火星探测器捕获段自主导航模型选择与精度分析
祝佳芳+王新龙+李群生+车欢
摘要： 对于火星探测器在捕获段的自主导航系统而言， 随着探测器不断接近火星， 系统模型会从多体运动模型（模型1）变换到受摄二体运动模型（模型2）， 并且捕获段探测器可观测的天体也是多样的， 包括火星、 火卫1、 火卫2和太阳。 为了分析捕获段不同模型的精度， 首先推导建立两个状态模型与多个量测模型； 在此基础上利用PWCS法、 FIM法和条件数三种方法， 分析在模型1和模型2条件下， 不同观测量的选取对系统可观测度的影响。 通过仿真验证给出了最佳的系统模型和量测模型的组合策略， 为火星探测器捕获段自主导航系统的设计提供了重要参考。
关键词： 火星探测器； 捕获段； 自主导航； 可观测性分析
中图分类号： TJ765.1； V448.22+4文献标识码： A文章编号： 1673-5048（2017）05-0018-070引言
火星探测是国内深空探测计划的重要组成， 也是继探月工程之后的又一重要研究领域[1]。 捕获段是火星探测器进入火星引力范围到最终被火星捕获的阶段， 捕获段的导航精度直接决定了后续探测任务的成败。 由于捕获段与地面距离较远， 无线电通信双向延迟长达24.4 min， 而探测器被火星捕获的机会却仅有50 min， 这就對探测器导航系统的自主性、 实时性以及精度提出了极高的要求[2-4]。
天文导航具有全自主、 高精度、 误差不随时间干扰等优点， 是实现深空探测自主导航的有效手段之一[5-6]。 天文观测方法是影响天文导航精度的一项重要因素。 火星探测器在捕获段的自主天文导航方法最常采用基于太阳和行星的自主导航。 当探测器处于捕获段， 可观测的天体主要包括太阳、 火星、 火卫1、 火卫2以及大量的恒星。 利用这些测量信息能否解算出探测器的轨道主要依赖于系统的可观测性[7-9]， 因此， 有必要对自主导航系统的可观测性进行分析。
由于火星探测捕获段自主导航系统的状态方程和量测方程都是非线性的， 可观测性分析存在一定的困难。 目前， 主要有三种方法： 第一种是通过在状态变量与观测数据间建立固定的几何关系， 利用推导的位置误差大小作为可观测性判据。 该方法物理意义明显， 但是适用范围狭窄。 第二种是从非线性系统出发， 引入局部弱可观测理论进行可观测性分析。 由于火星探测器观测量多为星光角距， Lee导数求解非常复杂， 此方法并不适用。
收稿日期： 2016-12-23
基金项目： 航空科学基金项目（20130151004； 2015ZC51038）； 天地一体化信息技术国家重点实验室开放基金项目（2015-SGIIT-KFJJ-DH-01）
作者简介： 祝佳芳（1990-）， 女， 四川乐山人， 硕士研究生， 研究方向为惯性导航、 组合导航。
引用格式： 祝佳芳， 王新龙， 李群生， 等. 火星探测器捕获段自立导航模型选择与精度分析[ J]. 航空兵器， 2017（ 5）： 18-24.
Zhu Jiafang， Wang Xinlong， Li Qunsheng， et al. Autonomous Navigation Model Design and Analysis for Mars Probe in Capture Stage[ J]. Aero Weaponry， 2017（ 5）： 18-24. （ in Chinese）.
