基于大数据分析的初中数学知识图谱构建研究
郑培珺
[摘? 要] 在“互联网+教育”的时代背景下，智慧教育利用大数据手段，精准地个性化地分析学生的学情，解决了传统班级授课制中，因学生众多无法做到因材施教的问题. 运用大数据分析手段可以针对具体学生分析其数学知识图谱的构建情况、数学核心素养的培养情况，这对教师做教学适应性调整起着参考作用.
[关键词] 数学知识图谱;大数据;智慧教育;个性化分析
研究的背景
“互联网+”的时代是从二空间（物理空间、人类空间）向三空间（物理空间、人类社会、信息空间）过渡的转折时代. “互联网+教育”具有结构性变革的网络教育创新特点，具体体现在信息空间中的资源共享化、信息众筹化、行为数据化、时空灵活化和关系网络化等信息技术为支撑的智慧教育模式已成为教育信息化发展的趋势[1]. 《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》提出，要加快我们国家的智慧教育建设，提高智能化和信息化对教育发展的贡献度，建设智慧型教育环境[2].
智慧教育是“互联网+教育”时代的一种教育形态. 其围绕着大数据精准分析、评估诊断，针对学生学情个性化地查缺补漏，其关注点在于“个性化地分析”. 其大大改善了班级授课制中因为学生众多而无法进行个性化的评估、个性化的制定教学方案的状况. 智慧教育在克服这个教育“短板”上取得很大的突破. 智慧教育的教学模式与教学资源具有针对性，也就是具有个性化的特点，同时具有系统性、层次性、多元化等特点，能适应这个时代对教育的要求[3].
数学知识图谱构建的理论基础
及功能
1. 数学知识图谱的定义
数学知识图谱（Mathematical Knowledge Mapping/Mathematical Mapping Knowledge Domain）以数学知识为研究对象，通过可视化的方式揭示数学知识之间的内在逻辑关系及发展历程[4]. 作为数学知识可视化的载体，其能揭示数学知识的内在结构，能描述数学知识节点之间的相互联系[5]. 它具有可视化表征性、整体性、关联性、客观性、动态性等特点. 初中数学知识图谱是由初中数学知识点的定义、定理和性质等内容构成的知识结构网络[6]. 它既表示了初中数学知识之间的网络关系，也表明了学习者认知结构中已构建的数学知识之间的关系. 学习者基于对数学知识的认知，在脑海中形成数学知识结构网络. 由于个体的差异性，不同的学习者构建的数学知识网络图谱亦有不同.
2. 数学知识图谱构建的理论基础
数学知识图谱的构建与学生对知识的认知程度密切相关. 从认知心理学角度，已有众多的认知心理学家对学习中形成的认知结构进行研究.
皮亚杰认为知识是有结构基础的，“图式”就是用来描述智慧（认知）结构的一个特别重要的概念[7]. 对于数学学习来说，描述学生对数学认知结构的“图式”是学生的数学知识图谱构建.
布鲁纳认为掌握事物的结构就是理解它与许多其他事物之间有意义的联系. 学习结构就是学习知识之间的内在联系[7]. 初中数学的学习要引导学生树立本学科的学科框架体系，即数学知识图谱结构.
奥苏贝尔提出了有意义学习过程的实质就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和实质性的联系[9]. 他认为知识之间的关系有下位关系、上位关系和组合关系[7].
摇托尔曼以白鼠学习方位的迷宫图实验证明了他的“符号学习理论”. 这种理论认为学习一定有它自身的目的，不是盲目的;学习是为了对“符号—完形”形成认知. 白鼠走迷宫图的过程并不只是单纯的刺激与反应之间的连接，头脑中的“意识”也起着重要作用，也就是所谓的“认知地图”，即“目标—对象—手段”三者综合形成的具有系统性的认知结构[7].
3. 数学知识图谱的功能
（1）知识构建
认知心理学家研究证明，进行学习活动过程中，学习者会主动构建内部心理表征. 新知识的扎根要与已有知识经验产生联系，在进行有意义的学习过程中构建“图式”，新旧知识不断的文化顺应最终达到一个平衡的程度. 在数学学习过程中，这也是数学知识逐步构建的一个必经的过程.
（2）更加精准地预测和推演[8]
数学知识图谱建立起来的是非人为的和实质性的联系. 各知识节点之间具有内在的逻辑联系，学习者根据知识节点之间的内在逻辑联系来预测、推演出隐含位置知识信息[8]. 这种基于逻辑基础的预测和推演更具有精确性. 对于教师的教学来说，也可通过评估学生数学知识图谱的构建，预测和推演在新的教学任务出现时，如何才能更好地进行知识之间的构建.
