轴向运动梁的激励功率谱辨识
刘涛+吴炜+史济涛+蔡国平
摘要：以轴向运动柔性梁为对象，采用Hamilton原理建立了轴向运动柔性梁的运动微分方程，采用复模态分析方法推导了两端简支梁和两端自由梁边界条件下的系统固有频率方程，采用Ritz法对系统运动微分方程离散化，进行系统在外激励作用下的响应分析，并在频域空间导出了随机外部激励的功率谱与系统响应的功率谱之间的转换关系，开展了激励功率谱的辨识工作。仿真结果表明，本文所给方法能够有效地对外部激励的功率谱进行辨识。
关键词：轴向运动梁；功率谱辨识；复模态分析；Ritz法；随机激励
中图分类号：O326；TB123文献标识码：A文章编号：1673-5048（2014）04-0045-04
0引言
工程中存在着许多的轴向运动结构，例如：单索架（索道、带锯、动力传送带、导弹等等，均可以简化轴向运动梁（弦）；这类装置的横向振动一般会带来负面效果。因此研究轴向运动梁的横向振动问题存在较大的理论意义与工程应用价值。
轴向运动梁（弦）的研究最早可以追溯到20世纪60年代。1965年，Mote[1]首先建立了轴向运动梁的数学模型，并采用Galerkin截断法研究了简支梁的前三阶固有频率和运动模态振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用复模态分析法进行轴向运动梁的研究，并应用该方法得出了轴向运动梁的固有频率和模态函数；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推导了在超临界速度范围，简支边界下轴向运动梁的横向动力学响应。国内学者也积极开展了轴向运动梁的受迫振动、非线性振动、稳定性等问题。陈立群等[4]研究了粘弹性轴向运动梁在混合边界条件下的振动与稳定性问题；李德双等[5]研究了轴向运动带的横向与纵向运动的耦合问题；王亮等[6]研究了高速轴向运动梁的模态及频率特征；李彪等[7]研究了两端自由边界的轴向运动Timoshenko梁的横向振动问题。
上述文献中，轴向运动梁的横向振动问题的研究多是考虑两端简支梁和两端固支梁的边界条件，较少考虑其他边界条件；另外关于轴向运动梁的激励功率谱辨识的研究也较少。本文依据Hamilton原理建立轴向运动柔性梁的运动微分方程，推导两端简支梁和两端自由梁边界条件下的系统固有频率方程，采用Ritz法对运动微分方程进行离散化，研究定点随机激励下的功率谱辨识问题。
1动力学方程
（E为杨氏模量，I为惯性矩）本文考虑等截面柔性梁的横向弯曲振动，如图1所示。假定有恒定轴向运动速度v，恒定张力P，分布式外部载荷f（x，t），柔性梁截面面积为A，弯曲刚度EI，长度l。则在x方向的应变εxx为[5]
4数值仿真
数值仿真考虑两端简支和两端自由梁两种边界条件。梁为均质钢制材料[9]，长度L=2m，圆形截面半径R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，弹性模量E=196GPa，梁的轴向运动速率为v=10m/s，轴向压力P=-10kN（负号表示梁处于轴向受压状态）。考虑梁初始处于静平衡状态，梁上xf=0.4m处定点施加集中力f（t），得出点xs=1.8m处的响应，由此进行功率谱的辨识。数值仿真中，Ritz法的阶数n取为10。
首先考虑两端简支梁边界条件下的轴向运动梁的功率谱辨识，其响应考虑为在随动坐标系下的响应值。在xf处施加集中载荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）为取样时间内的随机载荷，其方差为1。通过对式（8）和式（10）进行迭代求解得出的前三阶固有频率分别为48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法计算得到的前三阶固有频率的相对误差在10-7以内，说明Ritz法的分析是有效的。图2为数值仿真结果，其中图2（a）为xs处的响应，图2（b）为施加的载荷的功率谱与辨识功率谱。由图中结果可以看出，本文的方法能够有效地进行定点随机外载荷的功率谱辨识。
时间内的随机载荷，其方差为1。通过对式（8）和式（10）进行迭代求解得出的前三阶固有频率分别为111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法计算得到前三阶固有频率分别为110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相对误差在0.002以内，而采用Galerkin方法计算得到的前三阶固有频率分别为111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，对比迭代结果，Ritz法得到的结果相对误差略小，说明Ritz法的分析是有效的。图3为数值仿真结果，其中图3（a）为xs处的响应；图3（b）为施加的载荷的功率谱与辨识功率谱。由图中结果可以看出，本文的方法能够有效地进行定点随机外载荷的功率谱辨识。
5结束语
本文以轴向运动梁为研究对象，采用复模态分析方法进行了梁的固有频率分析，采用Ritz法建立了梁的运动数值分析模型，并基于此导出了定点载荷的功率谱辨识方法。仿真结果表明，本文的方法能够有效地对定点随机外载荷进行功率谱辨识。
