全概率理论斜拉桥地震风险分析
钟剑 万华平 任伟新
摘要： 桥梁的地震风险分析涉及到场地地震危险性分析、概率性的地震需求分析以及概率性的抗震能力分析等阶段。鉴于各阶段存在不确定性，因此有必要在桥梁的地震风险分析中考虑各阶段不确定性，具体是基于全概率方法推导出斜拉桥不同性能水平下的地震风险的解析解。以迫龙沟大跨度斜拉桥为工程背景，建立OpenSEES非线性有限元模型，从PEER地震库选择100条符合场地条件的地震波来考虑地震动的不确定性，通过非线性时程分析建立概率需求地震模型，讨论了地震需求的不确定性和性能水平的不确定性对斜拉桥地震风险的影响。研究结果表明，忽略不确定性因素的影响会大大地低估了斜拉桥的地震风险。
关键词： 斜拉桥； 抗震设计； 不确定性； 地震危险性分析； 全概率
中图分类号： U448.27 文献标志码：A文章编号1004-4523（2018）04-0654-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.013
引言
美国太平洋地震工程研究中心（PEER）提出的新一代基于性能的地震工程（PBEE）研究框架[1]，成为目前抗震理论研究的热点问题。该框架分为独立又相互联系的4个部分，分别为地震危险性分析阶段、概率性的地震需求分析阶段、概率性的抗震能力分析阶段、概率性的损失评估阶段。通过各个阶段的随机变量以及随机变量的条件概率将整个结构基于性能的抗震概率评价过程联系起来，这些随机变量有地震强度指标（IM）、工程需求参数（EDP）、损伤指标（LS）以及决策变量（DV）。
地震易损性分析描述桥梁结构在不同水平的地震作用下达到某一极限状态或性能水平的超越概率[2]，把地震动输入强度与结构的损伤指标有机地联系在一起。Padgett等[2]、Shinozuka等[3]为易损性的理论和方法做出了很多贡献。国内也已有较多地震易损性的研究成果，很多专家学者对在基于构件破坏的桥梁结构易损性分析方面做了很多工作[4-8]。由于斜拉桥自振周期长、频谱密集以及振型耦合度高等特点，以及斜拉桥在桥梁工程中占据举足轻重的位置，因此对斜拉桥的易损性研究显得格外的迫切。Casciati等[9]、Pang等[10]、钟剑等[11]对不同跨径的斜拉桥进行研究，考虑不同的工程需求参数和损伤指标得到斜拉桥的易损性曲线。
一般而言，斜拉桥因地震而遭受灾害的程度主要与以下两个因素有关，一是桥梁所在场地的地震危险性；二是桥梁自身的抗震能力。目前大量的研究工作主要是关于桥梁自身的抗震能力（即结构的地震易损性）方面的，结合场地的地震危险性来开展桥梁遭受灾害程度的研究工作并不多见。鉴于场地的地震危险性是桥梁遭受灾害程度的重要因素，因此本文在桥梁地震风险分析中充分考虑了该因素的作用。
本文考虑了场地地震危险性分析、概率需求地震分析以及概率性的抗震能力分析各阶段的不确定性，在全概率理论框架下推导出结构不同性能水平下地震风险的解析解。最后通过斜拉桥案例来说明本文方法，并通过敏感性分析来研究各阶段不确定性对斜拉桥地震风险的影响。
1斜拉桥地震风险分析
1.2地震危险性模型
为了得到地震作用下结构不同性能水平的年平均超越概率，首先需要计算 IM 的地震危险性曲线。地震动危险性曲线是指工程场地未来遭遇的地震动参数在一定时期内的超越概率与地震动参数的函数关系曲线。Cornell等[12]研究表明，在一个很宽泛的地震强度的范围内，地震危险性曲线可以被近似的描述为对数线性化，即HIM（IM）=k0IM-k（4）式中IM为地震动强度指标，k0和k为两个待定参数。
主桥纵向为半漂浮体系，加劲梁与主塔、桥台之间均设置球钢支座，可纵向滑动；主塔与主梁之间设置横向抗风支座，限制主梁的横向位移。
2.1OpenSEES数值建模
本文所选算例的塔柱为钢筋混凝土结构，其尺寸及截面见图 2（a）和（b），图中L1和W1为截面外部尺寸，L2和W2为截面内部尺寸。本文利用OpenSEES的弹塑性纤维单元模拟，该单元将钢筋和混凝土离散为纤维，假设纤维之间完全粘结，且满足平截面假定。用OpenSEES里的Steel01材料模拟钢筋的双线性模型。
2.2地震波选取
