水下航行器高速机动非线性特性研究
胡锦晖 胡大斌 肖剑波
摘 要： 在强机动条件下，水下航行器运动模型的解算可能会出现分岔、突变和多解等现象，对应于水下航行器的运动会出现失稳现象。针对这一问题，采用系统稳定性、稳定性判别及分岔等理论，以及解算高维非线性系统的延拓算法，研究了各项参数对水下航行器高速运动稳定性等非线性特性的影响，求出了产生分岔等危险情况的数值解。研究结果对水下航行器的实际操作控制可提供有益指导。
关键词： 水下航行器； 高速机动； 非线性系统； 延拓算法
中图分类号： TN711.4?34； E925.66 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）20?0128?04
Abstract： Under the condition of strong maneuvering， the phenomena of bifurcation， saltation and multiple solutions may occur to the resolving of underwater vehicle motion model， corresponding to the motion of underwater vehicle， an unstable phenomenon may appear. To solve this problem， the influence of various parameters on the stability of underwater vehicle in high speed is studied according to the theories of the system stability， stability identification and bifurcation， as well as continuation algorithm for high?dimension nonlinear systems. The numerical solution of the bifurcation and other dangerous situations was obtained. The research results can provide a useful guidance for practical operation control of underwater vehicle.
Keywords： underwater vehicle； high?speed maneuvering； nonlinear system； continuation algorithm
随着水下航行器复杂程度及自动化程度的提高，对其设计和使用提出了更高的要求。如何提高操纵人员的操纵水平，使航行器得到有效的控制，不仅关系到航行器执行各项任务的效率，更关系到各种装置及人员的安全。水下航行器运动模型是非线性微分方程。在强机动条件下，解算运动模型可能会出现分岔、突变和多解等现象，对应于航行器实际运动会出现失稳现象，这是很危险的。水下航行器在大倾角下进行空间高速机动时，操舵引起的纵倾角、横倾角大致与航速的平方成正比，而潜深的变化正比于航速的立方，这些反应到模型中都是变量间的非线性关系。高速回转时的水下航行器还存在“突然横滚”的问题。因此，水下航行器在水下高速机动时，不可避免地随之产生较大的纵倾角变化，水下航行器的深度也随之剧烈改变，从而带来航行安全性隐患[1]。
本文利用非线性系统理论，研究水下航行器高速运动工况下的稳定性等非线性特性，为航行器的操作控制提供有益的指导，以使其发挥出更好的性能。
1 非线性系统稳定性的判定及分岔
在系统稳定性的研究中，李雅普诺夫函数法是较为常用的方法；但是构造李雅普诺夫函数需要一些经验和技巧，并且对于非线性系统还没有通用的方法。本文通过判别系统雅克比矩阵特征值λi（i=1，2，…，n）来判定稳定性。对于任意λi，如果其实部Re（λi）<0，系统的扰动运动逐渐衰减，且[Re（λi）]越大，其衰减越快，越利于系统稳定；如果存在某一特征值，其实部[Re]（λi）<0，系统的扰动运动逐渐加强，且[Re（λi）]越大，其扰动越强，系统趋于发散速度越快；如果存在一对共扼复特征值，则系统发生振荡[2]。如果某个动力系统结构是不稳定的，则在适当的扰动作用下，该系统的拓扑结构有可能发生突变，这种突变通常称为分岔。反之，如果系统发生分岔，那么可以判断其结构是不稳定的[3]。对于含参数的动力学系统：