摘要：以轴向运动柔性梁为对象，采用Hamilton原理建立了轴向运动柔性梁的运动微分方程，采用复模态分析方法推导了两端简支梁和两端自由梁边界条件下的系统固有频率方程，采用Ritz法对系统运动微分方程离散化，进行系统在外激励作用下的响应分析，并在频域空间导出了随机外部激励的功率谱与系统响应的功率谱之间的转换关系，开展了激励功率谱的辨识工作。仿真结果表明，本文所给方法能够有效地对外部激励的功率谱进行辨识。
关键词：轴向运动梁；功率谱辨识；复模态分析；Ritz法；随机激励
中图分类号：O326；TB123文献标识码：A文章编号：1673-5048（2014）04-0045-04
0引言
工程中存在着许多的轴向运动结构，例如：单索架（索道、带锯、动力传送带、导弹等等，均可以简化轴向运动梁（弦）；这类装置的横向振动一般会带来负面效果。因此研究轴向运动梁的横向振动问题存在较大的理论意义与工程应用价值。
轴向运动梁（弦）的研究最早可以追溯到20世纪60年代。1965年，Mote[1]首先建立了轴向运动梁的数学模型，并采用Galerkin截断法研究了简支梁的前三阶固有频率和运动模态振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用复模态分析法进行轴向运动梁的研究，并应用该方法得出了轴向运动梁的固有频率和模态函数；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推导了在超临界速度范围，简支边界下轴向运动梁的横向动力学响应。国内学者也积极开展了轴向运动梁的受迫振动、非线性振动、稳定性等问题。陈立群等[4]研究了粘弹性轴向运动梁在混合边界条件下的振动与稳定性问题；李德双等[5]研究了轴向运动带的横向与纵向运动的耦合问题；王亮等[6]研究了高速轴向运动梁的模态及频率特征；李彪等[7]研究了两端自由边界的轴向运动Timoshenko梁的横向振动问题。
上述文献中，轴向运动梁的横向振动问题的研究多是考虑两端简支梁和两端固支梁的边界条件，较少考虑其他边界条件；另外关于轴向运动梁的激励功率谱辨识的研究也较少。本文依据Hamilton原理建立轴向运动柔性梁的运动微分方程，推导两端简支梁和两端自由梁边界条件下的系统固有频率方程，采用Ritz法对运动微分方程进行离散化，研究定点随机激励下的功率谱辨识问题。
1动力学方程
（E为杨氏模量，I为惯性矩）本文考虑等截面柔性梁的横向弯曲振动，如图1所示。假定有恒定轴向运动速度v，恒定张力P，分布式外部载荷f（x，t），柔性梁截面面积为A，弯曲刚度EI，长度l。则在x方向的应变εxx为[5]
4数值仿真
数值仿真考虑两端简支和两端自由梁两种边界条件。梁为均质钢制材料[9]，长度L=2m，圆形截面半径R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，弹性模量E=196GPa，梁的轴向运动速率为v=10m/s，轴向压力P=-10kN（负号表示梁处于轴向受压状态）。考虑梁初始处于静平衡状态，梁上xf=0.4m处定点施加集中力f（t），得出点xs=1.8m处的响应，由此进行功率谱的辨识。数值仿真中，Ritz法的阶数n取为10。
首先考虑两端简支梁边界条件下的轴向运动梁的功率谱辨识，其响应考虑为在随动坐标系下的响应值。在xf处施加集中载荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）为取样时间内的随机载荷，其方差为1。通过对式（8）和式（10）进行迭代求解得出的前三阶固有频率分别为48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法计算得到的前三阶固有频率的相对误差在10-7以内，说明Ritz法的分析是有效的。图2为数值仿真结果，其中图2（a）为xs处的响应，图2（b）为施加的载荷的功率谱与辨识功率谱。由图中结果可以看出，本文的方法能够有效地进行定点随机外载荷的功率谱辨识。
时间内的随机载荷，其方差为1。通过对式（8）和式（10）进行迭代求解得出的前三阶固有频率分别为111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法计算得到前三阶固有频率分别为110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相对误差在0.002以内，而采用Galerkin方法计算得到的前三阶固有频率分别为111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，对比迭代结果，Ritz法得到的结果相对误差略小，说明Ritz法的分析是有效的。图3为数值仿真结果，其中图3（a）为xs处的响应；图3（b）为施加的载荷的功率谱与辨识功率谱。由图中结果可以看出，本文的方法能够有效地进行定点随机外载荷的功率谱辨识。
5结束语
本文以轴向运动梁为研究对象，采用复模态分析方法进行了梁的固有频率分析，采用Ritz法建立了梁的运动数值分析模型，并基于此导出了定点载荷的功率谱辨识方法。仿真结果表明，本文的方法能够有效地对定点随机外载荷进行功率谱辨识。
