重温函数综合经典，探究考题思路解法

    江瑜

    

    

    

    [摘? 要] 二次函数与几何相结合的综合题是初中数学的经典问题，其解法思路和突破方法较为特殊，对学生的知识储备和分析思维有较高的要求. 文章以一道二次函数综合题为例，开展思路点拨、解法探究，并适度拓展，提出相应的学习建议，与读者交流.

    [关键词] 二次函数;综合;周长;面积;数形结合

    考题再现

    试题？摇 （2019年四川凉山中考数学）如图1，抛物线y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，试回答下列问题.

    （1）试求抛物线的解析式.

    （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标及△PAC的最小周长;若不存在，请说明理由.

    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点M（不与点C重合），使得S△PAM=S△PAC？若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

    思路点拨

    本题属于二次函数综合问题，所涉及的三个小问具有一定的难度和梯度，能够全面考查抛物线的基本特征与知识关联，下面结合问题特点进行思路点拨.

    （1）该问求抛物线的解析式，有两种思路：一是按部就班地根据抛物线上三点的坐标构建关于抛物线系数的三元一次方程组;二是根据A，B，C三点的位置特性——点A和点B为抛物线与x轴的两个交点，将抛物线的解析式设为特殊形式y=a（x-xA）（x-xB），于是只需要求出a的值即可.

    （2）该问为最小周长存在性问题，根据周长公式可知，C△PAC=AC+PA+PC，由于点P位于抛物线的对称轴上，即AB的垂直平分线上，根据该性质可知PA=PB，于是C△PAC=AC+PB+PC. 又AC的长固定，于是根据“两点之间，线段最短”原理可知，当C，P，B三点共线时，C△PAC=AC+BC，此时△PAC的周长取得最小值，结合“直线相交求交点”即可确定点P的坐标.

    （3）该问需要利用（2）问的条件，即点P的坐标确定. 对于△PAM和△PAC，可将两个三角形均视为是以PA为底的三角形，显然当点M和点C到PA的距离相等时即可确保两者面积相等. 分析三角形特点可知点M的位置有两种情形：①点M位于点P的上方;②点M位于点P的下方. 具体分析时需要结合相应的图像，采用数形结合的方式挖掘隐含条件，简化求解过程.

    问题详解

    （1）因为A（-1，0），B（3，0）是抛物线与x轴的两个交点，所以设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）. 将C（0，3）代入其中，则有-3a=3，解得a=-1. 整理后可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

    （2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，具体如下：

    连接PB和PC，如图2. 因为点A和点B关于抛物线的对称轴x=1对称，所以PA=PB. 所以△PAC的周长C△PAC=AC+PA+PC= AC+PB+PC，其中AC为定值，PB和PC的长与点P的位置相关. 分析可知，当C，P，B三点在同一条直线上时，PB+PC=BC，此时△PAC的周长最小，且点P为直线BC与直线x=1的交点. 容易求得直线BC的解析式为y=-x+3，于是可求得点P的坐标为（1，2）. 因为AC=■=■，BC=■=3■，所以△PAC的周长的最小值为■+3■. 综上所述，当点P的坐标为（1，2）时，△PAC的周长最小，且最小值为■+3■.

    （3）存在满足条件的点M，使得S△PAM =S△PAC，具体如下. 若S△PAM=S△PAC，将△PAM和△PAC均视为是以PA为底的三角形，则点C和点M到直线PA的距离相等. 此时点M的位置有以下两种情形：

    ①当点M位于点P的上方时，如图3. 由于点M和点C到PA的距离相等，所以MC∥PA. 又直线PA的解析式为y=x+1，所以可设直线MC的解析式为y=x+b，代入点C的坐标后可求得直线MC的解析式为y=x+3. 联立直线CM与抛物线的解析式，可求得点M的坐标为（1，4）.

    ②当点M位于点P的下方时，如图4. 设点M所在的直线为l，结合情形①可知，需要确保直线l、直线PA与直线y=x+3互相平行，且直线l到直线PA的距离与直线y=x+3到直线PA的距离相等. 此时可以从平移的视角来分析：直线l是由直线y=x+3经过两次平移得到的，即直线y=x+3向下平移2个单位长度得到直线PA，在此基础上继续向下平移2个单位长度得到直线l，故直线l的解析式为y=x-1. 联立直线l与抛物线的解析式，结合点M位于点P下方和点P在x轴上方，可确定此时点M的坐标为■，■.

