基于线性自抗扰控制的船舶航迹积分滑模控制器
邱峰+李伟+宁君
文章编号：1672-9498（2017）03001206
摘要：
为解决欠驱动船舶航迹直线和曲线跟踪控制问题，选取能解决航向不稳定等非线性问题的Bech模型，借助双曲正切函数，构造期望艏向方程，将航迹控制问题转化为航向控制问题。设计3阶跟踪微分器，对期望艏向及其微分信号进行精确提取。采用变结构积分滑模面函数设计非线性误差反馈控制律，加快系统收敛速度，提出基于线性自抗扰控制（Linear Active Disturbance Rejection Control， LADRC）的船舶航迹积分滑模控制器。该控制器的线性扩张状态观测器对系统内外总扰动进行在线估计与实时补偿；引入Hurwitz多项式，减少需整定的参数。仿真结果表明，航迹收敛快速准确，无超调，对外界干扰具有较强的鲁棒性。控制器参数具有一定的普适性，故其适用范围广。
关键词：
船舶航迹控制； Bech模型； 线性自抗扰控制（LADRC）； 积分滑模面
中图分类号： U664.82
文献标志码： A
Abstract：
To solve the problem of the straightline and curvefollowing control of the underactuated ship tracking， the Bech model which can solve the nonlinear problems such as heading instability is selected. The expected heading equation is constructed by the hyperbolic tangent function to turn the ship tracking control into the ship course control. A thirdorder tracking differentiator is structured to extract precisely the expected course and its derivative. To accelerate the system convergence rate， a variable structure integral slidingmode surface function is introduced to design the nonlinear error feedback control law. An integral slidingmode controller of ship tracking based on Linear Active Disturbance Rejection Control （LADRC） is proposed. This controller can estimate and compensate the internal and external total disturbances in real time with the linear extended state observer； the Hurwitz polynomial is introduced to reduce the number of parameters to be set. The simulation results show that， the trajectory convergence is fast and accurate， without overshoot， and robust to external disturbances. The parameters of the controller are universal， so the controller has wide application range.
Key words：
ship tracking control； Bech model； Linear Active Disturbance Rejection Control （LADRC）； integral slidingmode surface
0引言
通常情況下，研究船舶的运动需考虑3个自由度的运动，即进退、横移、艏摇运动。普通船舶（未安装侧推器的船舶）凭借螺旋桨的推力和舵的转船力矩分别控制其进退和艏摇运动，其运动系统的控制输入量少于其需要控制的运动自由度数量[1]，即普通船舶多为欠驱动系统。此外，船舶在实际航行过程中易受到风、流等外界环境的干扰，产生横移运动，同时船舶本身具有大惯性，其运动具有长时滞、非线性，使得船舶航迹跟踪控制问题成为船舶运动控制领域的重要问题之一。
近年来，对于船舶航迹跟踪控制问题，国内外研究人员取得了诸多成果。文献[3]采用近似线性化的船舶模型，利用滑模控制设计船舶航迹控制器；文献[4]根据船舶的欠驱动特性，借助变结构滑模控制方法，在附体坐标系下设计船舶纵向和横向位置跟踪控制器，跟踪效果较好；文献[5]引入自抗扰控制（Active Disturbance Rejection Control， ADRC）算法，借助比例微分（Proportional Derivative， PD）控制律设计航迹控制器，并进行欠驱动船舶直线和曲线航迹控制仿真，该控制器收敛速度快、鲁棒性较强；文献[6]选用Bech模型作为船舶模型，在一定程度上解决了船舶运动非线性问题，采用离散变结构控制理论设计的船舶航向控制器对参数摄动和外部干扰具有很强的鲁棒性，但该方法未被应用在航迹控制问题上。文献[7]利用非线性滑模迭代与增量反馈控制技术，设计出不依赖于精确船舶模型的非线性反馈控制律，解决了船舶航迹直线和曲线控制问题，但控制器计算量较大，不利于工程实现；文献[8]借助Bech模型，基于ADRC方法，提出了适用于外界条件变化的航向控制器，但船舶受外界干扰时舵角抖振严重，且设计的控制器参数多、不易整定；文献[9]利用线性扩张状态观测器（LESO）对系统内部不确定扰动和外界干扰总和进行实时观测，并在误差反馈控制律中进行主动补偿；文献[10]通过构建降维方程得出系统收敛至计划航迹的期望艏向，将变结构线性滑模面引入到误差反馈控制律设计中，解决了船舶直线航迹跟踪控制问题。