在进行结构地震响应分析的过程中，本文采用云图法（Cloud Method）[16]来拟合构件的地震响应。与动力响应增量分析（IDA）[20]方法不同的是，云图法不对地震波进行缩放等处理，保持地震波的频谱特性。为了得到较为准确的概率需求地震模型，需要选择地震动强度指标（IM）从小到大分布较为均匀的一组地震波[21]。
本文选用Shafieezadeh[22]在其文章中使用的100条地震波，包含80條从PEER（Pacific Earthquake Engineering Research Center）强震地震库里选取的地震波，以及20条从SAC 工程的数据库里选择的地震波。从PEER里选择的是一组震级和震中距分布均匀的地震波，这些波震级从5.8到6.9，震中距从10 km到60 km，这些地震波的PGA、震级和震中距的分布图如图4所示。20条从SAC数据库中选择的地震波具有50年2%和10%的超越概率。
3斜拉桥地震风险分析
3.1所在场地的地震危险性模型本文采用美国 PEER 框架下关于建立地震危险性概率模型的假设和公式，结合中国新公布的地震动区划的规定，建立了本文设计结构所在场地的地震危险性曲线。
3.2概率需求地震模型（PSDM）
本文选用桥塔底部纵向曲率延性系数（μφx）作用常用的工程需求参数。在用OpenSEES建立考虑非线性有限元斜拉桥模型的基础上，在纵向输入100条加速度地震波时程，进行非线性时程分析。记录μφx在每条地震波下的最大值，进行对数线性拟合。计算得到拟合系数a=1.19，b=1.24以及标准差βd=0.55，如图5所示，图中每个圆圈为每条地震波时程分析得到μφx的峰值，直线为对数线性拟合曲线。
3.3性能水平及其極限状态
桥梁结构的破坏过程可用4种状态来描述，分别是：轻微损伤、中等损伤、严重损伤和完全损伤，对应4个性能水平，分别为正常使用、可修复损伤，生命安全以及结构倒塌。
各个性能水平的极限状态用结构或构件的抗震能力来表示（LS），LS可以通过专家意见、试验数据或理论分析等方式获得。Gardoni 等[23]利用已有的试验数据和 Bayes 估计法建立了承受反复荷载的钢筋混凝土圆形柱的概率能力模型（如图6所示）。Thomos 等[24]考虑材料强度等的随机性，利用拉丁超立方抽样技巧进行基本随机变量的抽样，对每一个钢筋混凝土结构样本进行了 Pushover 分析，获得了相应的能力曲线，再利用概率统计理论建立了结构的概率能力模型。Padgett等[2] 通过Bayes方法综合先验知识和试验数据建立了结构的概率能力模型。综上述文献的结论，本文建立4个极限状态的均值ηc（如表2所示），变异系数βc统一取为0.35。
3.4斜拉桥地震风险
在得到地震灾害曲线、概率需求地震模型后，通过公式（6）可以计算得到构件的灾害曲线，如图7所示，假设性能水平的极限状态是一个确定性的值，则可以在图中找到对应的超越概率，如图中黑色空心圆圈（○）所确定的位置。在考虑极限状态能力的概率分布之后，按照公式（12）可以计算出斜拉桥各个极限状态的地震风险，如图中黑色填充圆圈（●）所确定的位置。具体的数值如表3所示。
假设本工程的设计年限为100 y，则100 y的超越概率为HLS，100=1-（1-HLS）100≈100HLS（16）从表 3中可以看出，不考虑极限状态的不确定性会低估了构件的地震风险，以LS2为例，当考虑了极限状态的不确定性时，斜拉桥的塔底截面的地震风险增加了14.9%。
3.5解析方法的验证
用蒙特卡洛抽样（MCS）的数值方法，真实地模拟实际物理过程，对本文推导的公式进行验证，流程如下：
1） 以中等损伤为例，假设构件的能力服从对数正态分布（均值LS=2，标准差βc=0.35），进行足够多次（取N=106）随机抽样。
2） 对每次抽样的得到的EDPi带入公式（9），计算HEDP（EDPi）。
3） 对每次抽样计算的结果进行加权求和，∑Ni=1HEDPEDPiN 。
按照以上的步骤计算考虑构件能力不确定性时4个不同的性能状态的年均超越概率，与本文推导的解析解进行对比，如表 4所示。从表中可以看出，本文解析解与蒙特卡洛模拟方法得到的结果基本一致，最大的误差仅为0.12%，表明推导的解析方法的正确性。
3.6参数敏感性分析