    综上可知，当点M的坐标为（1，4）或■，■时，有S△PAM= S△PAC .

    问题点睛

    上述考题以求解抛物线解析式、分析周长和面积存在性为依托，考查学生对待定系数法、轴对称最短路径、平行线间的距离处处相等和利用方程求交点等知识内容的掌握情况. 其中核心之问是第（3）问的三角形面积相等存在性问题. 解析时，首先从等底视角将问题转化为分析点到直线的距离，然后借助平行线之间的性质来对不同的情形加以讨论. 总体来看，采用数形结合方法分析问题，利用图形分析简化问题，运用方程求解确定坐标.

    面积存在性问题是中学数学的重难点问题之一，总体而言，问题突破采用的是“假设—验证”的思路，首先假设面积情形存在，然后根据问题条件加以验证. 而在实际分析时有以下两种解题策略：一，几何法，即确定研究目标，分析图像特点，结合几何性质直接论证面积相等情形是否成立;二，代数法，根据面积公式构建代数方程，通过研究方程的解来确定假设是否成立.

    而在实际解析时，可以参照上述几何与代数相结合的方法，利用直观的图像挖掘隐含信息，采用代數方程来确定最终答案.

    拓展精练

    面积存在性问题的考查形式众多，除了上述等面积的形式外，还有面积比值形式，该类型的突破思路与其相似——首先结合面积公式加以转化，然后通过代数分析求解满足条件的情形.

    拓展？摇 （2019年辽宁营口中考数学）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD.

    （1）用含a的代数式表示点C的坐标;

    （2）如图5，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式;

    （3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若■=■，求a的值.

    解析？摇 前两问较为基础，此处主要分析第（3）问的面积比值问题. 如图6，当点C位于x轴上方时，连接OD与BC交于点H，此时OD⊥BC. 分别过点H和点D作x轴的垂线，设垂足分别为N和M. 设OC=m=-3a，则S1=S△OBD=■·OB·DM=■·DM，S2=S△OAC=■·OA·OC=■. 所以■=■DM·■=■. 所以DM=■m，HN=■=■OC. 進而可得BN=■，ON=■. 分析可知∠BHN=∠HON，所以tan∠BHN=tan∠HON. 所以HN2=ON×BN=■=■2，解得m=6■. 所以a=-2■. 当点C位于x轴下方时，同理可得a=2■. 综上可知，若■=■，则a=±2■.

    解后思考

    上述对一道二次函数综合题的解法进行了深入探讨，呈现了问题的解析思路和突破方法，其解法具有一定的参考价值，下面提出几点学习建议.

    1. 深刻认识问题本质

    以二次函数为背景的面积存在性问题是中考的经典问题，该类问题的特点有两个：一是二次函数与几何进行融合，二是需要对存在性情形加以讨论. 从问题的解析过程来看，实则就是分析图形的面积关系，因此利用面积公式进行问题转化是突破的关键，本质上依然是函数、方程问题，即根据函数解析式构建方程，联立方程求解交点坐标. 实际学习时，需要把握问题特点，深刻认识问题本质，以关联知识为突破口构建解题思路.

    2. 全面掌握解题策略

    上述呈现了面积存在性问题的解题策略，即以数形结合为指导，利用直观的图像提取抛物线的特征，挖掘问题条件，确定分类标准，构建解析方程，利用代数分析来确定交点坐标，论证猜想. 数形结合的分析方式可以有效降低思维难度，构建简洁的解题思路，而在具体解析时需要掌握分类作图的方法. 抛物线的对称性很容易造成问题多解，此时就需要结合点的位置特性对面积图像加以剖析，以确定分类图像.

    3. 充分领会解题思想

    从思想层面来看，上述面积存在性分析过程可以分为化归转化、分类讨论、模型构造和数形结合等多个阶段，其中涉及对应的数学思想，正是在数学思想的指导下完成了问题转化及简答过程. 数学思想对于求解函数综合性问题来说有着极大的帮助，因此在实际教学中教师需要引导学生从思想高度来理解解析过程，明晰存在性问题的思想考向，强化学生的数学思想，提升学生的思维水平. 另外，数学思想提升是一个长期的过程，教学中教师要引导学生不断练习、深入反思、逐步内化，从而形成自身的解题技能.