第三种是将非线性系统线性化之后， 利用线性系统可观测性理论对其进行分析。 该方法精度较高并且简单， 适用于火星探测器的自主导航系统[10-12]。
基于此， 结合火星探测器捕获段特点， 选用线性化可观测性分析方法， 针对不同模型以及不同量测情况下， 对自主导航系统的可观测性进行详细分析， 为导航系统的状态模型以及量测模型的选取提供工程性参考。
1火星探测器捕获段自主导航模型建立
1.1捕获段自主导航方案设计
以美国国家宇航局2013年规划的一条火星探测器全轨道为例， 对火星探测器捕获段导航过程进行说明， 如图1所示。 由于火星探测器在捕获阶段不断接近火星， 在这一过程中受到的天体引力不断变化。 通常将距离火星半径为5.773×106 m的球面定义为火星影响球。 当探测器处于火星影响球以外， 即rpm>5.773×106 m时， 这一阶段称为捕获段初期； 而当探测器进入火星影响球以内， 即rpm≤5.773×106 m时， 称为捕获段末段。 捕获段初期太阳引力不可忽略， 因而自主导航系统的状态模型考虑为以太阳为主引力体的圆形限制性四体模型； 而在捕获段末段， 火星引力远大于其他天体， 通常使用以火星为主引力体的受摄二体运动模型[13-15]。
图1火星探测器捕获段导航过程示意图
Fig.1Navigation process diagram of Mars probe in
capture stage
火星探测器在捕获段依靠观测多个天体信息来实现自主导航， 通常可以选择的观测信息是火星、 火卫1和火卫2分别与3颗恒星的星光角距θm， θp和θd（如图1所示）， 但天体的光学观测受到火星遮挡、 火星阴影区以及太阳逆光三方面因素的限制。 分析美国国家宇航局2013年规划的火星探测器全轨道数据可知， 在火星探测器处于捕获段末段即将被火星捕获的时候， 由于火星的遮挡， 火卫2光学不可见。 为了保证导航精度， 确保火星探测器精确入轨， 可以将太阳纳入观测范围， 即观测量可在火星、 火卫1和太阳分别与3颗恒星的星光角距θm， θp和θs中进行选择。
1.2捕获段初期自主导航系统模型建立
航空兵器2017年第5期祝佳芳， 等： 火星探测器捕获段自主导航模型选择与精度分析（1） 状态模型——以太阳为主引力体的圆形限制性四体模型（模型1）
圆形限制性四体模型将太阳中心引力、 火星中心引力和地球中心引力对火星探测器的作用都考虑在内， 选取历元（J2000.0）日心惯性坐标系为参考坐标系， 状态变量设为探测器的位置和速度[x， y， z， vx， vy， vz]T， 则系统状态模型写作：
x·=vx
y·=vy
z· =vz
v· x=-μsxr3ps-μmx-xmr3pm+xmr3sm-μex-xer3pe+xer3se+wx
v· y=-μsyr3ps-μmy-ymr3pm+ymr3sm-μey-yer3pe+yer3se+wy
v· z=-μszr3ps-μmz-zmr3pm+zmr3sm-μez-zer3pe+zer3se+wz（1）
式中： μs， μm和μe分別为日心、 火心和地心引力常数； rpe， rps和rpm分别为探测器到地球、 太阳和火星的距离； rsm和rse分别为太阳到火星和地球的距离； xm， ym， zm和xe， ye， ze分别为火星和地球在日心惯性坐标系中的位置， 根据时间可由行星星历表获得； wx， wy， wz为系统噪声。
式（1）组成的系统方程可简化为
X·=f1（X， t）+W（2）
式中： W=[wx， wy， wz]T为噪声矩阵。
（2） 量测模型
根据图1所示的导航流程， 探测器飞行在捕获段初期可以利用的观测信息主要是火星、 火卫1和火卫2的星光角距θm， θp和θd， 可以表示为
θm=arccos（-lcpm·sc1）
θp=arccos（-lcpp·sc2）
θd=arccos（-lcpd·sc3）（3）
式中： sc1， sc2， sc3分别为探测器能够捕获到的任意3颗恒星星光方向的单位矢量； lcpm， lcpp， 和lcps分别为火星、 火卫1和太阳到火星探测器方向的方向矢量。
1.3捕获段末段自主导航系统模型建立
（1） 状态模型——以火星为主引力体的受摄二体运动模型（模型2）
探测器进入火星影响球之后， 选取历元（J2000.0）火星质心惯性坐标系作为参考坐标系， 选取参考坐标系下探测器的位置和速度[x′， y′， z′， v′x， v′y， v′z]T为状态量， 此时探测器的状态模型（二体受摄轨道动力学模型）表示为
x·′=v′x
y·′=v′y
z·′=v′z
v· ′x=-μmx′r′3pm-μsx′-x′sr′3ps+x′sr′3ms-μex′-x′er′3pe+x′er′3me+wx2
v· ′y=-μmy′r′3pm-μsy′-y′sr′3ps+y′sr′3ms-μey′-y′er′3pe+y′er′3me+wy2
v· ′z=-μmz′r′3pm-μsz′-z′sr′3ps+z′sr′3ms-μez′-z′er′3pe+z′er′3me+wz2（4）