本文采用Bech模型作为船舶模型，解决了航向不稳定等非线性问题。针对船舶模型航迹跟踪控制问题，利用双曲正切函数构造期望艏向方程，通过跟踪期望艏向达到航迹跟踪控制的目的。在误差反馈控制律的设计过程中引入积分滑模面函数，提出了一种基于线性ADRC（Linear ADRC， LADRC）的积分滑模航向跟踪控制器，在继承LADRC技术优点的同时缩短系统收敛的时间，两种控制算法的结合提升了航迹控制品质。
1船舶航迹控制数学模型
船舶运动控制系统模型一般采用线性或非线性的一阶或二阶Nomoto方程，该模型的推导基于小舵角、常速条件，有较大的局限性。Bech和Wagner Smith提出了适用于解决航向不稳定等非线性问题的Bech模型[11]，该模型能更加精确地描述船舶的动态性能，其具体表达式为
T1T2+（T1+T2）+KHB（r）=K（δ+T3）
（1）
由此得出考虑风、流等外界干扰情况下的船舶航迹控制模型：
=Ucos ψ-Vsin ψ
=Usin ψ+Vcos ψ
=r
=-T1+T2T1T2-KT1T2H（r）+
KT1T2（δ+T3）+w（t）
H（r）=a3r3+a2r2+a1r+a0
u=δ
（2）
式中：
ψ为艏向角；r为转艏角速度；U和V分别为船舶纵向速度和横向速度；x和y分别为大地坐标系下的船舶纵向位移和横向位移；w（t）为外界干扰；T1，T2和T3为船舶追随性指数；K为船舶旋回性指数；a0，a1，a2和a3为非线性系数，其具体数值可由逆螺旋实验确定；δ为舵角，是系统的控制输入。
舵机伺服系统一般由电气—液压驱动系统构成，其功能是驱动舵角达到控制系统命令的期望角度。考虑舵机特性，
TRδ（t）=KRδc（t）-δ（t）
（3）
式中：δc（t）为输入的命令舵角；δ（t）为实际输出的舵角；TR为舵机时间常数，一般约为2.5 s；KR为舵机控制增益，一般约为1[12]。对大多数船舶而言，实际舵角和转舵速率满足δ<35°，δ
·<3°/s。
2船舶航迹间接跟踪控制方法
船舶在实际航行过程中易因风、流等的干扰而偏离计划航线，艏向与计划航迹向之间存在一定的角度（即风流压差角）。假如能构建期望艏向
方程，使实际的艏向角跟踪至ψd，则可实现船舶纵向偏差Δx和横向偏差Δy都趋近于0，从而实现船舶航迹跟踪控制的目标。
参考式（2），构建风、流等干扰情况下的期望艏向方程：
Δψ=ψ-ψp
Δ=ucosΔψ+vsinΔψ
Δ=usinΔψ+vcosΔψ
Δψd=-b3∫t0tanh（Δ
+b2tanh（b1Δy））
ψd=Δψd+ψp
（4）
式中：
ψ为实际艏向角；ψp为计划航迹向角；ψd为期望艏向角；Δx为船舶纵向偏差；Δy为船舶横向偏差；b1，b2和b3为待调参数
（b1为横向偏差调整增益，用于压缩航迹横向偏差；b2的大小可决定航迹收敛的快慢；b3为积分系数，用于调整积分速度）
，且均为正数。
利用LADRC与积分滑模相结合的算法构建船舶航向控制器，使艏向角跟踪至ψd，证明过程如下：
设g（Δψ）=usin Δψ+vcos Δψ+b2tanh（b1Δy）=
Δ
+b2tanh（b1Δy），Δψ*∈（-π2，π2）使g（Δψ*）=0成立，即Δ=-b2tanh（b1Δy）。选取李雅普诺夫函数V=12Δy2，则V
·=ΔyΔ=-b2Δytanh（b1Δy）<0，因此当g（Δψ*）=0时，limt→∞Δy=0，即Δψ*可使船舶航迹横向偏差收敛于0。
当Δψ∈-π2，π2时，dg（Δψ）dΔψ>0，g（Δψ）为
-π2，π2
上的递增函数。设ψp=0，则Δψ=ψ，Δψ*=ψ*，Δr=r。当ψ>ψ*，Δψ>Δψ*时，g（Δψ）>g（Δψ*），r==-b3tanh（g（Δψ））<0；
当ψ<ψ*，Δψ<Δψ*时，g（Δψ）<g（δψ*），r==
-b3tanh（g（Δψ））>0。
结合船舶的实际操作，上述结论可解释为：当实际艏向角ψ>ψ*（ψ*可使船舶航迹偏差收敛于0），r<0时，在转艏角速度的作用下，ψ→ψ*，g（Δψ）→0，则limt→∞Δy=0。当实际艏向角ψ<ψ*（ψ*可使船舶航迹偏差收敛于0），r>0时，在转艏角速度的作用下，ψ→ψ*，g（Δψ）→0，则limt→∞Δy=0。
证毕。
由以上证明可知，船舶在任意状态下都有limt→∞Δy=
0。当船舶偏离计划航线时，设计航向控制器使艏向角跟踪至期望艏向角ψd，可使舶横向偏差收敛至0，实现航迹跟踪的目的。
3船舶航向控制器设计
3.1LADRC介绍
韩京清[13]在原有的PID控制技术基础上提出了ADRC技术；运用该技术能主动实时地估计与补偿被控系统的内外部不确定扰动。GAO[14]提出LADRC
技术，极大简化了ADRC方法，解决了传统ADRC技术参数整定困难的问题；该控制技术对复杂的不确定非线性被控对象依然表现出很好的控制品质。
LADRC器包括3部分，分别为非线性跟踪微分器（TD）、LESO和非线性状态误差反馈控制律（NLSEF）。本文设计3阶跟踪微分器用于跟踪目标信号及其微分信号；在传统的NLSEF中，引入变结构积分滑模切换函数，使系统快速准确地进入并稳定在滑模面上，加快系統收敛速度。
因本文选取的船舶模型为3阶Bech模型，为提高跟踪微分器的跟踪精度和速度，借助sgn函数，设计如下3阶TD对目标信号进行跟踪。
1=v2
2=v3
3=-rsgn（M2，h）
（5）
式中：
M0=sgnv1-yd+v22rv2，h
M1=M0v2+v332r
M2=v1-yd+v333r2+
M0（v2v3+M1M1r）r
其中：h和r为可调参数；ψd为艏向角的设定值，即为目标航向；v1为ψd的跟踪信号；v2为d的跟踪信号；v3为d的跟踪信号。
3阶非线性系统的状态方程形式如下：
1=x2
2=x3
3=f（x1，x2，x3）+w（t）+bu
y=x1
（6）
式中：x1，x2和x3為系统的状态变量；u为系统的输入；y为系统的输出；fx1，x2，x3为非线性系统内部的不确定项；w（t）为系统的外部扰动；b为控制增益。
LESO是LADRC技术的核心部分，其作用是对系统的内外部总扰动主动实时地进行估计与补偿。因此，令fx1，x2，x3+w（t）=x4，4=h，x4为系统的总扰动，系统（6）可改写为