为了进一步地研究响应的不确定性βd和极限状态的不确定性βc对斜拉桥塔底截面地震风险的影响，基于公式（12），对两个参数做了从0～0.5范围之间的参数敏感性分析，如图8所示。从图中可以看出两个水平方向的斜率一致，即βd和βc对年均超越概率的影响程度相同；这一点可以从公式（14）得到一致结论，式（14）对βd和βc分别求导数时得到的结果相同。其次，βd和βc对地震风险影响较大，以中等损伤为例，图8（b）显示，当βd=βc=0.5时，年均超越概率为忽略不确定性的1.85倍。因此，在研究地震风险的过程中不仅需要考虑由于地震动导致的构件响应的不确定性，同时需要考虑结构不同性能水平下极限状态的不确定性。
4结论
通过考虑不同性能水平下极限状态的不确定性，基于全概率方法，并结合地震危险性模型以及概率需求地震模型，本文推导出了斜拉桥不同性能水平下的地震风险的解析解。
以斜拉桥为例来说明该方法，通过蒙特卡洛抽样的数值方法对考虑构件能力不确定性的解析解进行验证，两种方法的计算结果非常接近，从而证明了解析方法的正确性讨论了地震需求的不确定性和性能水平的不确定性对斜拉桥地震风险的影响。结果表明，如果不充分地考虑不确定性因素的影响，会大大地低估斜拉桥的地震风险。因此，在研究地震风险的过程中不仅需要考虑由于地震动导致的构件响应的不确定性，同时也要考虑结构不同性能水平下极限状态的不确定性。
参考文献：
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[24]Thomos G C， Trezos C G. Examination of the probabilistic response of reinforced concrete structures under static non-linear analysis [J]. Engineering Structures， 2006， 28（1）： 120—133.
Abstract： The seismic risk analysis comprises seismic hazard analysis， probabilistic seismic demand analysis and probabilistic capacity analysis. There exist the uncertainties in each part. Therefore， the closed-form formula of the seismic risk with different performance levels is derived in this research based on total probability theory accounting for the uncertainties during the seismic risk analysis. Taking a long span cable-stayed bridge as an engineering background， a nonlinear finite element model is established by OpenSEES. 100 ground motion records are chosen from PEER based on the site condition of the bridge to account for the uncertainties of earthquake. Then， the nonlinear time analysis is conducted to establish the probabilistic seismic demand model. The influence of uncertainties of the seismic demand and the performance level threshold on the seismic risk is discussed， which shows that the seismic risk would be greatly underestimated when ignoring the uncertainties.
