零。
对于残余最优抑振轨迹，本文以五次多项式函数作为基准轨迹，并采用遗传算法使得优化准则f1（t）取最小值。考虑到残余最优抑振轨迹难以有效地减少运动过程中的弹性振动，选取五次多项式和抛物线轨迹组合构成的混合多项式轨迹作为基准轨迹，并利用优化准则f2（t）得到全局最优抑振轨迹。图 5 给出了采用遗传算法进行轨迹优化时迭代过程，从图中可以看出，残余最优和全局最优抑振轨迹分别在33代和20代左右收敛到最优值。
图6给出了得到的优化轨迹的角位移、角速度、角加速度和模态位移图，并与常规五次多项式轨迹进行了对比。从图中可以看出，优化轨迹和五次多项式轨迹的角位移曲线基本重合，而角速度趋势已有一定的区别，优化轨迹在起始和停止阶段的速度更为平缓，但在中间过程的最大速度要大于五次多项式的最大速度。在起始和停止阶段，优化轨迹的加速度也小于五次多项式轨迹的加速度。根据图6（d），与五次多项式轨迹相比， 残余最优和全局最优抑振轨迹均能有效地减少运动结束后的残余弹性振动，同时全局最优抑振轨迹也可抑制运动过程中的强迫弹性振动，从而在保证系统全局定位精度的同时，提高操控稳定性和效率，也初步验证了所提出的抑振轨迹优化策略的可行性。
4实验验证
图7给出了搭建的宏微操作测控系统实物图。PC机通过运动控制卡向伺服电机（安川， SGMAH-01A1A2S）发送期望运动轨迹，伺服控制器（安川， SGDH-01AE）检测电机自带编码器的反馈信号，构成半闭环来确保宏运动轨迹跟踪精度。微操作器末端夹持臂在宏运动过程中的振动信息通过激光传感器（基恩士， LK-G30， 分辨率50 nm， 量程±5 mm）检测。此外，为了精确地检测宏运动轨迹的实际跟踪结果，采用外部光电编码器（瑞普安华高， ZSP3806-003G-2000BZ1-5L）檢测经过谐波齿轮传动减速器 （Harmonic Drive， SGMAH-01A1A2S）后的宏运动轨迹信号，并通过运动控制卡传入到PC机。
首先让宏动平台跟踪残余最优抑振轨迹，图8给出了实际测得的宏运动角位移、角速度、角加速度和微操作器末端夹持臂的振动曲线。从图中可以看出，宏运动实际角位移曲线与理论角位移曲线基本一致。角速度与角加速度曲线与理论曲线也较为吻合，但是实际角加速度曲线存在一定的波动。同时微操作器末端夹持臂的振动趋势也与数值仿真中的趋势基本一致，实测振动结果在宏运动过程中存在明显的波动，波动主要来自于宏运动机械本体引入的系统扰动。
为了进一步说明残余最优抑振轨迹的振动控制效果，图8（d）中也给出了跟踪常规五次多项式轨迹时柔顺微操作器末端夹持臂的振动曲线。从中可以看出，残余最优轨迹和五次多项式轨迹在运动结束后的弹性振动幅值分别为2.6 μm 和4.6 μm。残余振动衰减时间（减小至1 μm）分别为185 ms和431 ms。在运动过程中，残余最优抑制轨迹和五次多项式轨迹的最大振动幅值也基本一致，约为12.9 μm。因此，残余最优抑振轨迹可以将系统运动结束后的弹性振动幅值降低54.9%，衰减时间缩短57.1%。
然后，让宏动平台跟踪全局最优抑振轨迹，图9给出了实际测得的宏运动角位移、角速度、角加速度和微操作器末端夹持臂的振动曲线。从图中可以看出，宏运动实际角位移、角速度、角加速度和末端夹持臂振动曲线与理论角曲线基本一致，但是实际角加速度和微操作器末端夹持臂振动曲线存在一定的波动。
由图9（d）中可知，全局最优抑振轨迹在运动结束后的残余振动幅值为2.2 μm，残余振动衰减时间为188 ms。同时，在运动过程中，全局最优抑振轨迹的最大振动幅值也降低至10.9 μm。因此，与常规五次多项式相比，全局最优抑振轨迹将运动过程中的弹性振动幅值降低15.5%，将运动结束后的残余振动幅值降低52.2%，衰减时间缩短56.4%。
图10给出了跟踪五次多项式轨迹、残余最优抑振轨迹和全局最优抑振轨迹时末端夹持臂的弹性振动的时域和频域对比图。从图中可以看出，采用全局最优轨迹可以同时抑制运动过程中的弹性振动和运动结束后的残余振动，在一定程度上减小大范围宏运动对柔顺微夹持器末端夹持臂的影响，从而提高宏微操作系统的全局操作稳定性和定位精度。
5结论
在建立系统整体动力学模型的基础上，提出一种综合考虑柔顺机构全局弹性振动的最优抑振轨迹规划方法。数值仿真和实验结果均验证了所建系统模型和提出的轨迹规划方法的正确性。与跟踪常规多项式轨迹相比，柔顺微操作器在系统运动过程中的弹性振动幅值降低15.5%，系统运动结束后的弹性振动幅值减少52.2%，残余振动衰减时间缩短56.4%，宏微操作器系统的全局操控稳定性和系统定位精度得到了提高。为微操作和微装配技术领域中的柔顺机构振动抑制问题提供了新的思路和有益的尝试。
参考文献：
[1]Zubir Mohd Nashrul Mohd， Shirinzadeh Bijan， Tian Yanling. Development of novel hybrid flexure-based microgrippers for precision micro-object manipulation[J]. Review of Scientific Instruments， 2009，80（6）：065106.