1=x2
2=x3
3=x4+bu1
4=h
y=x1
（7）
参考文献[9]为3阶非线性系统设计如下的LESO：
1=z2-l1e1
2=z3-l2e1
3=z4-l3e1+b0u
4=-l4e1
e1=z1-ψ
（8）
式中：
[WTHX]z[WTBX]
=z1z2z3z4T为3阶非线性系统状态方程（式（6））中的状态变量
[WTHX]x[WTBX]
=x1x2x3x4T的估计值；
[WTHX]L[WTBX]
4=（ω0α1ω02α2ω03α3ω04α4）为LESO的增益矢量，其中ω0>0，α1，α2，α3和α4使特征多项式满足Hurwitz条件，即s+14=s4+α1s3+α2s2+α3s+α4。
LADRC器基于LESO带宽和闭环带宽，实现控制器参数化，选择合适的增益参数ω0，即可使LESO准确地跟踪各个状态量，即z1≈x1，z2≈x2，z3≈x3，z4≈x4，达到实时观测和补偿总扰动的目的。
3.2NLSEF设计
调节TD系数，使TD准确地跟踪ψd，则v1≈ψd，v2≈d，v3≈d；根据被控系统的带宽，选择合适的增益参数ω0，LESO可实现实时
准确地跟踪目标航向及其微分信号，则z1≈ψ，z2≈，z3≈。构建航向误差如下：
e=z1-v1
=1-1=z2-v2
=1-1=z3-v3
（9）
当存在外界干扰时，普通的滑模变结构控制技术会造成稳态误差，达不到期望的控制效果。在滑模面的设计过程中引入积分项，构造变结构积分滑
模面，可消除稳态误差，同时加快系统收敛速度[14]。因此，本文构建积分滑模面函数
s=+c2+c1e+c0∫edt，
则
=e…+c2+c1+c0e
（10）
由于e…=
ψ…-
ψ…d，由式（2）得
ψ…
=f（r）+w（t）+bu1
（11）
其中：fr=-T1+T2T1T2-KT1T2（a3r3+a2r2+a1r+a0）；b=KT1T2；虚拟控制
率u1=δ+T3，控制输入为u=δ。将式（11）代入式（10）得
=fr+w（t）+bu1-ψ…d+
c2+c1+c0e
（12）
其中c0，c1和c2使特征多项式满足Hurwitz条件，则c0=λ3，c1=3λ2，c2=3λ，λ>0。
为了提高系统的控制效果，减少因引入积分滑模面函数产生的系统高频抖振问题，在几种典型的滑模控制趋近律中选取指数趋近律来设计控制器，其表达式为
=-εsgns-ks， ε>0， k>0
（13）
该趋近方法既能缩短系统稳定时间，又能降低系统抖振。
将式（12）与（13）联立，得出虚拟控制律u1表达式：
u1=-εsgns+ks+c0e+
c1+c2+-ψ…db
（14）
式中：u1=δ+T3为虚拟控制律，系统实际的控制输入u=δ。可通过LESO观测得出被控系统的总扰动的估计，进行总扰动实时补偿。
选取李雅普诺夫函数V=s2/2，则V
·=s=s（-εsgn s-ks）=-εs-ks2≤0，则积分滑模面函数s→0，从而航向误差e→0，即e=ψ-ψd→0，ψ→ψd，船舶实际艏向角ψ可在控制器的作用下跟踪至期望艏向角ψd，达到航迹跟踪控制的目的。本文设计的航迹控制器的结构见图1。
4Simulink仿真
本文选取文献[6]中的“Marine”船为仿真对象，利用MATLAB中的Simulink进行仿真。“Marine”船的基本参数：船长160.9 m，船宽23.2 m，满载吃水7.467 m，方形系数0.588，航速7.2 m/s。船
舶Bech模型无量纲化参数为：K=2.549，T1= 3.244，T2=0.382，T3=0.788，a0=0，a1=20，a2=25，a3=30；TD模块中参数r=30，h=2；LESO模块中参数ω0=5；NLSEF中参数λ=0.4，K=0.5，ε=0.003；期望艏向角ψd方程中的参数b1=0.05，b2=1.5，b3=0.01。
船舶的纵向位置偏差可通过进车与倒车的操纵进行消除，因此本文仿真仅考虑消除横向误差，使Δy收敛于0。为验证控制器的普适性，本文将在有风、流干扰且不改变控制器参数的条件下，分别进行直线航迹控制和曲线航迹控制仿真。
4.1直线航迹控制仿真
直线航迹控制仿真初始条件为：在固定坐标系下，船舶的初始位置为 （0，555.6），即纵向位置x0=0，y0=0.3 n mile ≈ 555.6 m，初始航向角ψ0=0°，计划航迹yd=0。船舶初始前進速度U0=7.2 m/s，船舶横移速度V=1.0 m/s。外界风、流干扰条件为：风向西南，风速7 m/s；流向东北，流速1.5 m/s。参考文献[17]中船舶转舵降速系数的估算
UU0=
-8.697+6.361K+7.960CN-
5.285KCN-0.226CNΔψ57.3+0.067K2+
0.028Δψ57.32
式中：U0为转舵前的速度；U为转舵后的速度；Δψ以度为单位进行计算；CN为舵的法向力系数；K为船舶旋回性指数。
仿真结果（见图2～3）表明，在较大的风、流干扰下，由航迹横向偏差555.6 m收敛至计划航迹yd=0仅需要270 s，稳定时间短，收敛光滑；因风向西南，流向东北，艏向角先正向变化，在控制器的作用下平滑变化至恒定负角，使船舶按计划航迹航行；舵角变化平滑，且无抖振，舵机损耗较小，最大舵角仅为14°，节省舵机能量；在较大的风、流干扰下，当航迹稳定时，船舶左舵用于克服风、流对船舶航迹的影响。
4.2曲线航迹控制仿真
曲线航迹控制仿真初始条件：船舶初始位置为（0，0），即
x0=0，y0=0，位于船舶固定坐标系原点；船舶初始航向ψ0=0°；船舶初始前进速度U0=7.2 m/s；船舶横移速度V=1.0 m/s。参考文献[18]中船舶转向过程中速度下降的计算公式，对横移速度进行降速处理。因为复杂的船舶曲线路径可看作由正弦曲线简单叠加而成，所以选用跟踪轨迹为yd=200 sin（0.000 4πx）。该
期望轨迹幅值为200 m，船舶每纵向前进5 000 m完成一个正弦周期曲线。风向西南，流向东北，由外界风、流引起的等效干扰为定常干扰，即为风流压差角γ。如γ=4°，则外界干扰w=4π/180。仿真结果见图5～8。
由仿真结果可知：在风、流干扰下，船舶仅用时
130 s就使实际航迹曲线跟踪至计划航迹曲线，跟踪