Key words： cable-stayed bridges； seismic design； uncertainties； seismic risk analysis； total probability theorem
摘要： 桥梁的地震风险分析涉及到场地地震危险性分析、概率性的地震需求分析以及概率性的抗震能力分析等阶段。鉴于各阶段存在不确定性，因此有必要在桥梁的地震风险分析中考虑各阶段不确定性，具体是基于全概率方法推导出斜拉桥不同性能水平下的地震风险的解析解。以迫龙沟大跨度斜拉桥为工程背景，建立OpenSEES非线性有限元模型，从PEER地震库选择100条符合场地条件的地震波来考虑地震动的不确定性，通过非线性时程分析建立概率需求地震模型，讨论了地震需求的不确定性和性能水平的不确定性对斜拉桥地震风险的影响。研究结果表明，忽略不确定性因素的影响会大大地低估了斜拉桥的地震风险。
关键词： 斜拉桥； 抗震设计； 不确定性； 地震危险性分析； 全概率
中图分类号： U448.27 文献标志码：A文章编号1004-4523（2018）04-0654-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.013
引言
美国太平洋地震工程研究中心（PEER）提出的新一代基于性能的地震工程（PBEE）研究框架[1]，成为目前抗震理论研究的热点问题。该框架分为独立又相互联系的4个部分，分别为地震危险性分析阶段、概率性的地震需求分析阶段、概率性的抗震能力分析阶段、概率性的损失评估阶段。通过各个阶段的随机变量以及随机变量的条件概率将整个结构基于性能的抗震概率评价过程联系起来，这些随机变量有地震强度指标（IM）、工程需求参数（EDP）、损伤指标（LS）以及决策变量（DV）。
地震易损性分析描述桥梁结构在不同水平的地震作用下达到某一极限状态或性能水平的超越概率[2]，把地震动输入强度与结构的损伤指标有机地联系在一起。Padgett等[2]、Shinozuka等[3]为易损性的理论和方法做出了很多贡献。国内也已有较多地震易损性的研究成果，很多专家学者对在基于构件破坏的桥梁结构易损性分析方面做了很多工作[4-8]。由于斜拉桥自振周期长、频谱密集以及振型耦合度高等特点，以及斜拉桥在桥梁工程中占据举足轻重的位置，因此对斜拉桥的易损性研究显得格外的迫切。Casciati等[9]、Pang等[10]、钟剑等[11]对不同跨径的斜拉桥进行研究，考虑不同的工程需求参数和损伤指标得到斜拉桥的易损性曲线。
一般而言，斜拉桥因地震而遭受灾害的程度主要与以下两个因素有关，一是桥梁所在场地的地震危险性；二是桥梁自身的抗震能力。目前大量的研究工作主要是关于桥梁自身的抗震能力（即结构的地震易损性）方面的，结合场地的地震危险性来开展桥梁遭受灾害程度的研究工作并不多见。鉴于场地的地震危险性是桥梁遭受灾害程度的重要因素，因此本文在桥梁地震风险分析中充分考虑了该因素的作用。
本文考虑了场地地震危险性分析、概率需求地震分析以及概率性的抗震能力分析各阶段的不确定性，在全概率理论框架下推导出结构不同性能水平下地震风险的解析解。最后通过斜拉桥案例来说明本文方法，并通过敏感性分析来研究各阶段不确定性对斜拉桥地震风险的影响。
1斜拉桥地震风险分析
1.2地震危险性模型
为了得到地震作用下结构不同性能水平的年平均超越概率，首先需要计算 IM 的地震危险性曲线。地震动危险性曲线是指工程场地未来遭遇的地震动参数在一定时期内的超越概率与地震动参数的函数关系曲线。Cornell等[12]研究表明，在一个很宽泛的地震强度的范围内，地震危险性曲线可以被近似的描述为对数线性化，即HIM（IM）=k0IM-k（4）式中IM为地震动强度指标，k0和k为两个待定参数。
主桥纵向为半漂浮体系，加劲梁与主塔、桥台之间均设置球钢支座，可纵向滑动；主塔与主梁之间设置横向抗风支座，限制主梁的横向位移。
2.1OpenSEES数值建模
本文所选算例的塔柱为钢筋混凝土结构，其尺寸及截面见图 2（a）和（b），图中L1和W1为截面外部尺寸，L2和W2为截面内部尺寸。本文利用OpenSEES的弹塑性纤维单元模拟，该单元将钢筋和混凝土离散为纤维，假设纤维之间完全粘结，且满足平截面假定。用OpenSEES里的Steel01材料模拟钢筋的双线性模型。