式中： r′pm， r′ps和r′pe分别为探测器到火星、 太阳和地球的距离； r′ms和r′me分别为火星到太阳和地球的距离； （x′s， y′s， z′s）和（x′e， y′e， z′e）分别为太阳和地球在火星质心惯性坐标系中的位置分量； wx2， wy2， wz2为系统噪声； 其他变量定义与模型1一致。
式（4）所示的系统方程都可简化为
X· =f2（X， t）+W2（5）
式中： W2=[wx2， wy2， wz2]T为噪声矩阵。
（2） 量测模型
由于此时火卫2被遮挡， 可以利用的观测信息变为火星、 火卫1和太阳的星光角距θm， θp和θs， 可以表示为
θm=arccos（-lcpm·sc1）
θp=arccos（-lcpp·sc2）
θs=arccos（lcps·sc4）（6）
式中： sc1， sc2和sc4分别为任意3颗恒星星光方向的单位矢量； lcpm， lcpp和lcps分别为火星、 火卫1和太阳到火星探测器方向的方向矢量。
2非线性系统的可观测性分析方法[16-18]
2.1基于PWCS的可观测性分析方法
火星探测器自主导航系统是一个连续的非线性时变系统， 表示为
X·=f（X）+W
Z=h（X）+ε（7）
线性化之后写作：
X·（t）=FjX（t）
Z=HjX（t）（8）
式中： Fj=I+ΔT·fXXX=X（k）； Hj=hXXX=X（k）。
如果在所选的每个时间区域tj（j=1， 2， 3， …， n）内， 式（8）中的Fj和Hj可认为是不变的， 那么这样的系统称为分段线性定常系统， 即PWCS（PieceWise Constant System）。 代表PWCS的可观测性特征的总可观测矩阵TOM（Total Observability Matrix）记作Q（r）， 表示为
Qr=Q1
Q2Fn-11
QrFn-1r-1Fn-1r-2…Fn-11（9）
其中Qj（j=1， 2， 3， …， r）为
QTj=（Hj）T（HjFj）T…（HjFn-1j）T （10）
Qj被称为提取可观测矩阵SOM（Stripped Observability Matrix）， 根据相关引理可知， 当PWCS的不可观测空间是TOM的零空间时， rank（Qj）=rank（Q）， 即可以用SOM直接代替TOM矩阵， 进行可观测性分析。
2.2基于FIM的非线性系统可观测性分析方法
Fisher信息是衡量随机观测变量所携带的关于待估状态信息量大小的重要指标。 在多维状态估计理论中， Fisher信息表现为矩阵形式， 简称为FIM （Fisher Information Matrix）[4]。 对于连续非线性时变系统式（8）， 可认为是随机系统。 记观测噪声ε的概率密度为pε， 观测向量Z的概率密度为pz。 对于一组确定的N维观测序列z=[z1， z2， …， zN]T， 似然函数的对数形式表示为
lnLx（z）=ln[pz（z|x）]=-N2ln（2πσ2i）-
12∑Ni=1（zi-hi（x））2σ2i（11）
根据定义， 系统的FIM矩阵表示为
Fx=-E2lnLx（z）xxT=∑Ni=11σ2ihi（x）xhi（x）Tx（12）
如果对x0∈Rn有Fx可逆， 那么式（8）对应的确定性观测系统在x0处局部可观测。 因此， Fx的大小与状态量的估计精度有着密切的联系， 这里引入Cramer-Rao不等式来描述：
P=E[（x^-x）（x^-x）T]≥F-1x（13）
式中： P为状态估计误差方差阵， 直接反映状态变量的估计精度； Fx为状态估计误差方差阵的下限， 描述了状态估计所能够达到的最高精度。 因此， 可以将tr（F-1x）作为系统可观测性的度量标准， 即
η=ntrF-1x （14）
式中： n为观测量的维数。 当tr（F-1x）越小， 表示状态估计的精度越高， 那么其对应的状态量的可观测性就越好。
2.3基于矩阵谱条件数的非线性系统可观测性分析方法
受到PWCS法的启示， 将线性系统的可观测性分析方法结合矩阵扰动分析理论， 提出谱条件数的可观测度分析方法。
定义火星探测器捕获段自主导航系统的可观测性矩阵为
Ok=H（k）
H（k+1）F（k）
H（k+2）F（k+1）F（k）
H（k+n-1）F（k+n-2）…F（k）（15）
定义M=OTkOk， λi是矩阵M的特征值， 条件数可以表示为
κM=maxλ∈λ（M）λ/minλ∈λ（M）λ （16）
由式（16）可知， 条件数κ（M）越大， 矩陣越接近奇异， 说明系统的可观测性越差； κ（M）越小， 矩阵奇异程度越低， 说明系统的可观测性越好。
3仿真验证
根据火星探测器在捕获段的飞行环境， 比较适宜观测的近天体主要包括： 火星、 太阳、 火卫1和火卫2。 对于模型1， 可以选用的观测量包括： 火星+火卫1+火卫2（MPD）、 火星+火卫1（MP）、 火星+火卫2（MD）和火卫1+火卫2（PD）； 而模型2对应的可选观测量为： 火星+火卫1+太阳（MPS）、 火星+火卫1（为了区别模型1的MP， 这里用MP2表示）、 火星+太阳（MS）以及火卫1+太阳（PS）。