速度快且精度高，无超调；舵角变化小，最大舵角仅为6°，平滑且无抖振，减小舵机磨损；艏向角变化光滑平稳，幅值较小。
综合直线和曲线航迹跟踪控制仿真结果可得：本文设计的航迹控制器收敛速度快、跟踪精度高；在较大的风、流干扰下，仍有较好的控制品质，对外界干扰具有较强的鲁棒性；曲线航迹控制与直线航迹控制选取相同的控制器参数，说明本文设计的控制器具有一定的普适性。
4.3控制器参数说明
LADRC器的控制性能与其参数选取有十分重要的关系。在3阶非
线性TD的设计过程中，参数h影响其跟踪精度，h为正数，其值越小跟踪精度越高；参数r影响其跟踪时间，r为正数，其值越大跟踪时间越短；在LESO的设计过程中，参数ω0的选取需要根据控制系统的带宽要求确定，一般ω0越大，LESO跟踪效果越好；在NLSEF的设计过程中，λ>0，且积分滑模面函数的系数使特征多项式满足Hurwitz条件；滑模控制趋近律的参数ε>0，k>0，为了加快系统收敛速度，削弱系统的抖振，应增大ε，减小k。
5结论
借助能更详细
地描述船舶特性的Bech模型，综合线性自抗扰控制（LADRC）和积分滑模控制的优点，提出一种基于LADRC的积分滑模复合型航迹控制器。直线和曲线航迹控制的仿真结果表明，航迹跟踪速度快且精度高，系统稳定且无抖振，对外界干扰具有较强的鲁棒性。本文航迹控制算法的优点是设计过程简单，控制效果好，控制器参数化，易于工程实现。
参考文献：
[1]
李荣辉. 欠驱动水面船舶航迹自抗扰控制研究[D]. 大连： 大连海事大学， 2013.
[2]刘杨， 郭晨， 刘正江， 等. 基于神经网络稳定自适应的欠驱动水面船舶编队控制方法[J]. 交通运输工程学报， 2014， 14（3）： 120126.
[3]林壮， 朱齐丹， 邢卓异. 基于遗传优化的水平欠驱动机械臂分层滑模控制[J]. 控制与决策， 2008， 23（1）： 99102. DOI： 10.13195/j.cd.2008.01.101.linzh.020.
[4]ASHRAFIUON H， MUSKE K R， MCNINCH L C， et al. Sliding mode tracking control of surface vessels[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2008， 55（11）： 40044012.
[5]RUAN Jiuhong， LI Yibin. ADRC based ship course controller design and simulations[C]//IEEE ICAL 2007 Conference Proceedings. Jinan， China： Shanghai System Science Press， 2007： 27312735.
[6]宋立忠， 马伟明， 陈少昌. 基于Bech模型的船舶航向离散变结构控制[J]. 中国造船， 2003， 44（4）： 6872.
[7]卜仁祥， 刘正江， 李铁山. 船舶航迹迭代非线性滑模增量反馈控制算法[J]. 交通运输工程学报， 2006， 6（4）： 7579.
[8]刘文江， 隋青美， 周风余， 等. 基于Bech模型的船舶航向自抗扰控制器设计与仿真[J]. 船舶工程， 2011， 33（6）： 6164. DOI： 10.13788/j.cnki.cbgc.2011.06.022.
[9]李荣辉， 李铁山， 李强. 自抗扰控制在船舶航向及航迹控制中的应用[C]//中国自动化学会控制理论专业委员会. 第30届中国控制会议： B卷. 中国， 烟台： 中国自动化学会控制理论专业委员会， 2011： 63106314.
[10]孙建， 李伟， 安思朦. 基于变结构自抗扰的欠驱动水面船舶航迹保持控制[J]. 大连海事大学学报， 2015， 41（3）： 1014. DOI： 10.16411/j.cnki.issn10067736.2015.03.002.
[11]van AMERONGEN J， UDINK T C A J. Model reference adaptive autopilots for ships[J]. Automatica， 1975， 11（5）： 441449. DOI： 10.1016/00051098（75）900205.
[12]姜继海， 苏文海， 张洪波， 等. 直驱式容积控制电液伺服系统及其在船舶舵机上的应用[J]. 中国造船， 2004， 45（4）： 5459.
[13]韩京清. 从PID技术到“自抗扰控制”技术[J]. 控制工程， 2002， 9（3）： 1318. DOI： 10.14107/j.cnki.kzgc.2002.03.003.
[14]GAO Zhiqiang. Scaling and bandwidthparameterization based controller tuning[C]//Proceedings of the American Control Conference. Denver， American： American Automatic Control Council， 2003： 49894996. DOI： 10.1109/ACC.2003.1242516.
[15]CHERN T L， WU Y C. Integral variable structure control approach for robot manipulators[J]. IEEE Proceedings Control Theory and Applications， 1992， 139（2）： 161166.
[16]HAMAYUN M T， EDWARDS C， ALWI H. Design and analysis of an integral sliding mode fault tolerant control scheme[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2012， 57（7）： 17831789.
[17]李宗波， 張显库， 贾云. 船舶转向过程中速度下降问题的研究[J]. 航海技术， 2008（3）： 24.