（3）高效检索
数学知识图谱的构建具有完整性、逻辑性、关联性等特点，数学知识之间能够建立完整的联系. 学习者遇到问题时，会搜索头脑中已经构建的知识图谱，根据已有的认知经验来解决问题. 知识图谱还具有综合性，解决一个问题时，可能关联到众多的知识. 在一个完整的知识网络中可快速地搜索、高效地解決. 所以，教师引导学生构建完整的数学知识图谱，就是在一定程度上为学生将来高效地解决问题打基础.
（4）整合
摇数学知识图谱具有整体性，核心知识处于整个知识图谱的高层位置，再逐层向下分别连接不同层级的知识，最后形成一个分节点具有关联层次结构的数学知识框架[9]. 每当新的数学知识进入时，会与已有的知识图谱产生同化与顺应的反应，原有的知识图谱在数量和质量上有了新的整合，达到一个新的平衡状态，即形成新的知识图谱. 知识图谱的不断完善就是知识不断整合的过程.
大数据辅助精准评估分析学生
数学知识图谱的构建
智能系统能对学生的数学学习情况进行精准的评估，大数据能反映学生数学知识图谱构建过程中知识的完整性、学生运用知识的能力和数学核心素养的培养状况. 基于智慧教育的大数据评估分析[10]，避免了人工计算数据的繁杂性和产生的较大误差. 大数据对学生学习情况的分析具有精确性、客观性和有效性，能最直观地评估出学生数学知识图谱的构建情况，这有利于学生、家长及教师做出适应性的学习调整策略.
杨现民指出，大数据可为教育评价带来技术性的帮助，新生代教育技术的融合推动学生学习质量、教学评价的评估，从依据“经验”走向用“数据”说话. 智慧教育中数据的全面采集、存储及分析，还可通过“数据可视化”技术直接展现评价结果[11].
学生知识图谱构建的案例分析
初中的智慧学习系统中对学生学习情况的大数据处理技能能分析常规的分数与名次，及学生答题和数学知识图谱的构建情况，也能进一步分析学生潜在的特质，从而对学生下一阶段的学习和预测做出合理的规划和分析.
选取福建省三明市梅列区第一实验学校七年级的学生，从七年级六个班中抽取一个班进行该班级学生的数学知识图谱构建分析. 以2018—2019学年开学到期中考为时间段，分析在这一时间段，学生数学学习的知识图谱构建.
福建省三明市梅列区2018—2019学年第一学期七年级期中质量检测中的学生答题情况为测试数学知识图谱构建的依据. 通过智慧教育手段运用智学网基于大数据统计进行精准分析、评估.
1. 期中质量检测试卷情况分析
2018—2019学年第一学期七年级期中质量检测数学试卷共25道题，主观题15道，分值占比73.33% ，客观题10道，分值占比26.67%;学科总分150分.
难度为0.68. 难度反映试题的难易程度（介于0—1之间），其值越大表示试题越简单，本次期中质量检测难度适中. 难度比例（难 ∶ 中 ∶ 易）为0 ∶ 4.4 ∶ 5.6. 试题难度比例表示试卷不同难度等级的题目分值所占的比例. 当测验中题目难度的分布为正态分布时，更能保证整个个体测验有较高的鉴别力. 小题得分率为P（0≤P≤0.3为难题;0.3<P≤0.7为中等题;0.7<P≤1为容易题）.
信度为0.88. 此信度表明测试结果良好地反映了被试的稳定性、一贯性的真实程度.
区分度（鉴别指数）为0.47. 区分度表示试题对考生能力的区分程度，其值越大，表明试题区分不同能力考生的效果越好，试题采用的价值也越大. 本试题区分度适中.
2018—2019学年第一学期七年级期中质量检测卷考查各部分知识权重如图1.
“有理数”部分所占比例最大. 七年级上学期是小学与中学衔接的关键点. 数系由整数扩充到有理数范围，再进一步抽象成字母，出现代数式、整式. 本次质量检测为了让学生更好地适应初中的数学学习，重在测试学生的基础知识，即“有理数”部分的学习，其次是由数到字母的过渡考查，这体现在“代数式”和“整式”部分.
2018—2019学年第一学期七年级期中质量检测数学试卷考查学生在测验时间段内的数学知识图谱构建，将该阶段学习的数学知识图谱可视化后，如图2.
