几何直观，数学运算的脚手架
李小强
一、缘起
闲来，4岁的希希纠缠着我和她一起玩耍，灵机一动，我说：“那我们就来玩数学的游戏，可以吗？”她用力地点点头，欣然同意了。之前她有认识20以内数的积累，再简单教她认识了加号、减号和等于号后，游戏就开始了。为了能够帮助她更快、更好地进行加减法运算，我选择使用水彩笔代替小棒，在数数的过程中，数出运算结果。经过几轮互动后，希希基本能够借助小棒自主完成20以内的加减法运算，几日后也不能忘。
有学者指出，小学阶段儿童的思维是以具体形象思维为主要形式，逐步过渡到抽象逻辑思维，因此在小学阶段发展儿童的几何直观可谓是最佳时期。尚且一个4岁幼儿在没有接触过加减法的基础上，都能够正确利用数小棒的形象思维进行运算，足见几何直观在儿童数学发展中的重要性。
二、几何直观帮助学生理解算理
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”特别是在数学运算中，几何直观能够化抽象为具体，帮助儿童加深对数学的理解，把抽象的数学意义转换成易于理解和运用的直观形式，引导儿童形成各种直观的概念意象，帮助儿童理解算理，理解数学。
1.“數”出运算的结果。
数是“数”出来的，运算的结果也是可以“数”出来的。低年级，特别是一年级学生在学习数学的运算时，会使用扳手指的方法进行心算，而这种方式实际上可以归结为一种借助手指进行的数数活动，其本质就是“数”出运算的结果，当然，相关的运算相对比较简单。以希希进行的20以内加减法运算为例：比如，在计算4+7（如图1）的时候，首先拿出4根小棒表示4，再拿出7根小棒表示7，数出所有的小棒个数（11根）就是4+7的结果了，所以4+7=11。对于这样的运算，一年级数学中给出的推理（即证明）形式是4+7=4+6+1= 10+1=11，但对于4岁幼儿来讲很难理解“满十进一”的推理方式，然而，并不影响她“数”出运算结果。
再比如，计算8-3（如图2）时，首先拿来8根小棒表示8，再去掉3根小棒，数一数剩余的5根小棒就得出了结果。这样的运算结果不正是“数”出来的吗？所以，对于儿童来讲，数数是一种有效的运算方式。
2.“看”出运算的道理。
史宁中教授指出：“在大多数情况下，数学的结果是‘看出来的，而不是‘证出来的，所谓的‘看是一种直接判断，这种直接判断是建立在长期有效的观察和思考的基础之上的。”如何能“看”出运算的道理？几何直观是很重要的方式之一，有助于分解运算的步骤，揭示算理的本质。
算理的本质是让学生不仅知道怎么计算，还明白为什么这样算，在数学运算中，可以借助几何直观，以图为载体，巧妙地将算式与直观图相结合，把抽象的算理具体化、形象化，帮助学生理解算理。
如，教学“两位数除以一位数的笔算除法”时，学生通过分小棒或竖式计算得出42÷2（如图3）的结果，再引导学生将分小棒的过程与竖式联系起来。第一步：把4捆（1捆有10根小棒）小棒平均分成2份，每份有2捆，所以在竖式计算中4÷2的商表示2个十，写在十位上，这时4捆已经全部分完没有剩余。第二步：把余下的2根小棒平均分成2份，每份1根小棒，所以在竖式计算中2÷2的商表示1个一，写在个位上，这时没有剩余。以上过程中，分小棒与竖式同步，其中“先分整捆”有助于理解“除法从高位算起”，“再分单根”有利于学生理解“分步求商”的过程，注意数位对齐。有了对两位数除以一位数的笔算除法算理的理解，学生可以迁移至其他类型的除法笔算，比如三位数除以一位数，除数是多位数的除法等，学以致用。
从上例可见，通过分小棒的实物直观图，可以清晰地帮助学生“看”出两位数除以一位数的运算道理（即算理）。
三、慎重选择几何直观图
在小学数学中几何直观有四种基本形式，分别是实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。其中，低年级多以实物直观为主，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。在实际教学中，对于实物直观的选择还需要慎重，合适的实物直观图更有助于理解算理，反之则可能适得其反。
如，教学“两位数除以一位数的口算除法”时，教师为了引导学生理解36÷3的算理，要求学生借助分小棒的数学活动，在作业纸（如图4）上圈一圈、算一算，表示出自己的分法。学生的做法大致如下：
对于小棒图（如图5和图6），由于在圈之前有“分一分”的活动经验，学生的分法是一致且正确的（即1捆加2根）。然而，对于点子图，学生却出现了两种不同的做法：一是3个3个地分（如图7），即3个为一组，一共分得12组，有助于理解36除以3等于12。二是12个12个地分（如图8），即12个一组，分为3组，显然，这种想法是在已经有了计算结果的情况下而产生的，或者说它更符合理解36除以12等于3，与原题意是相悖的，更糟糕的是这种做法的同学不在少数。所以，在除法运算中建议选择分小棒更合适。其实，在以往学习中我们更愿意选择小棒图理解除法的意义和算理，选择点子图理解乘法的意义和算理，这样才能事半功倍。
总之，在数学计算教学中，教师有必要为学生提供合适的、便于观察的直观模型，将思维“图形化”，帮助学生正确理解算理，理解数学运算。
