运算:走向“数学理解”的阶梯
沈晴
【摘要】运算是数学中最基本、最主要的研究对象.计算的学习和应用对培养学生的思维能力、学习习惯和学习态度等有着重要的作用.因此，教师要把握好计算教学课堂，抓牢教学侧重点，在教学中做到直观、推理相统一.
【关键词】小学数学;运算;推理
林崇德先生认为，数学能力是以数学概括为基础的运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力，与思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性品质相互交叉构成的统一整体.运算是数学最基本、最主要的研究对象，因此，计算是小学数学课程学习的主要内容，分量最重，教学课时最多，并在日常生活、工作和学习中有着广泛的应用.
计算的学习和应用对培养学生的思维能力、学习习惯和学习态度等有着重要的作用.计算教学的质量直接影响着学生对其他内容甚至其他学科的学习.当前形势下，教师应该如何把握好计算教学课堂呢？下面我说一说自己的一些想法.
一、重审运算新课堂，抓牢教学侧重点
（一）低年段重视夯实口算、估算教学
低年段的学生接触到的大多数运算还是以口算形式较多，他们刚从幼儿园升入小学阶段，笔头运算的能力还达不到很高的要求，而且他们对于口算和笔算两种计算方式的切换会出现互相干扰的现象.因此，低年段的计算教学重点应该放在口算、估算上.
例如，我最近听过的二年级下册“两位数加两位数的口算”的一节课中，例题是口算45+28等于多少.因为在之前的学习中，学生已经有了一定的加法竖式的计算经验，脑海中自然而然地会出现45加28的竖式计算过程，这就为这节课的口算教学增加了难度.在教师提出问题：“你打算怎样来口算45+28？”时，有不少学生说出的思考过程是这样的：5+8=13，40+20=60，13+60=73.这三个算式其实就是45加28的竖式计算过程演变而来的横式.在这里，学生学习了竖式计算后对口算学习产生了负迁移.在随后教师对算法优化的环节中，虽然教师又引导学生说出了另外两种更为简单的口算方法：①45+20=65，65+8=73，②28+40=68，68+5=73，但是当教师问道：“你们更喜欢哪种算法？”时，还有相当一部分学生仍然回答的是喜欢之前学生回答的第一种算法.随后教师对三种口算方法进行了对比引导，虽然使得一部分学生对于两位数加两位数的口算方法有了新的“改观”，但是学生对于这种算法的认同感显然没有我们想象中的那么好.
口算、估算和笔算的不同之处在于口算、估算时我们都是从高位算起的，这是因为口算、估算时这样算会更简捷、方便.而在笔算时我们是从低位算起的，这是因为在计算进位、退位时会更加方便.在本质上，它们都是根据相同数位上的数可以直接相加减的原理来计算的，算理是相同的，只是形式不同而已.但是，教师要想让低年段的学生一下子体会到这一点，并不是那么简单的.这要在经历了更多的口算和笔算学习后才能够逐步领会.
因此，根据学生的年龄特点，教师在低年段教学中要特别重视口算、估算的教学，不仅要帮助学生学会“怎么算”，还要引导学生探究“为什么这么算”.理解算理是必要的，并且要一步到位，在理解了算理以后归纳算法时可以逐步到位.对于探索过程的回顾和反思，研究方法的提炼和总结，能让学生“知其然”，更“知其所以然”，从而达到运算方法的内化和数学思想的建立.
（二）中高年段重视计算的推理和自主迁移教学
如果说低年段的扎实运算功底是基石，那么中高年段推理、迁移的学习能力就是拔地而起的高楼大厦.
数学推理是数学里面最基本的、最重要的素养，也是数学核心素养之一.数学本质上是帮助学生训练思维的，数学这门学科的重要价值就是帮助学生如何思考问题，乃至如何看待这个世界.现在看来，推理已经变成了一种数学学习的方式、数学理解的方式，推理能让学生更好地理解数学.
例如，我在教学五年级上册“小数四则混合运算”时，是以自主学习单（部分见下图）为依据，让学生以自主、合作探究的形式进行学习的.
“小數四则混合运算”自主学习单
一、温故：想一想，整数四则混合运算的运算顺序是怎样的？我们已经掌握了哪些运算律？你能分别用字母表示吗？
二、知新：1.例题
算式：
=
=
观察上面的运算顺序：先算（? ）法，再算（? ）法.
2.猜想：
举例验证1：1.2+4.8○4.8+1.2????? （?? ）律
8.9+3.6+6.4○8.9+（3.6+6.4）（?? ）律
0.4×0.9×0.5○0.9×（0.4×0.5）（?? ）律
举例验证2：
结论： ……
我在复习了整数四则混合运算的计算法则后出示例题，让学生自主猜想小数四则混合运算的计算法则是怎样的.学生通过小组合作学习，相互举例来验证自己的猜想，最后得出结论：整数四则混合运算的运算顺序和所有运算律都适用于小数四则混合运算.学生经历了发现问题——提出猜想——举例验证——得出结论——回顾反思的一个完整的探索过程，通过合作学习、自主探究的学习方式把学过的知识进行推理、迁移，从而解决新的问题.我相信学生有了这次自主探索“小数四则混合运算”的学习经验，到了六年级学习“分数四则混合运算”时，就完全能够自己领悟和学习该部分内容了，这就是重视推理和迁移教学的价值所在.