2. 样本班学情分析
传统的班级授课制教学中，由于学生数量多，无法对每位学生的学习情况进行分析，也无法对学情中的每一个知识点进行系统的排查. 随着“互联网+教育”时代的到来，人工智能扮演起了重要的角色. 大数据在智慧教育中的广泛运用，解决了之前无法解决的问题，帮助教师高效精确地了解每一位学生的具体情况，同时让学生更加明确自己的学习情况以及学情定位.
在七年级六个班中随机抽取一个班，该班共53名学生. 利用智学网大数据系统自动统计出该班的期中质量检测数据情况，成绩分档统计图如图3.
从大数据统计中可以分析出该班及格和良好的学生人数达到56. 61%，成绩中等的学生占了班级的大部分. 优秀和不及格这两个成绩段，两极分化较大. 通过智学网中大数据的统计，教师可针对性地分析本班学生的成绩分布情况以及在接下来的教学中所需要做的调整.
在班级授课制基调不变的情况下，可对学生进行“精准扶贫”，即“培优补差”. 对于系统中分析出的好學生，可以进一步加大其学习难度;对于后进生，可根据其学习层次，降低学习难度. 分层布置作业，针对不同的学生设定不同的学习目标，这样才能更好地进行“因材施教”.
3. 知识图谱的可视化
知识图谱也称为知识域可视化或知识领域映射地图，即通过可视化技术展示知识及知识发展进程和结构关系的一系列图形化方法[12]. 可视化是知识图谱直观呈现的一种特点.
针对初中的教育教学，智慧教育手段可将显性数学知识和隐性数学知识[13]进行抽象概括，再进一步将抽象概括出来的数学知识进行可视化展示，有利于学生和教师对数学知识图谱的构建进行分析与评价.
图4是通过智学网大数据统计的2018—2019学年第一学期七年级数学期中质量检测中样本知识图谱构建程度的可视化呈现.
将学生构建的数学知识图谱可视化之后，我们可以直观地看到学生数学知识图谱构建中最不完善的部分是两点之间的距离、代数式的值、整式的加减、整体代入法的构建以及运用. 学生知识图谱构建程度较好的部分是立方体的展开图、相反数、科学记数法. 通过数学知识图谱将学生的数学知识构建情况可视化，学生可以根据自身情况查缺补漏，教师也可以根据学生的学情进行个性化的分析、指导，并调整教育教学方式.
4. 样本班学生知识图谱构建与年段学生知识图谱构建情况的比较
（1）知识图谱构建情况的比较
图5是通过智学网大数据统计的2018—2019学年第一学期七年级数学期中质量检测中样本班知识图谱构建得分率与年级知识图谱构建得分率对比的条形统计图.
将样本班学生的数学知识图谱构建与年级学生的知识图谱构建进行比较，将其构建情况用柱状图的形式可视化，可直观比较出得分率的高低情况以及得分率差距最大的知识图谱构建点所在. 通过直观有效的比较，能准确评估样本班学生的优势和不足. 样本班的教师可根据该班的“短板”进行“精准扶贫”，针对性地进行个性化因材施教，从而提高教师教学效率.
（2）学生知识图谱构建下的数学核心素养培养
初中數学知识分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大部分. 基于学生现有的学习知识程度，学生局限于七年级上学期开学到期中质量检测这一阶段的数学知识图谱的构建，目前只涉及“数与代数”“图形与几何”“综合与实践”三个部分. 针对学生目前已有的知识图谱结构，结合《课标》对数学核心素养的培养要求做进一步的分析.
“数与代数”部分是研究数量关系和变化规律的数学模型，它从数量关系角度更清晰、准确、客观地描述现实世界. 学生对“数”有具体的感受，但对含字母的代数式极为陌生，这也是从小学数学跨越到初中数学的一个难点所在. 在学习方法策略上，对于较为抽象的概念，可以联系生活中具体的事物和实际背景中字母的实际意义，理解该字母在此代数式中的作用. “数”与“式”的类比，能让学生深刻体会知识的内在联系，所以教师在教学过程中要注重数学类比思想方法的渗透. 在对代数式运算法则和运算律的归纳概括过程中，可由“数”类比到“式”，通过由特殊到一般，由具体到抽象的研究过程和方法，让学生进行有意义的学习.
从表1可以看出，“数与代数”部分的知识权重占0.87，共考查了11个知识点，其中有9个知识点，班级的得分率低于年级得分率. 尤其是在“相反数”“有理数的乘方”上，班级和年级得分率相差3%以上. 这说明本班学生在相应的数学知识图谱构建上低于年级学生该知识图谱构建的水平. 对于该知识点知识图谱构建未完整的学生，教师应帮助其分析原因、制定改善相应知识图谱构建的对策，进一步提高学生数感和运算能力方面的素养.
