浅谈线性代数课程一题多解对学生数学思维培养的重要性

    吴宇

    

    摘 要：线性代数课程已经成为理工科学校大学生最有用和最有趣的数学课程之一。线性代数课程教学应当结合实际问题数学模型的解决方案，注重对学生数学思维的培养。本文通过对线性方程组进行一题多解的解析，阐述了数学思维在教学中的作用，使学生从多角度加深了对数学抽象概念的理解，重新感受了数学的无穷魅力，进而提高了学生学习线性代数的兴趣。

    关键词：线性代数;数学模型;一题多解;数学思维

    DOI：10.12249/j.issn.1005-4669.2020.27.306

    1 前言

    线性代数[1，2]是高等学校理工科专业学生必修的一门数学基础课程，是学习后续课程的重要工具。随着“互联网+”、人工智能（AI）等科学技术突飞猛进的发展，线性代数已渗透到经济、金融、信息、社会等各个领域，成为在校大学生最有用和最有趣的数学课程之一。线性代数课程理论深邃、概念繁杂抽象、晦涩难懂且知识点又彼此相互联系。因此，本文将从学生熟知线性方程组，通过一题多解入手，使学生加深了对线性代数抽象概念的理解，并且对学生数学思维得到良好的拓宽和培养，从而使他们提高了学习线性代数的兴趣并终生受益。

    2 一题多解是培养数学思维的有效途径

    数学模型? ?求解线性方程组

    以上数学模型是典型的三元一次非齐次线性方程组求解问题，根据对实际问题和数学问题研究的需要，我们需要考虑以下几个问题：

    1）线性方程组是否有解？有解时，有多少个解？

    2）线性方程组的解不唯一时，解得结构如何？

    3）如何求线性方程组的解？

    4）采用哪种算法能够快捷、方便、有效的求解该数学模型？

    面对问题能学会思考、体会、联想、感悟等情感思维，将数学的思维转化为发现问题、分析问题、解决问题等能力时，数学科学的真谛才真正得以体现。

    下面通过对数学模型一题多解的解析思路，让学生感受到数学思维方式的熏陶，日积月累，对学生数学思维的养成有显著的提高。

    （这里Dj（j=1，2，3）是把系数行列式D的第j列的元素替换为方程组（1.1）的常数项所得到的3阶行列式）

    显然，用克拉默求解线性方程组计算量大且有诸多条件限制。例如，当系数行列式D=0时或方程组中方程的个数与未知量的个数不相等时，克拉默法则失效等。

    解题思路2? ? 逆矩阵法

    由矩阵乘法的定义，可将线性方程组（1.1）写成矩阵方程式：

    其中为系数矩阵，为未知数矩阵，

    为常数项矩阵。

    因|A|=3≠0，故A可逆，于是，即

    得到矩阵方程（1.2）的解为。

    上述利用逆矩阵方法求解线性方程组，也要检验求解的题目是否满足制约条件，且计算量大，因此该方法并不具有一般性和推广性。

    解题思路3? ? 高斯（Gauss）—约当（Jrodan）算法

    该算法其实质就利用初等行变换求解线性方程组，这种算法更具有普遍性和推广性。其具体的做法是先运用矩阵的初等行变换将

    增广矩阵[a，b]阶梯阵[J，β]，然后利用系数矩阵的

    秩R（A）与增广阵的秩R（A，b）二者之间的关系判断出线性方程组解的情况，如果方程组有解，继续将阶梯阵[J，β]行最简形阵

    最后将最简形阵对应的线性方程组中的主变量用自由未知量线性表示，即得矩阵方程（1.2）的通解。因此我们有：

    即得

    解题思路4? 数学模型的MATLAB实现及其直观印象

    MATLAB[3]主要用于数值计算，计算速度十分快捷。以数学模型（1.1）为载体，以计算机为工具，以数学软件MATLAB为平台，以学生为主体，由学生自己动手、动脑去“玩”计算机，去理解数学中的抽象概念和结论，在实践中培养学生用数学的思维解决实际问题有很大的帮助。

    其MATLAB程序如下：

    clear;

    A=[1 -1 -1;2 -1 -3;3 2 -5];

    b=[2;1;0];

    X=A＼b

    输出结果：

    X=

    5.0000

    -0.0000

    3.0000

    然后，采用图形的方法求解，具体用MATLAB做出问题模型的曲线图，得到一个直观的印象，如图1所示。

    其MATLAB程序如下：

    clear;

    [x，y]=meshgrid（0：0.1：5）;

    z1=x-y-2;

    z2=（2*x-y-1）./3;

    z3=（3*x+2*y）./5;

    mesh（x，y，z1）

    hold on

    mesh（x，y，z2）

    hold on

    mesh（x，y，z3）

    顯而易见，MATLAB数学软件、线性代数理论的有机结合并应用于解决实际问题之中，简单、快速、便捷、高效，优势凸显，对培养大学生的计算和数学思维能力的培养十分必要。

    3 结束语

    针对以上数学模型，本文运用四种方法进行了分析、求解、对比，既让学生掌握了线性代数这门课的基础知识和基本方法，又培养了他们学会用数学的思维与方法去解决实际问题，从而得出经验，并根据经验归纳出合适的的解决问题的思路、办法，这就是数学思维，是学习数学真正的用意。

    参考文献

    [1]同济大学数学系编.工程数学线性代数[第六版][M].北京：高等教育出版社，2014.

    [2]丘维声.高等代数[第二版][M].北京：高等教育出版社，2002.

    [3]卓金武，李必文等.MATLAB在数学建模中的应用[第二版][M].北京：北京航空航天大学出版社，2014.

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