二次函数复习教学三重境之探

2022.09.05

马萍萍

[摘 ?要] 在中学数学的复习备考教学中需要兼顾知识强化与思想提升，引导学生从知识联系点出发来构建知识体系，同时掌握解题的思想方法，文章以二次函数内容复习为例，探索复习教学的三重境.

[关键词] 二次函数;复习;教学;基础;综合;思想

问题分析

二次函数一直都是初中数学教学的重难点，从中考试题来看，二次函数占有较大的分值，相比其他章节，问题分析和过程计算难度都更高，学生得分率较低;而从教学内容来看，二次函数的性质和图像考查较为集中，题型变化多样，学生在分析时很容易陷入误区. 因此在实际教学中需要教师结合二次函数的核心内容来逐步引导，笔者认为促进学生知识与能力的双重提升应是二次函数复习教学的核心目标，需要从三个层面来进行复习指导，下面通过现实案例对其逐个探析.

境界之思

二次函数复习教学的核心目标应是课堂教学设计的落脚点，在复习中需要分三个阶段来进行教学指导. 首先要引导学生掌握二次函数的基础知识，掌握求解问题的基本方法;其次开展知识融合，构建完整的知识体系，掌握综合题的突破思路;最后上升到思想层面，深刻理解思想方法在解题突破中的重要意义. 上述就是二次函数复习教学的三重境：基础入手，知识整合，思想渗透. 采用引导递进的教学方式，引领学生从“基础巩固”过渡到“灵活变通”，最后上升到“思想提升”.

境界第一层：基础入手，掌握定义性质

二次函数复习教学中依然需要从基本的概念定义、定理性质入手来开展，巩固学生的基础知识，包括二次函数的概念、结构特征，方程的求法、特征方程与函数图像之间的对照关系、图像平移与方程变化等.

例1 ?（2019年湖南益阳市中考卷）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1所示，下列结论：①ac<0，②b-2a<0，③b2-4ac<0，④a-b+c<0，其中正确的是（ ? ? ?）

A. ①② ? ? ? ? ?B. ①④

C. ②③ ? ? ? ? ?D. ②④

解析 ?教材中对于二次函数的解析式与图像进行了深入讲解，因此使学生充分掌握两者的对照关系是复习教学的重点. 结合图像分析解析式参数的关系一般需要从三点入手：一是关注图像的开口方向;二是判断二次函数所对应方程的判别式的符号;三是根据图像的交点、对称轴提炼关系.

本题目中图像的开口向下，显然a<0. 与x轴有两个不同的交点，Δ=b2-4ac0，对称轴- 0，则a-b+c>0.

综上，a0，则ac<0，①正确;由对称轴关系可得b-2a<0，则b-2a0，故④错误. 所以选A.

说明：从问题分析过程来看，教学中需要提升学生提取图像信息的能力以及二次函数解析式的解读能力，这是在基础巩固阶段最为重要的内容. 考虑到解析式与图像的对应内容较为丰富，在教学中可以采用草图绘制的方式，即给出某一二次函数的解析式，让学生在直角坐标系中绘制图像的大致形状和大概位置，从而增强学生的识图、解式能力.

例2 ?（2019年浙江温州市中考卷）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围，下列说法正确的是（ ? ? ?）

A. 有最大值-1，有最小值-2

B. 有最大值0，有最小值-1

C. 有最大值7，有最小值-1

D. 有最大值7，有最小值-2

解析 ?教材在講解二次函数图像时对其单调性时进行了深入的论述，并从取值范围角度进行了探索. 在复习该内容时需要引导学生多角度加以分析，例如不等式、最值等. 本题分析在特定区间上的取值情形，需要分两步进行：第一步明确二次函数的单调性，第二步代入区间，结合图像顶点加以判断.

对二次函数进行变形，可得y=（x-2）2-2，则其单调性为：当x≤2时，y随x单调递减，当x≥2时，y随x单调递增;故当x=2时，y取得最小值-2. 所以在-1≤x≤3内，函数值y有最小值-2，当x=-1时，有最大值7，选项D正确.

说明：本题目是对二次函数单调性的应用，学习难点是无法将单调性与最值联系在一起，这并不是学生的基础知识不够扎实，而是没有培养学生从多角度来看待该知识点. 教学中不仅应结合函数的图像来回顾二次函数的单调性，还应从取值角度来对其加以解读.

境界第二层：知识整合，理解知识联系

二次函数复习教学的第二层是对知识的整合，这里指的是引导学生从全局把控教材内容，将二次函数与教材的核心知识进行整合，包括其他函数曲线，同时涉及不等式、方程、几何图形等知识内容. 学生对知识联系点一般把握不到位，此时就需要教师采用章节规划、专题讲解、框图绘制、典例讲评的方式帮助学生融合.