那么称其在μ=μ0处发生分岔。按其研究的范围和重点不同，分岔分为局部分岔、全局分岔、靜态分岔和动态分岔。
2 非线性系统的数值解法
非线性系统的本质是常微分方程，一般表示成微分量的显式表达，求解其平衡点即：
这样问题就归结为求解非线性代数方程。从普遍意义上来讲，非线性代数方程的根能用解析式表达的很少，绝大多数需要用数值方法求解[4]。牛顿迭代法求解速度快、精度高且能够得到特征向量等有价值的附加信息。但它的收敛半径一般很小，其收敛性依赖于迭代初始点的选择，当初始点选择不当时，算法可能出现不收敛的情况。延拓算法可以很好地避免牛顿迭代法的缺点，它在较大的初值范围内具有收敛性，从而显著地扩大了初值的容许范围。对于式（2），x为系统的状态变量，μ为控制参数，f为光滑映射。一般情况下μ∈Rm在研究其中某一参数对平衡解的影响时，可固定其他参数，问题简化为μ∈R，即余维度为1，本文在此做如上简化。若在μ=μ0时，x=x0为系统的一个平衡点。延拓算法主要就是研究当参数μ发生变化时，系统的平衡点x0随参数μ变化的情况。函数f（x，μ）在平衡点（x0，μ0）处的雅克比矩阵为：
若det[Df（x0，μ0）]≠0，即[Df（x0，μ0）]非奇异，根据隐函数的相关理论，在参数空间Rm中存在点μ0的某个邻域，如果参数点μ属于该邻域，则方程f（x，μ）=0存在惟一解x=g（μ），且x0=g（μ0）。数值求解的过程就是寻找光滑曲线x=g（μ）。这时，如果参数μ=μ0，可以求得式（2）的一个解x=x0，接着采用延拓算法可以追踪式（2）经过平衡点（x0，μ0）在空间Rn×R中的解分支[5]。延拓算法总体上分为两类，分段线性化是其中的一类方法，但其剖分结构复杂，编程实现不易。预测?校正是第二类算法，主要思路是用达到一定要求精度的数值序列来追踪该解分支，本文主要研究的是预测?修正算法[6]。预测?校正算法总体上分为三步，即：
（1） 预测下一平衡点；
（2） 对预测点进行修正；
（3） 步长控制。
3 某型水下航行器高速机动非线性特性分析
3.1 水下航行器运动方程的变形
根据文献[1]中给出的水下航行器运动方程进行非线性特性分析，首先要对其进行变形，使其转化为形如式（2）的形式。由于水下航行器运动方程较为复杂，应先对其进行变量分离，得到中间变形式如下：
3.2 水下航行器的运动稳定性研究
水下航行器达到定常状态是指，水下航行器的线速度和角速度达到有限的稳定值。因此，水下航行器运动的稳态条件是：相对于运动坐标系的线加速度[（u，v，w）]和角加速度[（p，q，r）]为0，同时水下航行器的横倾角速度p和纵倾角速度q也为0，横倾角φ和纵倾角θ为一定值，即：
求解式（8）这种复杂的八维非线性方程组，用解析的方法几乎是不可能的，利用延拓算法，可以求其数值解。本文在Matlab平台上运用MATCONT对式（7）进行解算，求取参数变化引起水下航行器运动失稳的数值解[7]。因为式（7）中涉及的变量及参数较多，为避免赘述，本文主要给出部分发现分岔的情况。
3.2.1 以yG为自由参数
初始条件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=δs=0，xG=0，zG=0.42 m，初始静载平衡W=B，考察yG变化对运动稳定性的影响，主要考察其对航行器姿态角的影响。计算结果如图1、图2所示。yG?φ分岔中，Hopf分岔点在yG=0.790 m处，第一李雅普诺夫系数为-0.198 0，特征根实部在yG=0.790 m处穿越零点。由第一李雅普诺夫系数小于零可知，系统在Hopf分岔点处产生稳定的极限环，如图3所示。虽然此处的极限环稳定，但是其横倾角在一个较大的幅值处振荡，因此在实际情况中这是不允许出现的。
综合以yG为自由参数的计算结果，可以发现，yG变化的过程中系统产生的分岔情况较xG要少一些。但是，从图1可以看出，在高速航行时yG对水下航行器姿态的影响却更加剧烈，当[yG]>0.2 m时，水下航行器的横倾角[φ]>50，yG的轻微变化就引起了横倾角的大幅变化。这主要因为航行器在y方向的尺度要比x方向上的尺度小的多。因此，水下航行器高速航行时，应避免yG的偏移，以防止出现大幅横倾，同时也可避免Hopf分岔的出現。