（编辑贾裙平）
文章编号：1672-9498（2017）03001206
摘要：
为解决欠驱动船舶航迹直线和曲线跟踪控制问题，选取能解决航向不稳定等非线性问题的Bech模型，借助双曲正切函数，构造期望艏向方程，将航迹控制问题转化为航向控制问题。设计3阶跟踪微分器，对期望艏向及其微分信号进行精确提取。采用变结构积分滑模面函数设计非线性误差反馈控制律，加快系统收敛速度，提出基于线性自抗扰控制（Linear Active Disturbance Rejection Control， LADRC）的船舶航迹积分滑模控制器。该控制器的线性扩张状态观测器对系统内外总扰动进行在线估计与实时补偿；引入Hurwitz多项式，减少需整定的参数。仿真结果表明，航迹收敛快速准确，无超调，对外界干扰具有较强的鲁棒性。控制器参数具有一定的普适性，故其适用范围广。
关键词：
船舶航迹控制； Bech模型； 线性自抗扰控制（LADRC）； 积分滑模面
中图分类号： U664.82
文献标志码： A
Abstract：
To solve the problem of the straightline and curvefollowing control of the underactuated ship tracking， the Bech model which can solve the nonlinear problems such as heading instability is selected. The expected heading equation is constructed by the hyperbolic tangent function to turn the ship tracking control into the ship course control. A thirdorder tracking differentiator is structured to extract precisely the expected course and its derivative. To accelerate the system convergence rate， a variable structure integral slidingmode surface function is introduced to design the nonlinear error feedback control law. An integral slidingmode controller of ship tracking based on Linear Active Disturbance Rejection Control （LADRC） is proposed. This controller can estimate and compensate the internal and external total disturbances in real time with the linear extended state observer； the Hurwitz polynomial is introduced to reduce the number of parameters to be set. The simulation results show that， the trajectory convergence is fast and accurate， without overshoot， and robust to external disturbances. The parameters of the controller are universal， so the controller has wide application range.
Key words：
ship tracking control； Bech model； Linear Active Disturbance Rejection Control （LADRC）； integral slidingmode surface
0引言
通常情況下，研究船舶的运动需考虑3个自由度的运动，即进退、横移、艏摇运动。普通船舶（未安装侧推器的船舶）凭借螺旋桨的推力和舵的转船力矩分别控制其进退和艏摇运动，其运动系统的控制输入量少于其需要控制的运动自由度数量[1]，即普通船舶多为欠驱动系统。此外，船舶在实际航行过程中易受到风、流等外界环境的干扰，产生横移运动，同时船舶本身具有大惯性，其运动具有长时滞、非线性，使得船舶航迹跟踪控制问题成为船舶运动控制领域的重要问题之一。
近年来，对于船舶航迹跟踪控制问题，国内外研究人员取得了诸多成果。文献[3]采用近似线性化的船舶模型，利用滑模控制设计船舶航迹控制器；文献[4]根据船舶的欠驱动特性，借助变结构滑模控制方法，在附体坐标系下设计船舶纵向和横向位置跟踪控制器，跟踪效果较好；文献[5]引入自抗扰控制（Active Disturbance Rejection Control， ADRC）算法，借助比例微分（Proportional Derivative， PD）控制律设计航迹控制器，并进行欠驱动船舶直线和曲线航迹控制仿真，该控制器收敛速度快、鲁棒性较强；文献[6]选用Bech模型作为船舶模型，在一定程度上解决了船舶运动非线性问题，采用离散变结构控制理论设计的船舶航向控制器对参数摄动和外部干扰具有很强的鲁棒性，但该方法未被应用在航迹控制问题上。文献[7]利用非线性滑模迭代与增量反馈控制技术，设计出不依赖于精确船舶模型的非线性反馈控制律，解决了船舶航迹直线和曲线控制问题，但控制器计算量较大，不利于工程实现；文献[8]借助Bech模型，基于ADRC方法，提出了适用于外界条件变化的航向控制器，但船舶受外界干扰时舵角抖振严重，且设计的控制器参数多、不易整定；文献[9]利用线性扩张状态观测器（LESO）对系统内部不确定扰动和外界干扰总和进行实时观测，并在误差反馈控制律中进行主动补偿；文献[10]通过构建降维方程得出系统收敛至计划航迹的期望艏向，将变结构线性滑模面引入到误差反馈控制律设计中，解决了船舶直线航迹跟踪控制问题。