2.2地震波选取
在进行结构地震响应分析的过程中，本文采用云图法（Cloud Method）[16]来拟合构件的地震响应。与动力响应增量分析（IDA）[20]方法不同的是，云图法不对地震波进行缩放等处理，保持地震波的频谱特性。为了得到较为准确的概率需求地震模型，需要选择地震动强度指标（IM）从小到大分布较为均匀的一组地震波[21]。
本文选用Shafieezadeh[22]在其文章中使用的100条地震波，包含80條从PEER（Pacific Earthquake Engineering Research Center）强震地震库里选取的地震波，以及20条从SAC 工程的数据库里选择的地震波。从PEER里选择的是一组震级和震中距分布均匀的地震波，这些波震级从5.8到6.9，震中距从10 km到60 km，这些地震波的PGA、震级和震中距的分布图如图4所示。20条从SAC数据库中选择的地震波具有50年2%和10%的超越概率。
3斜拉桥地震风险分析
3.1所在场地的地震危险性模型本文采用美国 PEER 框架下关于建立地震危险性概率模型的假设和公式，结合中国新公布的地震动区划的规定，建立了本文设计结构所在场地的地震危险性曲线。
3.2概率需求地震模型（PSDM）
本文选用桥塔底部纵向曲率延性系数（μφx）作用常用的工程需求参数。在用OpenSEES建立考虑非线性有限元斜拉桥模型的基础上，在纵向输入100条加速度地震波时程，进行非线性时程分析。记录μφx在每条地震波下的最大值，进行对数线性拟合。计算得到拟合系数a=1.19，b=1.24以及标准差βd=0.55，如图5所示，图中每个圆圈为每条地震波时程分析得到μφx的峰值，直线为对数线性拟合曲线。
3.3性能水平及其極限状态
桥梁结构的破坏过程可用4种状态来描述，分别是：轻微损伤、中等损伤、严重损伤和完全损伤，对应4个性能水平，分别为正常使用、可修复损伤，生命安全以及结构倒塌。
各个性能水平的极限状态用结构或构件的抗震能力来表示（LS），LS可以通过专家意见、试验数据或理论分析等方式获得。Gardoni 等[23]利用已有的试验数据和 Bayes 估计法建立了承受反复荷载的钢筋混凝土圆形柱的概率能力模型（如图6所示）。Thomos 等[24]考虑材料强度等的随机性，利用拉丁超立方抽样技巧进行基本随机变量的抽样，对每一个钢筋混凝土结构样本进行了 Pushover 分析，获得了相应的能力曲线，再利用概率统计理论建立了结构的概率能力模型。Padgett等[2] 通过Bayes方法综合先验知识和试验数据建立了结构的概率能力模型。综上述文献的结论，本文建立4个极限状态的均值ηc（如表2所示），变异系数βc统一取为0.35。
3.4斜拉桥地震风险
在得到地震灾害曲线、概率需求地震模型后，通过公式（6）可以计算得到构件的灾害曲线，如图7所示，假设性能水平的极限状态是一个确定性的值，则可以在图中找到对应的超越概率，如图中黑色空心圆圈（○）所确定的位置。在考虑极限状态能力的概率分布之后，按照公式（12）可以计算出斜拉桥各个极限状态的地震风险，如图中黑色填充圆圈（●）所确定的位置。具体的数值如表3所示。
假设本工程的设计年限为100 y，则100 y的超越概率为HLS，100=1-（1-HLS）100≈100HLS（16）从表 3中可以看出，不考虑极限状态的不确定性会低估了构件的地震风险，以LS2为例，当考虑了极限状态的不确定性时，斜拉桥的塔底截面的地震风险增加了14.9%。
3.5解析方法的验证
用蒙特卡洛抽样（MCS）的数值方法，真实地模拟实际物理过程，对本文推导的公式进行验证，流程如下：
1） 以中等损伤为例，假设构件的能力服从对数正态分布（均值LS=2，标准差βc=0.35），进行足够多次（取N=106）随机抽样。
2） 对每次抽样的得到的EDPi带入公式（9），计算HEDP（EDPi）。
3） 对每次抽样计算的结果进行加权求和，∑Ni=1HEDPEDPiN 。
按照以上的步骤计算考虑构件能力不确定性时4个不同的性能状态的年均超越概率，与本文推导的解析解进行对比，如表 4所示。从表中可以看出，本文解析解与蒙特卡洛模拟方法得到的结果基本一致，最大的误差仅为0.12%，表明推导的解析方法的正确性。