3.2.2 以zG为自由参数
初始条件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=δs=0，xG=0，yG=0，初始静载平衡W=B，考察zG变化对航行器运动稳定性的影响，主要考察其对姿态角的影响。其计算结果如图4、图5所示。在航行器坐标系中，zG位于原点之下（正常情况zG=0.42），以产生扶正力矩，随着zG的减小，航行器的稳性会下降。在zG?θ分岔中，BP分岔点（Branch Point）出现在zG=0处，并且特征根实部在0处穿越零点。这说明在zG>0时，特征根实部Re（λ）<0，系统稳定，在zG<0时，特征根实部Re（λ）>0，系统不稳定。在zG=0处，系统在微小扰动下会产生多解分支，如图6所示。
综合以zG为自由参数的计算结果，可以发现，为保持水下航行器的稳性，zG必须具有一定正值。这一点在航行器设计中就已经充分考虑，在正常装载情况下zG一般在0.3～0.4 m。具体应用到军用水下航行器来说，日常的油水消耗及雷弹发射不会使zG产生太大变化，但是如果战斗中水下航行器受到攻击，在航行器上部造成破损进水，会使zG减小，此时，应采取及时有效措施以保持水下航行器的稳性。
3.2.3 以δs为自由参数
初始条件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=0，xG=0，yG=0，zG=0.42 m，初始静载平衡W=B，考察δs变化对航行器运动稳定性的影响，主要考察其对姿态角的影响。计算结果如图7、图8所示。在δs?θ分岔中，BP分岔点（Branch Point）出现在δs=-0.380 rad处，特征根实部在BP点处穿越零点，系统变为不稳定。从图7可以发现，当尾舵角[δs]>0.35 rad时，纵倾角[θ]>1 rad，同时，从图8可以发现，此时Re（λ）也越来越接近零，说明系统稳定度降低。因此，为防止水下航行器出现危险大纵倾，在高速航行时应谨慎使用较大尾舵。
3.3 仿真试验
实际的水下航行器高速机动试验具有较大风险，本文将产生失稳的数值解作为水下航行器运动模型解算的初始条件，进行仿真试验。将求得的分岔点yG=0.790 m代入水下航行器运动模型，得到与图3相对应的水下航行器运动结果如图9所示。可以发现横倾角的振荡收敛于较大的幅值，虽然振荡稳定，但是在实际使用中是不允许出现的。将求得的BP分岔点zG=0 m代入水下航行器运动模型，此时，航行器失去扶正力矩，在施加扰动情况下，水下航行器会发生倾覆，与图6相对应的水下航行器运动结果如图10所示。仿真计算结果体现了在分岔点处水下航行器的运动情况，验证了上述稳定性分析的正确性。
4 结 语
在高速机动时，水下航行器的运动模型是一个复杂的非线性系统。本文在研究系统稳定性判别及分岔，以及解算高维非线性系统的延拓算法等非线性系统理论的基础上，研究了部分参数对某型水下航行器高速机动稳定性的影响，求出了产生分岔等危险情况的数值解，给出了保证水下航行器运动稳定所需的各参数的范围。经计算机仿真试验验证了数值分析结论的正确性，对水下航行器的实际操作控制提供了有益的理论指导。
参考文献
[1] 施生达.水下航行器操纵性[M].北京：国防工业出版社，1995.
[2] 苏永春.电力系统电压稳定理论若干关键问题研究[D].武汉：华中科技大学，2007.
[3] 刘继军.非线性Block方程的分岔求解[D].兰州：兰州大学，2008.
[4] 熊瑛.基于智能控制的潜艇操纵运动仿真研究[D].武汉：中国舰船研究院，2011.
[5] 李平.非线性系统自适应模糊控制方法研究[D].沈阳：东北大学，2010.
[6] 王震，毛鹏伟.一类三维混沌系统的分叉及稳定性分析[J].动力学与控制学报，2008，6（1）：16?21.
[7] ISSAC M T， ADAMS S， HE M， et al. Manoeuvring experiments using the MUN explorer AUV [C]// Proceedings of International Symposium on Underwater Technology. Tokyo， Japan： [s.n.]， 2007： 256?262.