“图形与几何”部分考查了立体几何和平面图形各自的性质特点，利用直观的、感性的认识了解立体图形展开后转化成平面图形的过程以及在不同角度观察下图形的特征，发展学生的空间观念和几何直观.
从表2可以看出，“图形与几何”部分的知识权重占0.09. 立体图形及其展开图和三视图考查的数学知识点较为简单、基础，在两点之间距离的考查上难度设置有所提升. 此部分知识点的班级得分率和年级得分率相差不超过3%，说明此部分班级学生的知识图谱构建情况与整个年级学生水平大致相同. 立体图形的三视图和其展开图的考查得分率较高，这说明学生几何直观和空间想象能力在一定程度上得到了相应培养. 考查两点之间的距离知识点的得分率未超过50%，说明学生在数轴上对于两点之间位置关系的知识图谱建构还不够清晰，要进一步培养学生对数据位置之间关系的意识和数感.
“综合与实践”部分是基于学生已有知识图谱的构建，通过合作探究、自主探索、拓展运用、思考与实际生活和问题密切联系，具有一定挑战性和综合性的问题，以此发展学生的数学分析能力及解决问题的能力，提高对“数与代数”“图形与几何”内容的理解，深化各知识节点之间的连接.
从表3可以看出，“综合与实践”部分的知识权重占0.04，此部分知识的班级得分率略低于年级得分率. 通过大数据的分析，学生和教师要重视数感、运算能力、推理能力、创新意识的数学核心素养培养，进一步完善基础知识图谱的构建，并进一步深化基础知识在具体条件下的运用.
基于大数据测评的数学知识图
谱构建对教师的指导作用
数学知识之间有很强的逻辑关系，其结构严密. 构建数学知识图谱网络结构，有利于教师了解学生掌握本学科的知识框架情况，更进一步了解数学知识之间的内在逻辑结构. 数学学科学习有它自身的特点，数学知识图谱的构建也有其自身的方法. 通过对数学知识图谱构建的精准评估，分析学生数学知识点构建的完整性及构建过程中存在的问题，有利于教师准确地了解学生的学情，进一步进行个性化的教学，对已有的教学步调进行适应性的调整，在以下几个方面提供对教师教学的指导性作用.
1. 利用大数据手段辅助精准教学[14]
精准教学是基于大数据的测量、评估、分析，提供学生学习和教师教学的决策支持. 精准教学中的最大“精准”在于对学生的评价和对教学的评价，而衡量学生是否真正掌握知识或技能、是否形成学习数学必备的素养、教学是否达到目标，可分析学生学习的行为结果的测评数据，进而得出结论[15]. 学生的学习效果既包括对知识或技能的准确掌握，也包括运用知识或技能的速度[15]. 对于初中数学教学来说，利用大数据精准测量学生数学知识图谱的构建情况也是精准教学的一种策略，教师不再只凭借个人整体印象做出教学行为，因为精准的大数据分析为教师分析学生、分析教学质量提供了数据支持.
2. 对学生个性化[16]的数据进行充分的挖掘和利用
孔子提出“因材施教”，班级授课制引入中国，在一定程度上让更多的学生有受教育的机会，解决了中国学生受教育的问题. 但随之而来的问题是，面对众多的学生，学生的问题存在着较大的个体差异，如何精准地评估学生间的个体差异并进行有针对性的分析和解决. 在“互联网+教育”的背景下，教师通过智慧教育中的大数据分析手段，可以充分挖掘和利用学生个性化的数据，对其进行进一步分析，对学生的学习进行有效的干预.
3. 有利于教师对教学方向的把控
传统教学中仅由教师对教学的大致感观和教师个人对教材的处理，决定教学的内容和教学的进度. 在大数据分析下，通过测评和分析学生数学知识图谱的构建，可对学生已有的数学经验进行准确的评估，这样便可对教师即将进行的教学有一个很好的前测. 通过精准的分析，可在学生最近发展区内进行有效教学，同时可预测即将发生的教学行为可能带来的效果，进而根据预测结果提出相关的学习策略或改进建议，教师可更有科学依据地把握教学方向.
结束语
智慧教育是教育与技术融合的产物，也是教育随着时代发展的必然产物. 教育现代化支撑着智慧教育的建设，智慧教育适应时代的需求. 基于大数据的精准分析、评估诊断，可对学生的学习情况进行个性化的分析. 初中数学的学习利用智慧教育的手段评估学生数学知识图谱的构建、数学核心素养的形成状况，教师可以依据准确的数据进行教学的“供给侧”调整，同时可以对学生的学习进行“精准扶贫”，给出最具针对性的建议.
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