浅谈分类思想在初中数学解题中的应用
耿丽萍 崔君玉
【内容摘要】随着数学教学的不断发展，数学思维能够极大地帮助学生探索数学的奥秘，帮助学生建立良好的数学学习习惯，使得学生对于数学学习产生浓厚的兴趣，逐步培养学生的创新能力和实践能力。教师加强数学思维的学习和教学，对于学生的智力开发具有重要作用，对于学生解决数学问题，提升自身的数学能力具有重要价值。分类思想就是初中数学解题教学中的重点，通过分类思想能够极大地丰富学生的学习体系，对于学生学习初中数学解题产生事半功倍的效果。本文从分类思想在方程题、几何题和分式题三方面讨论初中数学解题分类思想的应用，通过具体的例题使得学生对于分类思想产生兴趣。
【关键词】初中数学解题? 分类思想? 教学策略? 应用
初中数学解题学习是初中生学习生涯的关键时期，在这阶段开展分类思想的数学教学，对于学生的思维发展和学习习惯的养成具有重要作用。教师应该充分重视数学分类思想的重要性，要让这种思维始终贯穿在初中数学解题知识的学习过程中看，这对于学生正确分析初中数学解题的核心要素，提升学生对于数学知识和题目的理解程度都具有重要作用，教师应该积极创新分类思想教学方法，这对于学生正确理解初中数学解题知识，提升自身运用数学知识解决实际问题的能力具有重要作用。
一、分类思想在方程题目中的应用
分类思想的学习对于学生数学综合能力的提高具有重要的作用，教师应该充分这一点，要从运用这种分类思想的数学例题出发，使得学生从这些例题中学习相关的学习方式和学习方法，通过分类思想去解决方程问题。在解题例题讲解的过程中要从实际出发，充分引起学生的兴趣和好奇心，帮助学生建立准确的数学问题分析习惯，使得学生的数学综合素养得到真正的提高。而分类思想在方程例题学习的过程具有非常重要的作用，方程问题涉及的问题就是一个分类讨论的过程，针对不同的定义域和取值范围，最终的方程题目的答案都是不同的。教师要通过各种有效的方式促进学生对于方程问题中分类思想的学习和掌握，充分利用分类思想在教学过程中的使用，特别是在方程问题求解的过程中的运用，使得学生能够真正把握这个思想的精髓，在具体的题目求解过程中始终把握住重点和难点①。
比如，在学习初中数学解题例题“已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围”这个问题的求解就是一个非常经典的分类讨论的思想。在这个问题的求解过程中，合理的分类讨论对于问题的求解就是一个非常重要的过程。教师应该充分重视分类思想在问题范围取值的重要性，从而最终合理地求解问题，帮助学生建立良好的数学问题的分类习惯。在问题的分析过程中，教师应该让学生明确这个问题分类讨论的界定条件，实现对于问题的合理分类，从而最终使得问题得到合理的解决。首先，这个问题教师应该让学生分析，m的取值范围：如果m=0，这时候方程变成了一个一元一次方程x+1=0，这时候问题的答案就是x=1;当m≠0时，这时候方程就变成了二元方程，这时候问题的求解就是一个比较复杂的过程，教师应该让学生充分分析，在m≠0的条件下，这个问题的结果就会变得不同，这个问题的求解就需要二元一次方程的解的判断条件b2?4ac，根据这个条件判断m的取值范围，通过这样的分类讨论的过程，教师能够将学生的分类思想进行整体的把握和概括，从而使得学生这种分类思想得到进一步的提高和完善。在m≠0时，最终求出了m的取值氛围，m≥?1/4。最后结合这两个分类讨论的结果进行总结和归纳，最终得到m的取值范围，就是这两个取值范围的交集，从而最终求出了这个问题的最终答案：m≥?1/4。通过这样的过程，最终实现问题的合理求解，帮助学生建立良好的分类讨论的习惯。分类思想在方程方面的运用是方程求解过程中的重要部分，这对于学生方程的学习是非常必要的部分，教师应该充分重视分类思想在方程求解过程中的运用，从而提高学生对综合数学分类思想的理解。
二、分类思想在几何题目中的应用
学生的分类思想不是短时间就可以形成的，教师应该在具体的实际过程中教授给学生，让学生学会在课堂上就逐步利用分类思想去求解问题的好习惯，使得学生能够对于一个具体的数学问题进行深入的分析和理解，帮助学生建立良好的数学思维习惯，帮助学生建立分类思想，从而提高学生的能力。学生在课堂上进行例题的训练过程中，教师应该在教学的过程中穿插分类思想，使得学生观察数学问题之间的内在联系，从而逐步地细化数学问题，将一个复杂的数学问题转化为数学问题，从而使得数学问題得以求解，要帮助学生建立起合理的分类思想习惯。分类思想在初中例题几何方面也有着非常重要的作用，通过分类思想，对于一些几何问题进行分类，从而使得问题变得更加简单，教师应该充分重视这种分类思想在数学几何中的应用，要让学生深入思考一个几何图形的求解不单单可以从基础的思想出发分析，也可以从分类的角度对于问题进行深入地分析和讨论，这样几何问题的分类解决也能够极大地提高学生的综合数学素养②。