摘 要： 在强机动条件下，水下航行器运动模型的解算可能会出现分岔、突变和多解等现象，对应于水下航行器的运动会出现失稳现象。针对这一问题，采用系统稳定性、稳定性判别及分岔等理论，以及解算高维非线性系统的延拓算法，研究了各项参数对水下航行器高速运动稳定性等非线性特性的影响，求出了产生分岔等危险情况的数值解。研究结果对水下航行器的实际操作控制可提供有益指导。
关键词： 水下航行器； 高速机动； 非线性系统； 延拓算法
中图分类号： TN711.4?34； E925.66 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）20?0128?04
Abstract： Under the condition of strong maneuvering， the phenomena of bifurcation， saltation and multiple solutions may occur to the resolving of underwater vehicle motion model， corresponding to the motion of underwater vehicle， an unstable phenomenon may appear. To solve this problem， the influence of various parameters on the stability of underwater vehicle in high speed is studied according to the theories of the system stability， stability identification and bifurcation， as well as continuation algorithm for high?dimension nonlinear systems. The numerical solution of the bifurcation and other dangerous situations was obtained. The research results can provide a useful guidance for practical operation control of underwater vehicle.
Keywords： underwater vehicle； high?speed maneuvering； nonlinear system； continuation algorithm
随着水下航行器复杂程度及自动化程度的提高，对其设计和使用提出了更高的要求。如何提高操纵人员的操纵水平，使航行器得到有效的控制，不仅关系到航行器执行各项任务的效率，更关系到各种装置及人员的安全。水下航行器运动模型是非线性微分方程。在强机动条件下，解算运动模型可能会出现分岔、突变和多解等现象，对应于航行器实际运动会出现失稳现象，这是很危险的。水下航行器在大倾角下进行空间高速机动时，操舵引起的纵倾角、横倾角大致与航速的平方成正比，而潜深的变化正比于航速的立方，这些反应到模型中都是变量间的非线性关系。高速回转时的水下航行器还存在“突然横滚”的问题。因此，水下航行器在水下高速机动时，不可避免地随之产生较大的纵倾角变化，水下航行器的深度也随之剧烈改变，从而带来航行安全性隐患[1]。
本文利用非线性系统理论，研究水下航行器高速运动工况下的稳定性等非线性特性，为航行器的操作控制提供有益的指导，以使其发挥出更好的性能。
1 非线性系统稳定性的判定及分岔
在系统稳定性的研究中，李雅普诺夫函数法是较为常用的方法；但是构造李雅普诺夫函数需要一些经验和技巧，并且对于非线性系统还没有通用的方法。本文通过判别系统雅克比矩阵特征值λi（i=1，2，…，n）来判定稳定性。对于任意λi，如果其实部Re（λi）<0，系统的扰动运动逐渐衰减，且[Re（λi）]越大，其衰减越快，越利于系统稳定；如果存在某一特征值，其实部[Re]（λi）<0，系统的扰动运动逐渐加强，且[Re（λi）]越大，其扰动越强，系统趋于发散速度越快；如果存在一对共扼复特征值，则系统发生振荡[2]。如果某个动力系统结构是不稳定的，则在适当的扰动作用下，该系统的拓扑结构有可能发生突变，这种突变通常称为分岔。反之，如果系统发生分岔，那么可以判断其结构是不稳定的[3]。对于含参数的动力学系统：
