浅谈GeoGebra在椭圆解题教学中的应用

    张国梅

    

    

    【摘要】2020年新高考方案推出“3+3”模式，数学成为必考科目之一.在新出版的《普通高中数学课程标准（2017年版）》的思想下，如何利用信息技术环境提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学核心素养，已成为课程改革的重点问题.

    【关键词】高中数学;信息技术;核心素养

    【基金项目】本文系广东省教育技术中心2018年度青年课题《利用信息技术培养学生数学核心素养的研究》（课题立项号：18JX07230）的研究成果之一

    在现代的社会中，信息技术已经融入生活中的各个领域，当然也为新时代的教学提供了更多的选择与机会.在高中数学教学过程中，特别是圆锥曲线这一章中，利用信息技术软件作为平台，能够创设多样性的教学方式，提高学生学习的兴趣，丰富教学内容，增加教学的有效时间，拓宽学生的解题思路，提高学生的解题速度.本文主要讲解在信息技术环境中GeoGebra在椭圆解题中的应用.

    例1 如图1，已知一个动圆与两个定圆（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494均相切，动圆圆心的轨迹为曲线C.

    （1）求曲线C的方程;

    （2）过点F（2，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于C，D两点，线段AC，BD分别与直线x=2交于M，N两点.求证MF∶NF为定值.

    解析 （1）在求曲线C的轨迹方程之前，先确定两定圆之间的位置关系.两个定圆为（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494，

    设动圆圆心为P，半径为r，

    两定圆的圆心分别为F1（2，0），F2（-2，0），

    半径分别为12，72，

    ∵F1F2=22<72-12=3，

    ∴两个定圆内含.

    ∵动圆P与两个定圆均相切，

    ∴PF1=12+r，PF2=72-r，∴PF1+PF2=12+72=4，

    ∴动点P的轨迹为以F1（2，0），F2-2，0为焦点，以4为长轴长的椭圆，∴曲线C的方程为x24+y22=1.

    （2）当l1，l2平行于坐标轴时，易知MF∶NF=1.

    当l1，l2不平行于坐标轴时（如图2），

    设l1：x=my+2，

    l2：x=-1my+2，

    将l1的方程代入曲线C的方程消去x化简得：

    （m2+2）y2+22my-2=0，

    ∴yA+yB=-22mm2+2，yAyB=-2m2+2.

    同理可知yC+yD=22m2m2+1，yCyD=-2m22m2+1.

    直线AC：y-yAyA-yC=x-xAxA-xC，

    令x=2可得y=2-xAyA-yCxA-xC+yA.①

    ∵l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于C，D两点，

    ∴xA=myA+2，xC=-1myC+2，

    代入①式化简得y=（m2+1）yAyCm2yA+yC，

    ∴M2，（m2+1）yAyCm2yA+yC，同理可得N2，（m2+1）yByDm2yB+yD.

    ∵（m2+1）yAyCm2yA+yC+（m2+1）yByDm2yB+yD

    =（m2+1）yAyCm2yA+yC+yByDm2yB+yD

    =（m2+1）m2yAyB（yC+yD）+（yA+yB）yCyD（m2yA+yC）（m2yB+yD）

    =（m2+1）m2·-2m2+2·22m1+2m2+-22mm2+2·-2m21+2m2（m2yA+yC）（m2yB+yD）=0，

    ∴MF=NF.综上所述，MF∶NF为定值1.

    分析 此题在GGB软件技术下，第（1）问学生通过直观的图形首先了解了两个定圆的位置关系：内含，从而确定所要求的动圆与小圆外切，与大圆内切，这样容易建立方程关系求解曲线C的轨迹方程;第（2）问由于线段AC与BD都是过定点F的动直线，则点M，N都是随着动直线变化而变化，首先从两条特殊的直线下笔，当l1，l2平行于坐标轴时，能够得到特殊情况下的MF∶NF=1，然后讨论不平行于坐标轴时，也就是一般情况下的两条动直线，设定直线方程，求出M，N两点坐标.这道题目对学生的数学运算能力要求比较高，不仅要求学生能够利用图形与图形之间的关系抽象出数学概念、一般的规律，还要能够用数学的语言来表示.

    例2 如图3，已知A-2，0，B（2，0），点C，D依次满足AC=2，AD=12AB+AC.

    （1）求点D的轨迹.

    （2）过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.

    （3）在（2）的条件下，设点Q的坐标為1，0，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PA，PB都相切？如果存在，求出P点坐标及圆的方程;如果不存在，请说明理由.

    解析

    （1）由题目知，AC=2，A-2，0，可得C点是以A点为圆心，以2为半径的圆上的动点，则可以得到C点的轨迹方程为（x+2）2+y2=4.

    由AD=12AB+AC得

    点D为线段BC的中点.

    假设D（x，y），Ca，b，又B（2，0），

    ∴2x=a+2，2y=b+0 a=2x-2，b=2y.

    ∵a+22+b2=4，

    ∴将上式代入得x2+y2=1.

    （2）如图4，设直线l的方程为y=k（x+2），①

    椭圆的方程为x2a2+y2a2-4=1（a2>4），②

    由l与圆相切得：

    2k1+k2=1，k2=13.

    将①代入②得：

    （a2k2+a2-4）x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0，

    又k2=13，代入得（a2-3）x2+a2x-34a4+4a2=0，

    ∴x1+x2=-a2a2-3=-2×45，∴a2=8，

    ∴椭圆方程为x28+y24=1.

    （3）如图5，假设存在椭圆上的一点P（x0，y0），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，

    则Q到直线PA，PB的距离相等，又A（-2，0），B（2，0），

    ∴PA：（x0+2）y-y0x-2y0=0，

    PB：（x0-2）y-y0x+2y0=0，

    ∴d1=3y0（x0+2）2+y20=y0（x0-2）2+y20=d2，

    化简整理得：

    8x20-40x0+32+8y20=0.

    ∵点P在椭圆上，

    ∴x20+2y20=8，

    解得x0=2或x0=8（舍去），

    x0=2时，y0=±2，r=1，

    ∴椭圆上存在点P，其坐标为（2，2）或（2，-2），使得直线PF1，PF2与以Q为圆心的圆（x-1）2+y2=1相切.

    分析 此题在GGB软件技术下，学生通过直观的图形再次认识问题，进而建立起数学模型，在熟悉的情境中发现并利用已知条件解决数学问题.我们发现点C本身就是一个动点，点D随着动点C而动，从而利用图形和解析式的关系得到解题思路.在解题过程中，这道题对学生的数学运算能力的要求是非常高的，培养了学生严谨的学习态度.

    圆锥曲线这一章节中，椭圆与直线和圆的综合问题，以及过定点与定值问题一直都是高考考查的重点，也是热点.在高中数学解题教学过程中，积极、合理地使用信息技术GGB软件作图，能够让学生直观地发现问题，感受图形的变化，结合逻辑推理从数学关系和图像关系中找到解题突破口，使学生的邏辑推理能力和直观想象能力等数学核心素养在教学过程中不断加强.在解决圆锥曲线的习题中，大部分学生知道它考查的是几何与代数相结合的问题，需联立方程组，在含参数和未知数的情况下进行运算，对他们的数学运算能力要求非常高，从而培养了他们一丝不苟的学习精神，并促进其数学思维的发展，让数学核心素养在圆锥曲线的解题中不断地体现出来.