3.1可观测度分析结果
首先利用PWCS法、 FIM法以及谱条件数法， 对上述8组不同观测量对应的自主导航系统的可观测性进行分析， 结果如表1～2所示。
表1和表2数据表明， 利用PWCS法、 FIM法和谱条件数法都可以对火星探测器自主导航系统进行可观测性分析， 并且三种方法的分析结果是一致的。 火星探测器自主导航系统可观测度同时受到系统模型和观测模型的影响。 在系统模型确定的条件下， 以模型1为例， 选择不同的观测量MPD， MP， MD和PD， 对应系统的可观测度是不同的； 而当观测量相同时， 以MP为例， 模型1和模型2系统的可观测度也存在差异。
表1捕获段初期系统可观测性分析结果
Table 1Results of observability analysis in the initial stage of capture section模型1
观测量PWCS法rank（Q）最大奇异值FIM法的可
观测度η谱条件数法
的条件数MPD60.024 4178.307 67×10-161.259 89×1014MP50.019 8173.250 9×10-151.052 8×1017MD50.019 9791.598 3×10-151.654 3×1017PD50.020 0126.414 8×10-152.061 1×1017
表2捕获段末段系统可观测性分析结果
Table 2Results of observability analysis in the end of capture section模型2
观测量PWCS法rank（Q）最大奇异值FIM法的可
观测度η谱条件数法
的条件数MPS50.014 0364.362 2×10-219.841 8×1015MP250.014 0364.872 6×10-127.547 3×1016MS40.001 0241.365 2×10-153.433 6×1017PS40.014 0367.357 1×10-181.729 4×1017
3.2观测信息有效性分析
为了进一步分析8组观测量对导航系统性能的影响， 给出模型1和模型2条件下， 不同组观测模型对应的位置误差曲线， 见图2～5。
图2捕获段初期采用模型1在0～3 000 s不同观测量的位置误差
Fig.2Position errors of different measurements at 0～3 000 s in the initial stage of capture section using model 1
图3捕获段初期采用模型1在18 400-18 800 s不同观测量的位置误差
Fig.3Position errors of different measurements at 18 400～
18 800 s in the initial stage of capture section using
model 1
图4捕获段末段采用模型2在0～1 000 s不同观测量的位置误差
Fig.4Position errors of different measurements at 0～1 000 s in the end of capture section using model 2
分析图2～5曲线， 得出以下结论：
（1） 随着可观测的近天体数目的增加， 系统可观测度可以得到提升， 导航性能也将得到改善。 当选择模型1为状态模型时， 以MPD为观测量的自主导航系统位置误差收敛速度快并且精度高， 系统导航性能明显优于以MP， MD和PD为观测量的导航系统。
（2） 模型2中MS和PS两组观测量不能满足自主导航要求。 图4～5曲线表明， 当选择模型2时， 以MPS为观测量的导航系统性能最优； 而MS和PS位置误差是发散的， 最终的导航误差很大， 认为这两组观测量不可用。
图5捕获段末段采用模型2在18 000～19 000 s不同观测量的位置误差
Fig.5Position errors of different measurements at 18 000～
19 000 s in the end of capture section using model 2
为了更加详细分析上述6组可行的观测模型MPD， MP， MD， PD， MPS以及MP2的差异， 将6组观测收敛之后的导航误差数据进行统计分析， 结果如表3所示。
表36组观测量收敛之后的速度误差与位置误差
Table 3Velocity errors and position errors after
convergence of six groups of measurements观测模型位置误差均值/km均方差
/（km）2速度误差均值
/（km/s）均方差