那么称其在μ=μ0处发生分岔。按其研究的范围和重点不同，分岔分为局部分岔、全局分岔、靜态分岔和动态分岔。
2 非线性系统的数值解法
非线性系统的本质是常微分方程，一般表示成微分量的显式表达，求解其平衡点即：
这样问题就归结为求解非线性代数方程。从普遍意义上来讲，非线性代数方程的根能用解析式表达的很少，绝大多数需要用数值方法求解[4]。牛顿迭代法求解速度快、精度高且能够得到特征向量等有价值的附加信息。但它的收敛半径一般很小，其收敛性依赖于迭代初始点的选择，当初始点选择不当时，算法可能出现不收敛的情况。延拓算法可以很好地避免牛顿迭代法的缺点，它在较大的初值范围内具有收敛性，从而显著地扩大了初值的容许范围。对于式（2），x为系统的状态变量，μ为控制参数，f为光滑映射。一般情况下μ∈Rm在研究其中某一参数对平衡解的影响时，可固定其他参数，问题简化为μ∈R，即余维度为1，本文在此做如上简化。若在μ=μ0时，x=x0为系统的一个平衡点。延拓算法主要就是研究当参数μ发生变化时，系统的平衡点x0随参数μ变化的情况。函数f（x，μ）在平衡点（x0，μ0）处的雅克比矩阵为：
若det[Df（x0，μ0）]≠0，即[Df（x0，μ0）]非奇异，根据隐函数的相关理论，在参数空间Rm中存在点μ0的某个邻域，如果参数点μ属于该邻域，则方程f（x，μ）=0存在惟一解x=g（μ），且x0=g（μ0）。数值求解的过程就是寻找光滑曲线x=g（μ）。这时，如果参数μ=μ0，可以求得式（2）的一个解x=x0，接着采用延拓算法可以追踪式（2）经过平衡点（x0，μ0）在空间Rn×R中的解分支[5]。延拓算法总体上分为两类，分段线性化是其中的一类方法，但其剖分结构复杂，编程实现不易。预测?校正是第二类算法，主要思路是用达到一定要求精度的数值序列来追踪该解分支，本文主要研究的是预测?修正算法[6]。预测?校正算法总体上分为三步，即：
（1） 预测下一平衡点；
（2） 对预测点进行修正；
（3） 步长控制。
3 某型水下航行器高速机动非线性特性分析
3.1 水下航行器运动方程的变形
根据文献[1]中给出的水下航行器运动方程进行非线性特性分析，首先要对其进行变形，使其转化为形如式（2）的形式。由于水下航行器运动方程较为复杂，应先对其进行变量分离，得到中间变形式如下：
3.2 水下航行器的运动稳定性研究
水下航行器达到定常状态是指，水下航行器的线速度和角速度达到有限的稳定值。因此，水下航行器运动的稳态条件是：相对于运动坐标系的线加速度[（u，v，w）]和角加速度[（p，q，r）]为0，同时水下航行器的横倾角速度p和纵倾角速度q也为0，横倾角φ和纵倾角θ为一定值，即：
求解式（8）这种复杂的八维非线性方程组，用解析的方法几乎是不可能的，利用延拓算法，可以求其数值解。本文在Matlab平台上运用MATCONT对式（7）进行解算，求取参数变化引起水下航行器运动失稳的数值解[7]。因为式（7）中涉及的变量及参数较多，为避免赘述，本文主要给出部分发现分岔的情况。
3.2.1 以yG为自由参数
初始条件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=δs=0，xG=0，zG=0.42 m，初始静载平衡W=B，考察yG变化对运动稳定性的影响，主要考察其对航行器姿态角的影响。计算结果如图1、图2所示。yG?φ分岔中，Hopf分岔点在yG=0.790 m处，第一李雅普诺夫系数为-0.198 0，特征根实部在yG=0.790 m处穿越零点。由第一李雅普诺夫系数小于零可知，系统在Hopf分岔点处产生稳定的极限环，如图3所示。虽然此处的极限环稳定，但是其横倾角在一个较大的幅值处振荡，因此在实际情况中这是不允许出现的。
综合以yG为自由参数的计算结果，可以发现，yG变化的过程中系统产生的分岔情况较xG要少一些。但是，从图1可以看出，在高速航行时yG对水下航行器姿态的影响却更加剧烈，当[yG]>0.2 m时，水下航行器的横倾角[φ]>50，yG的轻微变化就引起了横倾角的大幅变化。这主要因为航行器在y方向的尺度要比x方向上的尺度小的多。因此，水下航行器高速航行时，应避免yG的偏移，以防止出现大幅横倾，同时也可避免Hopf分岔的出現。
