运用思维导图分析 培养高阶思维能力

    于发书 曾飞鹏

    

    

    

    [摘? 要] 为了解决学生对解决几何综合题感到困难的问题，文章通过引导学生绘制思维导图，从而加强大脑的发散思维能力，提供给学生分析问题和解决问题的一种思维范式，以达到培养学生高阶思维能力的目的.

    [关键词] 思维导图;高阶思维;思维可视化

    常态数学课堂教学在不同程度上还存在“三多三少”现象，即教师讲得多，提炼得少;学生做得多，思考得少;现成资料多，自主设计少. 这种现象导致学生在课堂上听得懂，但在课后遇到新的问题，特别是在解决一些比较棘手的压轴题时还是打不开思路. 这种现象从根本上来讲，是因为教师高密度、低认知水平的课堂提问，和大容量、重复式的习题训练不能提升甚至限制了学生高阶思维的发展. 布鲁姆将教育目标从认知维度分为記忆、理解和运用，分析、评价和创造. 高阶思维是指发生在高层次认知水平上的心智活动，它对应教学目标分类中诸如分析、综合、评价等高层次认知水平的能力，是创新能力、问题解决能力、决策力和批判思维能力的核心. 如何将抽象的、看似难以企及的高阶思维能力培养变得有章可循，变得具体形象？这是摆在教师面前的一大课题. 而思维导图是用图表表现的发散性思维，发散性思维过程也就是大脑思考和产生想法的过程. 通过捕捉和表达发散性思维，思维导图将大脑内部的思维过程进行了外部呈现. 本质上，思维导图是在重复和模仿发散性思维，反过来又放大了大脑的本能，让大脑的思维更加有力.

    本文就如何在课堂上利用思维导图辅助教学，从而培养学生的高阶思维能力加以简单论述. 下面以2018年珠海市香洲区统考数学试卷的第24题第（3）问的讲评为例来说明.

    试题特点

    原题呈现：如图1，BC为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，连接BA并延长至点D，使得AD =AB，连接CD，点E为CD上一点，连接BE交弧BC于点F，连接AF.

    （1）求证：CD为⊙O的切线;

    （2）求证：∠DAF=∠BEC;

    （3）若 DE=2CE=4，求AF的长.

    本题第（3）问以圆为背景，涵盖了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形等知识，综合性强，灵活性大. 而且如果就题讲题，学生的收获甚微，但如果能运用思维导图辅助教学，不仅可以条理清晰地讲清本题的思路，还能将让解题思路可视化，通过对一道题的研究，从而获得诸如求线段长这一类问题的解题方法.

    问题解决

    在上课前，让学生首先就求线段长的方法绘制一张思维导图，一般的同学都可以绘制出如图2所示的思维导图，但每一种方法的处理策略是什么？很多学生对此是茫然的. 正因为如此，很多学生在解决这类问题的时候找不到思路和突破口. 下面从三个方面来研究.

    1. 勾股定理法

    要用勾股定理法求线段的长，则必须将所求线段放置于直角三角形中，若所求线段不在直角三角形中，则应作垂线，构造直角三角形. 一般情况下，为了将所求线段完整地求出来，往往会过所求线段的端点作垂线. 按照这种思路，本题有如图3的几种思考.

    由（1）（2）知，AC⊥AB，AC=AB，CF⊥BE，从而 BE=2■，CF=■，BF=■，AC=3■. 要求AF的长，可构造含AF的直角三角形. 按照图3的构思，我们加以尝试.

    法1：如图4，过点A作AG⊥AE交BE于点G，显然，出现手拉手全等模型，即△ACF≌△ABG（ASA）所以BG=CF，AG=AF，△AGF为等腰直角三角形. GF=BF-BG=■，所以AF=■.

    法2：如图5，过点A作AH⊥BE于H. 因为∠AFH=∠ACB=45°， 所以△AHF是等腰直角三角形，设HF=x，则HA=x，BH=BF-HF=■-x.又AB=3■，在Rt△AHB中，由勾股定理得，x=■，所以AF=■.

    法3：如图6，作AN⊥CF于点N. 易得∠AFN=45°，设AN=x，则FN=x，在Rt△CAN中，由勾股定理得，x=■，所以AF=■.

    法4：如图7，作FQ⊥AC，设FQ=x，因为弧FC=弧FC，所以∠FAC=∠FBC，所以tan∠FAQ= tan∠EBC=■=■，所以AQ=3x，CQ= AC-AQ=3■-3x，在Rt△CFQ中，由勾股定理得，x=■（舍）或■，在Rt△AFQ中，由勾股定理得AF=■.

    法5：如图8，连接AO，过点F作FI⊥AO于I，作FK⊥BC于K，在Rt△BFC中，易得，FK=■，BK=■. 所以AI=AO-IO=AO-FK=■，FI=OK= BK-BO =■，在Rt△AIF中，AF2=AI 2+IF2=■，所以AF=■.