比如，在学习初中数学解题“x2?9x+18=0的两个根是等腰三角形的腰和底，求等腰三角形的周长”针对这个问题的求解，就是一个分类讨论的过程，针对这个问题的分析，教师应该充分分析这个问题的核心部分，几何问题与方程的结合，而且还有分类讨论的思想，针对x2?9x+18=0 的根可以求出来是x=3或者x=6，但是等腰三角形的特性就需要仔细分析，那个是底，那个是腰，会分成两种情况，同时也要考虑三角形的性质，依据分类思想的过程，可以确定这个等腰三角形的过程中边长可以是3，3，6或者6，6，3这是两种基础的情况，但是在分类讨论结束后，还要需要对这个过程的三角形的性质进行分析，三角形的性质两边之和大于等于第三边，最终分析这两个过程的求解都是成立的，最终求出这两个过程最终答案，这个三角形的范围就是12或者15，通过这两个过程问题的求解和分析，问题的周长就可以得到最终的解决。教师应该在这个几何问题的分析和讨论的过程中，要充分结合几何图形的性质，分析不同的几何图形下满足的条件，从而最终实现这个问题的合理分析和求解。学生在分析这个问题的过程中就可以将几何图形的性质与方程问题进行有机地结合，然后根据几何图形的性质最终实现问题的合理分析，求出三角形的范围。
三、分类思想在分式题目中的应用
分类思想的训练需要不断的实践，教师应该为学生创造一个良好的数学环境，使得学生能够在这个数学环境中进行具体的分类思想的训练，从而不断提升学生自身的数学意识。分类思想的训练不仅仅是运用在分式、方程的例题求解过程中，在分式题目的例题求解过程中，分类思想也会发挥重要的作用，教师应该充分重视分类思想在分式例题过程中的训练。通过这些例题的训练，学生的分类思想能力也会得到本质的提升，分类思想在分式的求解的过程中具有十分重要的作用，教师应该充分重视分式题目中的分类思想的运用，使得学生在求解问题的过程中注重合理的分类，从而保证问题的结果不会落下，保证数学问题求解过程的完整性，最终使得一个数学分式问题能够得到合理的解决。此外，教师在运用分类思想在分式问题求解过程中，要注意一些合理的情况，一些特定的情况，分类的过程中要注意边界条件的合理界定，这样边界条件的合理性才能够得到合理地区分，这是分类讨论的基础，只有分类的边界条件合理地确定，这样一个数学分类讨论问题才能够得到合理的解决。
比如，在学习 “分式问题的过程中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?无解，求a的范围”针对这个分式问题的分析，也需要分类讨论的思想，这个分类讨论的过程就是一个界定不同取值的条件，教师应该首先根据题目的假设条件给学生合适的引导，使得学生清楚这个分式问题是需要进行分类讨论的，首先，教师应该帮助学生进行合理的问题化解，首先去掉分母，得到3（x+3）+ax=4（x-3），然后进一步地化解，得到（a-1）x=-21，针对这个a的取值范围就要进行一定的分类讨论，关于x的无解情况不是唯一的，教师一定要让学生清楚这个问题，只有学生清楚这个x的取值不是唯一的，通过分式的分母不能够等于零，这个基础的条件作为基础的出发点，从而最终实现问题的合理求解过程，最终帮助学生建立良好的数学问题的分析和理解过程，最终实现问题的合理求解。我们问题的分式进行分解，x=-3，x=3的时候这个方程都是无解的，这就是问题的出发点，分类讨论这两种情况，在分析完这两种情况之后，教师应该帮助学生理解这个问题的具体分类讨论过程，将（a-1）x=-21变成一个分式，就是x=? ? ? ? ?，结合前面的讨论，? ? ? ? =?3或者? ? ? ? ?=3，这两种结果，可以求出a的取值范围，但是这个问题的分析不仅仅就是这两个取值的，还要考虑一些其他的情况，因为? ? ? ? ? 这个分式的求解过程就应该仔细分析，分母不等于0 的基础条件不应该忘记，那么这个问题的分析过程就应该考虑a-1=0，这时候分式的最终答案也是无解的，因此，这个问题的分析和理解過程就是上面讨论这三个问题的答案，从而最终得到问题的答案a=8，或者a=-6，或者a=1，从而最终实现这个问题的合理求解，最终实现问题的合理解答。
总之，初中数学解题分类思想的教学对于学生的能力提高具有重要作用，通过分类思想的学习，学生对于问题的分析和理解都会不断地深入，对于问题的本质也会更加清楚，这对于学生的发展和认知都会产生不可忽视的作用，分类思想作为初中数学解题的重要部分，必须应该引起充分的重视，教师不应该仅仅局限于初中数学解题简单的例题的分类思想的运用，更应该发散思维，从数学问题的分析，模型的检验各个方面都应该运用，教师应该积极寻求方法，提升学生的分类思想意识和运用分类思想去求解具体数学问题的能力，完善学生的综合数学素质。
【注释】
① 杨建平. 浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用[J]. 学周刊，2013.
② 刘英. 浅谈分类讨论思想在初中数学中的应用[J]. 陕西教育科研，2003（04）：48-51.
（作者单位：山东省淄博市临淄区实验中学;山东省淄博市临淄区雪宫中学）