[2]Xiao Sunli， Li Yangming. Visual servo feedback control of a novel large working range micro manipulation system for microassembly[J]. Journal of Microelectromechanical Systems， 2014，23（1）：181—190.
[3]杨依领， 傅雷， 田埂，等.集成位置/力传感器的桥式压电微夹持器[J]. 机器人， 2015， 37（6）： 655—662.
Yang Yiling， Fu Lei， Tian Geng， et al. A bridge-type piezoelectric microgripper with integrated position/force sensors[J]. Robot， 2015， 37（6）： 655—662.
[4]Rakotondrabe Micky， Clevy Cedric， Lutz Philippe. Complete open loop control of hysteretic， creeped， and oscillating piezoelectric cantilevers[J]. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2009，7（3）：440—450.
[5]Avci Ebubekir， Ohara Kenichi， Chanh-Nghiem， et al. High-speed automated manipulation of microobjects using a two-fingered microhand[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2015， 62（2）：1070—1079.
[6]張清华， 张宪民.平面3-RRR柔性并联机器人残余振动主动控制[J]. 农业机械学报， 2013，44（2）：232—237，266.
Zhang Qinghua， Zhang Xianmin. Active residual vibration control of planar 3-RRR flexible parallel robots [J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2013， 44（2）： 232—237，266.
[7]Habineza Didace， Rakotondrabe Micky， Le Gorrec Yann. Bouc-Wen modeling and feedforward control of multivariable hysteresis in piezoelectric systems： application to a 3-DOF piezotube scanner[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2015，23（5）：1797—1806.
[8]Abe Akira. Trajectory planning for residual vibration suppression of a two-link rigid-flexible manipulator considering large deformation[J]. Mechanism and Machine Theory， 2009，44（9）：1627—1639.
[9]Heidari H R， Korayem M H， Haghpanahi M， et al. Optimal trajectory planning for flexible link manipulators with large deflection using a new displacements approach[J]. Journal of Intelligent and Robotic Systems， 2013，72（3-4）：287—300.
[10]Lou Junqiang， Wei Yanding， Li Guoping， et al. Optimal trajectory planning and linear velocity feedback control of a flexible piezoelectric manipulator for vibration suppression [J]. Shock and Vibration， 2015， 2015：1—11.
[11]Yang Yiling， Wei Yanding， Lou Junqiang， et al. A new piezo-driven microgripper based on the double-rocker mechanism[J]. Smart Materials and Structures， 2015，24（7）：075031.
[12]Qiu Zhicheng， Xu Yanfei. Vibration control of a rotating two-connected flexible beam using chattering-free sliding mode controllers[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part G Journal of Aerospace Engineering， 2016，230（3）：444—468.
Abstract： To deal with the micro-nano vibration problem in the flexure-based macro-micro manipulator， the overall dynamic system model is firstly derived using the assumed mode method and the Lagrange equation. Then， the polynomial functions are selected as the basic curve of the macro motion trajectory， and optimization criterions minimizing the equivalent comprehensive excitation torques and elastic vibration energy are used. Thus， the optimal trajectory planning for vibration suppression is proposed based on the system model and the optimization criterions. The optimized trajectory can reduce the forced vibration during the system motion and the residual vibration after the motion simultaneously. Moreover， the global elastic vibration for the macro-micro manipulator is considered. Finally， the optimal vibration suppression trajectory of the system is obtained by using the genetic algorithm and the experimental platform is established to verify its effectiveness. The experimental results demonstrate that the elastic vibration amplitude during the system motion is reduced by 15.5%compared with the conventional polynomial trajectory. Meanwhile， the residual vibration amplitude after the system motion is decreased by 52.2% and the settling time is shortened by 56.3%. Therefore， both the global control stability and the positioning accuracy of the macro-micro manipulator system are improved.
Key words： vibration control； macro-micro manipulator； compliant mechanism； trajectory planning； dynamic modeling