/（km/s）2模型1MPD5.031 46.798 70.009 30.005 4MP20.948 946.008 20.011 70.008 4MD17.021 117.869 00.012 80.006 1PD26.241 731.615 90.012 00.006 3模型2MPS14.551 816.253 40.004 50.002 3MP219.251 726.444 00.004 70.002 7
表3的數据表明， 模型1中MPD位置均方差和速度均方差仅有6.798 7 （km）2和0.005 4 （km/s）2， 优于其他的观测模型； 而MPS对应的位置均方差和速度均方差为16.253 4 （km）2和0.002 3 （km/s）2， 是模型2中最小。 结果表明： 捕获段初期， 选用MPD为观测最最佳， 而捕获段末段， 以MPS为观测量的自主导航系统性能最优。
4结束语
本文深入分析了火星探测器自主导航系统的状态模型以及观测模型， 利用PWCS， FIM以及基于矩阵谱条件数的非线性可观测性分析方法对多种系统模型进行了可观测度分析， 得出了以下结论：
（1） 随着所观测的近天体数目的增加， 系统可观测度可以得到提升， 导航性能也将得到改善。 以MPD和MPS三个近天体为观测的自主导航系统， 导航精度优于其他以两个近天体为观测的导航系统。
（2） 以两个近天体为观测的导航系统有些是可行的， 例如MD， MP和PD， 而MS和PS是不可行的， 这与天体和探测器在空间中相对位置的分布情况有关。 因此， 在选择天体时， 应尽量避免选取位置近乎在一条直线上的天体， 而应选择一些分布相对松散的天体。
（3） 火星探测器捕获段全程， 系统模型从以太阳为主引力体的多体运动模型（模型1）变换到以火星为主引力体的受摄二体运动模型（模型2）， 导致在捕获段初期， 选取MPD为观测是最佳方案， 而在捕获段末段MPS的导航结果却优于MPD。 因此， 根据模型的变换来选择不同的观测量可以全面提升探测器的导航精度。
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Autonomous Navigation Model Design and Analysis for
Mars Probe in Capture Stage
Zhu Jiafang1， Wang Xinlong1， Li Qunsheng2， Che Huan3
（1. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100191， China；
2. School of Instrumentation Science and OptoElectronics Engineering， Beihang University， Beijing 100191， China；
3. State Key Laboratory of SpaceGround Information Technology， Beijing 100086， China）
Abstract： For the autonomous navigation system of Mars probe in capture stage， when the probe is approaching to Mars， the system model will vary from multibody motion model （model 1） to twobody motion model （model 2）， and observable celestial bodies are various including Mars， Phobos， Deimos and the Sun. In order to analyze the precision of different models， two state models and multiple measurement models are established. Then， based on PWCS method， FIM method and condition number method， the influences of different measurements on the degree of observability of system are analyzed under model 1 and model 2. Optimal combination strategy of system model with measurement model is given by simulation results， which provides an important reference for the design of autonomous navigation system of Mars probe.
Key words： Mars probe； capture stage； autonomous navigation； observability analysis