本文采用Bech模型作为船舶模型，解决了航向不稳定等非线性问题。针对船舶模型航迹跟踪控制问题，利用双曲正切函数构造期望艏向方程，通过跟踪期望艏向达到航迹跟踪控制的目的。在误差反馈控制律的设计过程中引入积分滑模面函数，提出了一种基于线性ADRC（Linear ADRC， LADRC）的积分滑模航向跟踪控制器，在继承LADRC技术优点的同时缩短系统收敛的时间，两种控制算法的结合提升了航迹控制品质。
1船舶航迹控制数学模型
船舶运动控制系统模型一般采用线性或非线性的一阶或二阶Nomoto方程，该模型的推导基于小舵角、常速条件，有较大的局限性。Bech和Wagner Smith提出了适用于解决航向不稳定等非线性问题的Bech模型[11]，该模型能更加精确地描述船舶的动态性能，其具体表达式为
T1T2+（T1+T2）+KHB（r）=K（δ+T3）
（1）
由此得出考虑风、流等外界干扰情况下的船舶航迹控制模型：
=Ucos ψ-Vsin ψ
=Usin ψ+Vcos ψ
=r
=-T1+T2T1T2-KT1T2H（r）+
KT1T2（δ+T3）+w（t）
H（r）=a3r3+a2r2+a1r+a0
u=δ
（2）
式中：
ψ为艏向角；r为转艏角速度；U和V分别为船舶纵向速度和横向速度；x和y分别为大地坐标系下的船舶纵向位移和横向位移；w（t）为外界干扰；T1，T2和T3为船舶追随性指数；K为船舶旋回性指数；a0，a1，a2和a3为非线性系数，其具体数值可由逆螺旋实验确定；δ为舵角，是系统的控制输入。
舵机伺服系统一般由电气—液压驱动系统构成，其功能是驱动舵角达到控制系统命令的期望角度。考虑舵机特性，
TRδ（t）=KRδc（t）-δ（t）
（3）
式中：δc（t）为输入的命令舵角；δ（t）为实际输出的舵角；TR为舵机时间常数，一般约为2.5 s；KR为舵机控制增益，一般约为1[12]。对大多数船舶而言，实际舵角和转舵速率满足δ<35°，δ
·<3°/s。
2船舶航迹间接跟踪控制方法
船舶在实际航行过程中易因风、流等的干扰而偏离计划航线，艏向与计划航迹向之间存在一定的角度（即风流压差角）。假如能构建期望艏向
方程，使实际的艏向角跟踪至ψd，则可实现船舶纵向偏差Δx和横向偏差Δy都趋近于0，从而实现船舶航迹跟踪控制的目标。
参考式（2），构建风、流等干扰情况下的期望艏向方程：
Δψ=ψ-ψp
Δ=ucosΔψ+vsinΔψ
Δ=usinΔψ+vcosΔψ
Δψd=-b3∫t0tanh（Δ
+b2tanh（b1Δy））
ψd=Δψd+ψp
（4）
式中：
ψ为实际艏向角；ψp为计划航迹向角；ψd为期望艏向角；Δx为船舶纵向偏差；Δy为船舶横向偏差；b1，b2和b3为待调参数
（b1为横向偏差调整增益，用于压缩航迹横向偏差；b2的大小可决定航迹收敛的快慢；b3为积分系数，用于调整积分速度）
，且均为正数。
利用LADRC与积分滑模相结合的算法构建船舶航向控制器，使艏向角跟踪至ψd，证明过程如下：
设g（Δψ）=usin Δψ+vcos Δψ+b2tanh（b1Δy）=
Δ
+b2tanh（b1Δy），Δψ*∈（-π2，π2）使g（Δψ*）=0成立，即Δ=-b2tanh（b1Δy）。选取李雅普诺夫函数V=12Δy2，则V
·=ΔyΔ=-b2Δytanh（b1Δy）<0，因此当g（Δψ*）=0时，limt→∞Δy=0，即Δψ*可使船舶航迹横向偏差收敛于0。
当Δψ∈-π2，π2时，dg（Δψ）dΔψ>0，g（Δψ）为
-π2，π2
上的递增函数。设ψp=0，则Δψ=ψ，Δψ*=ψ*，Δr=r。当ψ>ψ*，Δψ>Δψ*时，g（Δψ）>g（Δψ*），r==-b3tanh（g（Δψ））<0；
当ψ<ψ*，Δψ<Δψ*时，g（Δψ）<g（δψ*），r==
-b3tanh（g（Δψ））>0。
结合船舶的实际操作，上述结论可解释为：当实际艏向角ψ>ψ*（ψ*可使船舶航迹偏差收敛于0），r<0时，在转艏角速度的作用下，ψ→ψ*，g（Δψ）→0，则limt→∞Δy=0。当实际艏向角ψ<ψ*（ψ*可使船舶航迹偏差收敛于0），r>0时，在转艏角速度的作用下，ψ→ψ*，g（Δψ）→0，则limt→∞Δy=0。
证毕。
由以上证明可知，船舶在任意状态下都有limt→∞Δy=
0。当船舶偏离计划航线时，设计航向控制器使艏向角跟踪至期望艏向角ψd，可使舶横向偏差收敛至0，实现航迹跟踪的目的。
3船舶航向控制器设计
3.1LADRC介绍
韩京清[13]在原有的PID控制技术基础上提出了ADRC技术；运用该技术能主动实时地估计与补偿被控系统的内外部不确定扰动。GAO[14]提出LADRC
技术，极大简化了ADRC方法，解决了传统ADRC技术参数整定困难的问题；该控制技术对复杂的不确定非线性被控对象依然表现出很好的控制品质。
LADRC器包括3部分，分别为非线性跟踪微分器（TD）、LESO和非线性状态误差反馈控制律（NLSEF）。本文设计3阶跟踪微分器用于跟踪目标信号及其微分信号；在传统的NLSEF中，引入变结构积分滑模切换函数，使系统快速准确地进入并稳定在滑模面上，加快系統收敛速度。
因本文选取的船舶模型为3阶Bech模型，为提高跟踪微分器的跟踪精度和速度，借助sgn函数，设计如下3阶TD对目标信号进行跟踪。
1=v2
2=v3
3=-rsgn（M2，h）
（5）
式中：
M0=sgnv1-yd+v22rv2，h
M1=M0v2+v332r
M2=v1-yd+v333r2+
M0（v2v3+M1M1r）r
其中：h和r为可调参数；ψd为艏向角的设定值，即为目标航向；v1为ψd的跟踪信号；v2为d的跟踪信号；v3为d的跟踪信号。
3阶非线性系统的状态方程形式如下：
1=x2
2=x3
3=f（x1，x2，x3）+w（t）+bu
y=x1
（6）
式中：x1，x2和x3為系统的状态变量；u为系统的输入；y为系统的输出；fx1，x2，x3为非线性系统内部的不确定项；w（t）为系统的外部扰动；b为控制增益。
LESO是LADRC技术的核心部分，其作用是对系统的内外部总扰动主动实时地进行估计与补偿。因此，令fx1，x2，x3+w（t）=x4，4=h，x4为系统的总扰动，系统（6）可改写为
1=x2