例3 ?如图2所示，抛物线的解析式为y=ax2+bx，其经过点B（1，-3），对称轴为x=2，且抛物线与x轴的正半轴相交于点A，试回答下列问题.

（1）求抛物线的解析式;

（2）根据图像直接写出不等式ax2+bx≤0的解;

（3）若在平面坐标系的第二象限内的抛物线上恰好有一点P，使得PA⊥AB，试求△PAB的面积.

解析 ?平面几何、不等式、二次函数均是初中数学的重点内容，在复习教学中需要对其进行知识整合，依托图像串联解析式与不等式、几何图形与二次函数知识，引导学生结合图像来转化问题，利用函数性质、不等式性质和几何性质来加以突破.

本题目给出了抛物线的图像，结合点B坐标和对称轴很容易就可以确定抛物线的解析式：y=x2-4x. 则不等式就为x2-4x≤0，解该不等式可以直接利用不等式的运算法则，但根据图像也可以直接写出解，实际上就是指抛物线位于直线y=0上及其下方的x的取值范围，显然就是0≤x≤4这一段，因此不等式ax2+bx≤0的解就为0≤x≤4.

对于第（3）问则是三角形与抛物线的综合，根据抛物线的解析式可求得点A（4，0），已知点B（1，-3），则AB=3 . 分别过点B和点P作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，如图3. 由于BE=AE=3，则∠EAB=∠EBA=45°，结合PA⊥AB可得PF=AF. 设P（x，x2-4x），则PF=x2-4x，AF=4-x，由此解得x=-1或x=4（舍去），所以点P的坐标为（-1，5）. 根据点P和点A的坐标可求得AP=5 ，所以△PAB的面积为S= AB·AP=15.

说明：本题目是一道以抛物线为背景的综合题，主要考查二次函数、不等式、平面几何等知识的综合. 第一個知识点是利用二次函数的图像来求解不等式，第二个知识点是结合抛物线与三角形的位置关系及函数解析式来求解三角形的面积. 两大知识联系点是复习阶段需要学生重点关注的，教学中需要教师结合图像来直观呈现解题思路，利用相应的模型来转化求解.

境界第三层：思想渗透，重视数形结合思想

二次函数问题中常涉及代数运算与图像分析，实际上是数形结合思想在解析中的应用体现. 学生在解综合题时很容易失去解题方向，而结合图像分析则可以挖掘问题中的隐含信息，采用合理的方法技巧来简化运算过程，优化解题. 这是因为数形结合法既具有量化分析的优点，又具有直观呈现问题的优势，因此在教学中需要合理渗透数形结合思想，培养学生的解题思维.

例4 ?已知抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A和B，与y轴相交于点C，点D是抛物线的顶点，连接BC，点P是直线BC上的一个动点，分析是否存在使△PAD为等腰三角形的情形，若存在请求点P的坐标.

解析 ?本题目是关于二次函数的动点问题，使用数形结合策略 “化动为静”最为简便. 使用“两圆一线”的方法来大致确定点P的位置及个数，直线BC与两圆有五个交点，则应有五个解. 下面采用数形结合确定坐标.

根据题干信息可得点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），则直线BC：y=x-3. 设点P（x，x-3），可得AD2=20，分以下三种情形加以讨论.

①PA=AD，则（x+1）2+（x-3）2=20，求解可确定点P的坐标为（1+ ， -2），（1- ，-2- ）;

②PD=AD，同理可推得点P坐标（3，0），（-3，-6）;

③PA=PD，可推得点P坐标（2，-1）.

综上满足条件的点P有五个，坐标为（1+ ， -2），（1- ，-2- ），（3，0），（-3，-6），（2，-1）.

说明：本题中采用“两圆一线”的方法确立点P的位置及个数，具体求解时联系点坐标来表示线段长，根据不同的情况进行分类讨论，建立相应的方程，这个过程是典型的数形结合过程. 数形转化的过程中实现了问题的简化，确保了答案的准确.

写在最后

复习备考阶段需强化学生对二次函数的理解，提升解决综合问题的能力，上述三重境是从核心知识强化、数学素养培养层面提炼的，有助于学生融合章节知识，提升解题思维. 当然在教学中需要根据学情来灵活施教，循序渐进逐步引导. 考虑到教学效果还与学生的理解能力有关，在教学中可根据学生的吸收情况针对性地设计环节，使学生经历知识探究的过程.