3.2.2 以zG为自由参数
初始条件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=δs=0，xG=0，yG=0，初始静载平衡W=B，考察zG变化对航行器运动稳定性的影响，主要考察其对姿态角的影响。其计算结果如图4、图5所示。在航行器坐标系中，zG位于原点之下（正常情况zG=0.42），以产生扶正力矩，随着zG的减小，航行器的稳性会下降。在zG?θ分岔中，BP分岔点（Branch Point）出现在zG=0处，并且特征根实部在0处穿越零点。这说明在zG>0时，特征根实部Re（λ）<0，系统稳定，在zG<0时，特征根实部Re（λ）>0，系统不稳定。在zG=0处，系统在微小扰动下会产生多解分支，如图6所示。
综合以zG为自由参数的计算结果，可以发现，为保持水下航行器的稳性，zG必须具有一定正值。这一点在航行器设计中就已经充分考虑，在正常装载情况下zG一般在0.3～0.4 m。具体应用到军用水下航行器来说，日常的油水消耗及雷弹发射不会使zG产生太大变化，但是如果战斗中水下航行器受到攻击，在航行器上部造成破损进水，会使zG减小，此时，应采取及时有效措施以保持水下航行器的稳性。
3.2.3 以δs为自由参数
初始条件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=0，xG=0，yG=0，zG=0.42 m，初始静载平衡W=B，考察δs变化对航行器运动稳定性的影响，主要考察其对姿态角的影响。计算结果如图7、图8所示。在δs?θ分岔中，BP分岔点（Branch Point）出现在δs=-0.380 rad处，特征根实部在BP点处穿越零点，系统变为不稳定。从图7可以发现，当尾舵角[δs]>0.35 rad时，纵倾角[θ]>1 rad，同时，从图8可以发现，此时Re（λ）也越来越接近零，说明系统稳定度降低。因此，为防止水下航行器出现危险大纵倾，在高速航行时应谨慎使用较大尾舵。
3.3 仿真试验
实际的水下航行器高速机动试验具有较大风险，本文将产生失稳的数值解作为水下航行器运动模型解算的初始条件，进行仿真试验。将求得的分岔点yG=0.790 m代入水下航行器运动模型，得到与图3相对应的水下航行器运动结果如图9所示。可以发现横倾角的振荡收敛于较大的幅值，虽然振荡稳定，但是在实际使用中是不允许出现的。将求得的BP分岔点zG=0 m代入水下航行器运动模型，此时，航行器失去扶正力矩，在施加扰动情况下，水下航行器会发生倾覆，与图6相对应的水下航行器运动结果如图10所示。仿真计算结果体现了在分岔点处水下航行器的运动情况，验证了上述稳定性分析的正确性。
4 结 语
在高速机动时，水下航行器的运动模型是一个复杂的非线性系统。本文在研究系统稳定性判别及分岔，以及解算高维非线性系统的延拓算法等非线性系统理论的基础上，研究了部分参数对某型水下航行器高速机动稳定性的影响，求出了产生分岔等危险情况的数值解，给出了保证水下航行器运动稳定所需的各参数的范围。经计算机仿真试验验证了数值分析结论的正确性，对水下航行器的实际操作控制提供了有益的理论指导。
参考文献
[1] 施生达.水下航行器操纵性[M].北京：国防工业出版社，1995.
[2] 苏永春.电力系统电压稳定理论若干关键问题研究[D].武汉：华中科技大学，2007.
[3] 刘继军.非线性Block方程的分岔求解[D].兰州：兰州大学，2008.
[4] 熊瑛.基于智能控制的潜艇操纵运动仿真研究[D].武汉：中国舰船研究院，2011.
[5] 李平.非线性系统自适应模糊控制方法研究[D].沈阳：东北大学，2010.
[6] 王震，毛鹏伟.一类三维混沌系统的分叉及稳定性分析[J].动力学与控制学报，2008，6（1）：16?21.
[7] ISSAC M T， ADAMS S， HE M， et al. Manoeuvring experiments using the MUN explorer AUV [C]// Proceedings of International Symposium on Underwater Technology. Tokyo， Japan： [s.n.]， 2007： 256?262.