3.6参数敏感性分析
为了进一步地研究响应的不确定性βd和极限状态的不确定性βc对斜拉桥塔底截面地震风险的影响，基于公式（12），对两个参数做了从0～0.5范围之间的参数敏感性分析，如图8所示。从图中可以看出两个水平方向的斜率一致，即βd和βc对年均超越概率的影响程度相同；这一点可以从公式（14）得到一致结论，式（14）对βd和βc分别求导数时得到的结果相同。其次，βd和βc对地震风险影响较大，以中等损伤为例，图8（b）显示，当βd=βc=0.5时，年均超越概率为忽略不确定性的1.85倍。因此，在研究地震风险的过程中不仅需要考虑由于地震动导致的构件响应的不确定性，同时需要考虑结构不同性能水平下极限状态的不确定性。
4结论
通过考虑不同性能水平下极限状态的不确定性，基于全概率方法，并结合地震危险性模型以及概率需求地震模型，本文推导出了斜拉桥不同性能水平下的地震风险的解析解。
以斜拉桥为例来说明该方法，通过蒙特卡洛抽样的数值方法对考虑构件能力不确定性的解析解进行验证，两种方法的计算结果非常接近，从而证明了解析方法的正确性讨论了地震需求的不确定性和性能水平的不确定性对斜拉桥地震风险的影响。结果表明，如果不充分地考虑不确定性因素的影响，会大大地低估斜拉桥的地震风险。因此，在研究地震风险的过程中不仅需要考虑由于地震动导致的构件响应的不确定性，同时也要考虑结构不同性能水平下极限状态的不确定性。
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Abstract： The seismic risk analysis comprises seismic hazard analysis， probabilistic seismic demand analysis and probabilistic capacity analysis. There exist the uncertainties in each part. Therefore， the closed-form formula of the seismic risk with different performance levels is derived in this research based on total probability theory accounting for the uncertainties during the seismic risk analysis. Taking a long span cable-stayed bridge as an engineering background， a nonlinear finite element model is established by OpenSEES. 100 ground motion records are chosen from PEER based on the site condition of the bridge to account for the uncertainties of earthquake. Then， the nonlinear time analysis is conducted to establish the probabilistic seismic demand model. The influence of uncertainties of the seismic demand and the performance level threshold on the seismic risk is discussed， which shows that the seismic risk would be greatly underestimated when ignoring the uncertainties.
Key words： cable-stayed bridges； seismic design； uncertainties； seismic risk analysis； total probability theorem