2=x3
3=x4+bu1
4=h
y=x1
（7）
参考文献[9]为3阶非线性系统设计如下的LESO：
1=z2-l1e1
2=z3-l2e1
3=z4-l3e1+b0u
4=-l4e1
e1=z1-ψ
（8）
式中：
[WTHX]z[WTBX]
=z1z2z3z4T为3阶非线性系统状态方程（式（6））中的状态变量
[WTHX]x[WTBX]
=x1x2x3x4T的估计值；
[WTHX]L[WTBX]
4=（ω0α1ω02α2ω03α3ω04α4）为LESO的增益矢量，其中ω0>0，α1，α2，α3和α4使特征多项式满足Hurwitz条件，即s+14=s4+α1s3+α2s2+α3s+α4。
LADRC器基于LESO带宽和闭环带宽，实现控制器参数化，选择合适的增益参数ω0，即可使LESO准确地跟踪各个状态量，即z1≈x1，z2≈x2，z3≈x3，z4≈x4，达到实时观测和补偿总扰动的目的。
3.2NLSEF设计
调节TD系数，使TD准确地跟踪ψd，则v1≈ψd，v2≈d，v3≈d；根据被控系统的带宽，选择合适的增益参数ω0，LESO可实现实时
准确地跟踪目标航向及其微分信号，则z1≈ψ，z2≈，z3≈。构建航向误差如下：
e=z1-v1
=1-1=z2-v2
=1-1=z3-v3
（9）
当存在外界干扰时，普通的滑模变结构控制技术会造成稳态误差，达不到期望的控制效果。在滑模面的设计过程中引入积分项，构造变结构积分滑
模面，可消除稳态误差，同时加快系统收敛速度[14]。因此，本文构建积分滑模面函数
s=+c2+c1e+c0∫edt，
则
=e…+c2+c1+c0e
（10）
由于e…=
ψ…-
ψ…d，由式（2）得
ψ…
=f（r）+w（t）+bu1
（11）
其中：fr=-T1+T2T1T2-KT1T2（a3r3+a2r2+a1r+a0）；b=KT1T2；虚拟控制
率u1=δ+T3，控制输入为u=δ。将式（11）代入式（10）得
=fr+w（t）+bu1-ψ…d+
c2+c1+c0e
（12）
其中c0，c1和c2使特征多项式满足Hurwitz条件，则c0=λ3，c1=3λ2，c2=3λ，λ>0。
为了提高系统的控制效果，减少因引入积分滑模面函数产生的系统高频抖振问题，在几种典型的滑模控制趋近律中选取指数趋近律来设计控制器，其表达式为
=-εsgns-ks， ε>0， k>0
（13）
该趋近方法既能缩短系统稳定时间，又能降低系统抖振。
将式（12）与（13）联立，得出虚拟控制律u1表达式：
u1=-εsgns+ks+c0e+
c1+c2+-ψ…db
（14）
式中：u1=δ+T3为虚拟控制律，系统实际的控制输入u=δ。可通过LESO观测得出被控系统的总扰动的估计，进行总扰动实时补偿。
选取李雅普诺夫函数V=s2/2，则V
·=s=s（-εsgn s-ks）=-εs-ks2≤0，则积分滑模面函数s→0，从而航向误差e→0，即e=ψ-ψd→0，ψ→ψd，船舶实际艏向角ψ可在控制器的作用下跟踪至期望艏向角ψd，达到航迹跟踪控制的目的。本文设计的航迹控制器的结构见图1。
4Simulink仿真
本文选取文献[6]中的“Marine”船为仿真对象，利用MATLAB中的Simulink进行仿真。“Marine”船的基本参数：船长160.9 m，船宽23.2 m，满载吃水7.467 m，方形系数0.588，航速7.2 m/s。船
舶Bech模型无量纲化参数为：K=2.549，T1= 3.244，T2=0.382，T3=0.788，a0=0，a1=20，a2=25，a3=30；TD模块中参数r=30，h=2；LESO模块中参数ω0=5；NLSEF中参数λ=0.4，K=0.5，ε=0.003；期望艏向角ψd方程中的参数b1=0.05，b2=1.5，b3=0.01。
船舶的纵向位置偏差可通过进车与倒车的操纵进行消除，因此本文仿真仅考虑消除横向误差，使Δy收敛于0。为验证控制器的普适性，本文将在有风、流干扰且不改变控制器参数的条件下，分别进行直线航迹控制和曲线航迹控制仿真。
4.1直线航迹控制仿真
直线航迹控制仿真初始条件为：在固定坐标系下，船舶的初始位置为 （0，555.6），即纵向位置x0=0，y0=0.3 n mile ≈ 555.6 m，初始航向角ψ0=0°，计划航迹yd=0。船舶初始前進速度U0=7.2 m/s，船舶横移速度V=1.0 m/s。外界风、流干扰条件为：风向西南，风速7 m/s；流向东北，流速1.5 m/s。参考文献[17]中船舶转舵降速系数的估算
UU0=
-8.697+6.361K+7.960CN-
5.285KCN-0.226CNΔψ57.3+0.067K2+
0.028Δψ57.32
式中：U0为转舵前的速度；U为转舵后的速度；Δψ以度为单位进行计算；CN为舵的法向力系数；K为船舶旋回性指数。
仿真结果（见图2～3）表明，在较大的风、流干扰下，由航迹横向偏差555.6 m收敛至计划航迹yd=0仅需要270 s，稳定时间短，收敛光滑；因风向西南，流向东北，艏向角先正向变化，在控制器的作用下平滑变化至恒定负角，使船舶按计划航迹航行；舵角变化平滑，且无抖振，舵机损耗较小，最大舵角仅为14°，节省舵机能量；在较大的风、流干扰下，当航迹稳定时，船舶左舵用于克服风、流对船舶航迹的影响。
4.2曲线航迹控制仿真
曲线航迹控制仿真初始条件：船舶初始位置为（0，0），即
x0=0，y0=0，位于船舶固定坐标系原点；船舶初始航向ψ0=0°；船舶初始前进速度U0=7.2 m/s；船舶横移速度V=1.0 m/s。参考文献[18]中船舶转向过程中速度下降的计算公式，对横移速度进行降速处理。因为复杂的船舶曲线路径可看作由正弦曲线简单叠加而成，所以选用跟踪轨迹为yd=200 sin（0.000 4πx）。该
期望轨迹幅值为200 m，船舶每纵向前进5 000 m完成一个正弦周期曲线。风向西南，流向东北，由外界风、流引起的等效干扰为定常干扰，即为风流压差角γ。如γ=4°，则外界干扰w=4π/180。仿真结果见图5～8。
由仿真结果可知：在风、流干扰下，船舶仅用时
130 s就使实际航迹曲线跟踪至计划航迹曲线，跟踪
速度快且精度高，无超调；舵角变化小，最大舵角仅为6°，平滑且无抖振，减小舵机磨损；艏向角变化光滑平稳，幅值较小。