    法6：如图9，过点A作AN⊥CD于N，作FK⊥BC于K，交 AN于P. 类似于法5，得AP=■，PF=■，所以AF=■.

    2. 相似法

    用相似法计算线段的长，则需要将该线段置于两相似三角形中. 而相似三角形不像全等三角形那么直观易找，但我们常说“万变不离其宗”，在试卷讲评过程中，可以让学生先回忆常见的相似模型，绘制成图10所示的思维导图，根据相似的几种基本模型来寻找思路. 当原图中没有基本模型时，可以考虑通过作辅助线构造出相应的模型.

    法7：如图1，因为∠DAF=∠BEC，所以∠BAF=∠BED，又∠DBE=∠FBA，所以△ABF∽△EBD，所以■=■，得AF=■.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

    法8：如图11，连接CF，则出现子母型相似. BC2=BF·BE，CD2= DA·DB= BA·DB， 因为BC=CD，所以BF·BE= BA·DB，所以■=■. 又∠ABF=∠EBD，所以△ABF∽△EBD，■=■，得AF=■.

    法9：如图11，设BF与AC交于点R，易得两组“8”字形相似，因为△BAR∽△CFR，所以■=■，得BR=■CR，又AR=3■-CR，在Rt△ABR中，由勾股定理得，AR=■，BR=■，又△ARF∽△BRC，所以■=■，AF=■.

    法10： 如图12，过点D作DS∥AF，交BE的延长线于点S，过点D作DT⊥BS于点T. 因为DS∥AF，所以△ABF∽△DBS，■=■=■=■，所以ES=BS-BE=■-2■=■. 設ET=x，因为tan∠DET=tan∠BEC=3，则DT=ET·tan∠DET=3x，因为弧AB=弧AB，所以∠AFB=∠ACB=45°.

    因为DS∥AF，所以∠S=∠AFB=45°，所以ST=DT=3x.又ET+TS=ES，所以4x=■，x=■，所以DS=■·TS=■，所以AF=■.

    法11：如图13，连接AO交BE于点M，作AH⊥BE于点H. 易得△ABM∽△DBE，所以■=■=■，所以AM=2，因为sin∠AMH= sin∠BEC=■，所以AH= AM·sin∠AMH=■，所以AF=■AH=■.

    3. 解析法

    所谓解析法求线段长，是指将所研究的问题放在平面直角坐标系内，求出所求线段的端点坐标，再通过两点距离公式求出线段的长. 基于此，我们有如图14所示的几种思考.

    法12：如图15，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 则BE：y=■x+1，因为点F在⊙O上，所以设F（3cosα，3sinα），将点F坐标代入BE解析式，得3sinα= cosα+1，又sin2α+cos2α=1，所以sinα=■， cosα=■，F■，■，因为A（0，3），所以AF=■=■.

    法13：如图15建立平面直角坐标系. 可求得直线BE的解析式为y=■x+1，直线CF的解析式为y=-3x+9，从而得两直线的交点F■，■，同法11，得AF=■.

    教学启示

    1. 在问题解决的过程中，恰当地运用思维导图，首先可以起到将零散的知识系统化的作用，如图2、图10. 在解题之前，我们往往先要重现学过的基本方法、基本模型，而思维导图的可视化功能可以使头脑中的记忆显性化，既是对所学知识的及时总结和提炼，又可以减轻解题过程的思维量，使得解题规律模型化. 图3的运用，通过捕捉和表达发散性思维，思维导图将大脑内部的过程进行了外部呈现，放大了大脑的本领，加强了大脑的思维能力. 图14将头脑中的化归过程显性化，使得解题的方向明确，加强了思维的条理性. 另外，若将以上几幅思维导图整合成一张大的思维导图，则有效地完成了本内容的笔记，使得学生对解决求线段长这类问题所涉及的方法、策略有了更深层次的认识，从而实现用方法指导实践（解题），从实践中总结规律，在一般规律中实现解题能力、思维发散能力的提升，进而实现问题解决的创新，达到培养高阶思维的目的.

    2. 在当今信息化发展迅猛的年代，识记、理解等低阶思维学习的重要性在逐渐弱化，而培养学生具有分析、评价、创新等高阶思维能力的重要性正在得到提升，不论是课程标准的要求，还是社会发展的需要都要求学生具有终身学习、分析问题、解决问题、创造创新的能力. 在讲评本题的过程中，师生一起绘制思维导图，大胆猜想实践，教师在每一类方法中挑出一种方法细研，其他的方法交给学生讨论，或者互相教授. 在整个过程中，学生的兴趣得到激发、思维得到启发. 教师从一般的解决问题的方法入手，再具体到本题的应用上来，再在解题之后适时反思评价，形成解题经验和方法，符合用理论指导和实践探索的辩证统一. 通过这种科学的实践探索，能养成学生解决问题的良好习惯和一般方法，为培养高阶思维打下基础.