摘要：以轴向运动柔性梁为对象，采用Hamilton原理建立了轴向运动柔性梁的运动微分方程，采用复模态分析方法推导了两端简支梁和两端自由梁边界条件下的系统固有频率方程，采用Ritz法对系统运动微分方程离散化，进行系统在外激励作用下的响应分析，并在频域空间导出了随机外部激励的功率谱与系统响应的功率谱之间的转换关系，开展了激励功率谱的辨识工作。仿真结果表明，本文所给方法能够有效地对外部激励的功率谱进行辨识。
关键词：轴向运动梁；功率谱辨识；复模态分析；Ritz法；随机激励
中图分类号：O326；TB123文献标识码：A文章编号：1673-5048（2014）04-0045-04
0引言
工程中存在着许多的轴向运动结构，例如：单索架（索道、带锯、动力传送带、导弹等等，均可以简化轴向运动梁（弦）；这类装置的横向振动一般会带来负面效果。因此研究轴向运动梁的横向振动问题存在较大的理论意义与工程应用价值。
轴向运动梁（弦）的研究最早可以追溯到20世纪60年代。1965年，Mote[1]首先建立了轴向运动梁的数学模型，并采用Galerkin截断法研究了简支梁的前三阶固有频率和运动模态振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用复模态分析法进行轴向运动梁的研究，并应用该方法得出了轴向运动梁的固有频率和模态函数；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推导了在超临界速度范围，简支边界下轴向运动梁的横向动力学响应。国内学者也积极开展了轴向运动梁的受迫振动、非线性振动、稳定性等问题。陈立群等[4]研究了粘弹性轴向运动梁在混合边界条件下的振动与稳定性问题；李德双等[5]研究了轴向运动带的横向与纵向运动的耦合问题；王亮等[6]研究了高速轴向运动梁的模态及频率特征；李彪等[7]研究了两端自由边界的轴向运动Timoshenko梁的横向振动问题。
上述文献中，轴向运动梁的横向振动问题的研究多是考虑两端简支梁和两端固支梁的边界条件，较少考虑其他边界条件；另外关于轴向运动梁的激励功率谱辨识的研究也较少。本文依据Hamilton原理建立轴向运动柔性梁的运动微分方程，推导两端简支梁和两端自由梁边界条件下的系统固有频率方程，采用Ritz法对运动微分方程进行离散化，研究定点随机激励下的功率谱辨识问题。
1动力学方程
（E为杨氏模量，I为惯性矩）本文考虑等截面柔性梁的横向弯曲振动，如图1所示。假定有恒定轴向运动速度v，恒定张力P，分布式外部载荷f（x，t），柔性梁截面面积为A，弯曲刚度EI，长度l。则在x方向的应变εxx为[5]
4数值仿真
数值仿真考虑两端简支和两端自由梁两种边界条件。梁为均质钢制材料[9]，长度L=2m，圆形截面半径R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，弹性模量E=196GPa，梁的轴向运动速率为v=10m/s，轴向压力P=-10kN（负号表示梁处于轴向受压状态）。考虑梁初始处于静平衡状态，梁上xf=0.4m处定点施加集中力f（t），得出点xs=1.8m处的响应，由此进行功率谱的辨识。数值仿真中，Ritz法的阶数n取为10。
首先考虑两端简支梁边界条件下的轴向运动梁的功率谱辨识，其响应考虑为在随动坐标系下的响应值。在xf处施加集中载荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）为取样时间内的随机载荷，其方差为1。通过对式（8）和式（10）进行迭代求解得出的前三阶固有频率分别为48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法计算得到的前三阶固有频率的相对误差在10-7以内，说明Ritz法的分析是有效的。图2为数值仿真结果，其中图2（a）为xs处的响应，图2（b）为施加的载荷的功率谱与辨识功率谱。由图中结果可以看出，本文的方法能够有效地进行定点随机外载荷的功率谱辨识。
时间内的随机载荷，其方差为1。通过对式（8）和式（10）进行迭代求解得出的前三阶固有频率分别为111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法计算得到前三阶固有频率分别为110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相对误差在0.002以内，而采用Galerkin方法计算得到的前三阶固有频率分别为111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，对比迭代结果，Ritz法得到的结果相对误差略小，说明Ritz法的分析是有效的。图3为数值仿真结果，其中图3（a）为xs处的响应；图3（b）为施加的载荷的功率谱与辨识功率谱。由图中结果可以看出，本文的方法能够有效地进行定点随机外载荷的功率谱辨识。
5结束语
本文以轴向运动梁为研究对象，采用复模态分析方法进行了梁的固有频率分析，采用Ritz法建立了梁的运动数值分析模型，并基于此导出了定点载荷的功率谱辨识方法。仿真结果表明，本文的方法能够有效地对定点随机外载荷进行功率谱辨识。