综合直线和曲线航迹跟踪控制仿真结果可得：本文设计的航迹控制器收敛速度快、跟踪精度高；在较大的风、流干扰下，仍有较好的控制品质，对外界干扰具有较强的鲁棒性；曲线航迹控制与直线航迹控制选取相同的控制器参数，说明本文设计的控制器具有一定的普适性。
4.3控制器参数说明
LADRC器的控制性能与其参数选取有十分重要的关系。在3阶非
线性TD的设计过程中，参数h影响其跟踪精度，h为正数，其值越小跟踪精度越高；参数r影响其跟踪时间，r为正数，其值越大跟踪时间越短；在LESO的设计过程中，参数ω0的选取需要根据控制系统的带宽要求确定，一般ω0越大，LESO跟踪效果越好；在NLSEF的设计过程中，λ>0，且积分滑模面函数的系数使特征多项式满足Hurwitz条件；滑模控制趋近律的参数ε>0，k>0，为了加快系统收敛速度，削弱系统的抖振，应增大ε，减小k。
5结论
借助能更详细
地描述船舶特性的Bech模型，综合线性自抗扰控制（LADRC）和积分滑模控制的优点，提出一种基于LADRC的积分滑模复合型航迹控制器。直线和曲线航迹控制的仿真结果表明，航迹跟踪速度快且精度高，系统稳定且无抖振，对外界干扰具有较强的鲁棒性。本文航迹控制算法的优点是设计过程简单，控制效果好，控制器参数化，易于工程实现。
参考文献：
[1]
李荣辉. 欠驱动水面船舶航迹自抗扰控制研究[D]. 大连： 大连海事大学， 2013.
[2]刘杨， 郭晨， 刘正江， 等. 基于神经网络稳定自适应的欠驱动水面船舶编队控制方法[J]. 交通运输工程学报， 2014， 14（3）： 120126.
[3]林壮， 朱齐丹， 邢卓异. 基于遗传优化的水平欠驱动机械臂分层滑模控制[J]. 控制与决策， 2008， 23（1）： 99102. DOI： 10.13195/j.cd.2008.01.101.linzh.020.
[4]ASHRAFIUON H， MUSKE K R， MCNINCH L C， et al. Sliding mode tracking control of surface vessels[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2008， 55（11）： 40044012.
[5]RUAN Jiuhong， LI Yibin. ADRC based ship course controller design and simulations[C]//IEEE ICAL 2007 Conference Proceedings. Jinan， China： Shanghai System Science Press， 2007： 27312735.
[6]宋立忠， 马伟明， 陈少昌. 基于Bech模型的船舶航向离散变结构控制[J]. 中国造船， 2003， 44（4）： 6872.
[7]卜仁祥， 刘正江， 李铁山. 船舶航迹迭代非线性滑模增量反馈控制算法[J]. 交通运输工程学报， 2006， 6（4）： 7579.
[8]刘文江， 隋青美， 周风余， 等. 基于Bech模型的船舶航向自抗扰控制器设计与仿真[J]. 船舶工程， 2011， 33（6）： 6164. DOI： 10.13788/j.cnki.cbgc.2011.06.022.
[9]李荣辉， 李铁山， 李强. 自抗扰控制在船舶航向及航迹控制中的应用[C]//中国自动化学会控制理论专业委员会. 第30届中国控制会议： B卷. 中国， 烟台： 中国自动化学会控制理论专业委员会， 2011： 63106314.
[10]孙建， 李伟， 安思朦. 基于变结构自抗扰的欠驱动水面船舶航迹保持控制[J]. 大连海事大学学报， 2015， 41（3）： 1014. DOI： 10.16411/j.cnki.issn10067736.2015.03.002.
[11]van AMERONGEN J， UDINK T C A J. Model reference adaptive autopilots for ships[J]. Automatica， 1975， 11（5）： 441449. DOI： 10.1016/00051098（75）900205.
[12]姜继海， 苏文海， 张洪波， 等. 直驱式容积控制电液伺服系统及其在船舶舵机上的应用[J]. 中国造船， 2004， 45（4）： 5459.
[13]韩京清. 从PID技术到“自抗扰控制”技术[J]. 控制工程， 2002， 9（3）： 1318. DOI： 10.14107/j.cnki.kzgc.2002.03.003.
[14]GAO Zhiqiang. Scaling and bandwidthparameterization based controller tuning[C]//Proceedings of the American Control Conference. Denver， American： American Automatic Control Council， 2003： 49894996. DOI： 10.1109/ACC.2003.1242516.
[15]CHERN T L， WU Y C. Integral variable structure control approach for robot manipulators[J]. IEEE Proceedings Control Theory and Applications， 1992， 139（2）： 161166.
[16]HAMAYUN M T， EDWARDS C， ALWI H. Design and analysis of an integral sliding mode fault tolerant control scheme[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2012， 57（7）： 17831789.
[17]李宗波， 張显库， 贾云. 船舶转向过程中速度下降问题的研究[J]. 航海技术， 2008（3）： 24.
（编辑贾裙平）