二、直观-推理相统一，理解数学需“三会”
曹才翰先生在《中国中学教学百科全书·数学卷》中指出，“运算能力并非一种单一的数学能力，它是运算技能与逻辑思维能力的一种独特结合”.因此，计算技能固然很重要，但是懂得数学能力的培养对学生来说才是终身受益的.如果学生只会计算，不懂实际意义和应用，就不可能有创造性.
目前看来，学生理解数学有三个层次：第一个层次是会计算，第二个层次是会解释，第三个层次是会运用.有些同学会计算，但说不出这样算的道理，只是停留在对知识的程序理解;有些同学在一类题型中还知道怎样做，但是稍有变式就有些不知所措了，这说明学生对于知识的理解还不到位.只有三个层次全部做到了才是对数学真正地理解了.
（一）数形结合明算理，迁移类推通算法
对于运算能力，正确进行运算和理解算理是核心.理解算理、掌握算法是形成运算能力的两个必要条件.根据小学生的生理、心理特点，在教学时我们可以多采用几何直观和逻辑推理相统一的方法来引导学生理解算理、掌握算法.
例如，在教学三年级上册“两、三位数除以一位数（首位能整除）”时，我先出示例题：46÷2，然后让学生分一分小棒，用算式把分的过程记录下来.学生记录的算式是：40÷2=20，6÷2=3，20+3=23.分得的结果是23根.学生通过直观的图形和具体操作明确了不管是用小棒分，还是用这3个横式记录，其实它们都是46÷2的计算过程.通过操作得出横式，通过横式理解竖式，这就是让学生感悟从未知到已知的转化过程.
再如，在教学四年级运算律中的乘法分配律时，我设计了一道 “计算两块黑板面积”的例题（如下图）.我通过两块黑板的面积之和等于一整块大黑板的面积引出乘法分配律，让学生在头脑中留下表象，从而更好地促进学生理解这一定律.虽然学生在执行运算时并不一定要考虑其意义，但得出算法的过程却离不开运算的意义.学生通过几何直观，形象、生动地弄清楚了算理，使理解一步到位.
（二）联系生活显价值，灵活运用有创造
对于数学知识的应用也有三个层次：第一个层次，熟练解题，即学生能够用合理的步骤解出题目的正确答案，则被认为有很好的解题熟练程度.第二个层次，懂得概念，即学生能够在对数学的正确理解的基础上来建立合理的数学模型图，并从图中得出正确的数学答案，则被认为懂得数学概念.第三个层次，内化运用，即学生能够很好地理解数学的意义，结合题目合理地创造现实生活中的情景，则被认为能把所学数学知识与实际相联系，并加以应用.
因此，在我们传统的课堂上，仅仅是单方面的老师提供实际问题，学生来解答，这只是达到了第一个层次或至多第二个层次.而要想达到第三个层次，我们还应该在课堂上加入一些能体现学生创造性的、富有个性的练习.比如，在练习时教师可以让学生自己来编写应用题，这看似只是编写几句话，但却能够看出学生究竟有没有真正掌握所学内容，对数学知识的理解是怎样的，同时能让学生充分发挥想象力，用自己的语言来描述所学的知识，既贴近学生生活又生动有趣.
例如，在教学一年级下册“两位数加两位数（进位）”时，我在练习题中加入了一道请学生编写应用题的题目.我给出了算式“32+48”，让学生猜一猜，利用这个算式老师算的是什么.一开始学生有点儿不知所措，渐渐地有学生举起了手开始发挥想象，给算式赋予了他们自己想象出来的意义.最后，我给出提示：“32代表的是数学老师的年龄，48代表的是語文老师的年龄，那么我用这个算式算的是什么？”学生眼睛一亮，大声说：“是语文老师和数学老师的年龄的和.”接着我又请学生算一算：“语文老师和数学老师年龄的和是多少岁呢？”学生计算得飞快.然后我又提问：“现在你能自己给这个算式编一个问题吗？先自己编一编，再在小组里说一说.”之后同学们交流的时候，我真的听到了惊喜：“家里有32个苹果，妈妈又买回来48个苹果，家里一共有多少个苹果？”“妈妈有32元钱，爸爸有48元钱，爸爸和妈妈一共有多少元？”……这些问题都是学生根据自己的生活经验和对知识本质的理解编写出来的，他们真正地把知识内化成了自己脑子里的东西，经过学生加工后的这些知识便有了生命和个性，也有了趣味和意义.
数学育人的核心是发展学生的理性思维，通过运算、推理的训练培养学生的逻辑思维能力.运算是数学的“童子功”，是走向“数学理解”的阶梯.我们只有在平时的课堂中重视运算教学，灵活运用有效的教学策略，才能让学生真正理解数学、懂得数学，从而有效培养学生的逻辑思维能力和自主探索的学习能力.
【参考文献】
[1]翟晋玉，王湘蓉.林崇德：人才培养关键在教师：从德育到核心素养[J].当代教育家，2017（06）：35-39.
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[3]王永春.小学数学核心素养体系下的运算能力[J].小学教学研究（教学版），2017（03）：14-17.
