“从平面到立体”教学实录与评析

    杨文水

    

    

    

    教学内容：

    “从平面到立体”是人教版小学数学六年级总复习部分“图形与几何”板块的内容，是学生学习了平面图形和立体图形的基础上开发设计的复习课。

    教学目标：

    1.整理圆和圆柱之间的联系，理解圆叠加之后变成圆柱;找到长方形和圆柱之间的关系，理解长方形旋转变成圆柱。

    2.应用圆、长方形与圆柱的关系，能解决与圆柱体横截面和纵截面有关的数学问题。

    3.感受平面图形和立体图形之间的联系，发展学生的空间观念。

    教学过程：

    一、复习铺垫

    师：请同学们回顾一下，小学阶段你们学过哪些平面图形？

    生：我们学过的平面图形有长方形、圆形、梯形、三角形、平行四边形、正方形、梯形。（教师顺势粘贴图形）

    師：那我们学过哪些立体图形呢？

    生：圆柱、圆锥、长方体、正方体。（师顺势粘贴图形）

    二、圆到圆柱

    师：我们刚刚回顾了旧知，请同学们再找一找在立体图形中，哪一个立体图形是与圆相关的？

    生：我觉得是圆柱体，因为圆柱体是由两个底面圆和一个侧面组成的。

    师：不仅说了是谁，而且说出了为什么，真好！

    现在四人小组合作找一找圆柱的哪些部分和圆有关？

    生1：从这个圆柱上我们可以看出，上面是一个上圆面，下面也有一个圆，旁边那个圆的话，如果一个拼在上面，一个拼在下面，中间是一个侧面，就拼成了圆柱，我们发现圆柱的两个底面积和圆有关。

    生2：我们小组讨论的结果是用这种大小的圆叠在一起成为圆柱，无数个相同的圆叠加而成的圆柱。

    生3：我们小组讨论的结果是这个圆和这个圆其实是一样的，这个圆的直径就是这个圆的直径，这个圆的半径就是这个圆的半径，由此推出这个圆的周长的方法用到这个圆的身上，这个圆的面积的方法也用到这个圆的身上。

    总结：半径与底面半径，直径与底面直径，周长与底面周长，面积与底面面积的联系。

    师：之前圆是没有高的，现在变成圆柱之后就有了高？圆柱的高是由圆的什么决定的？

    生1：是由底面圆的中心点和上底面圆的中心点决定的，它们之间的垂直线段就是高。

    师：那是高的定义，刚刚我们看到圆叠加变成圆柱的过程，高是由什么决定的？

    生2：是由形成叠起圆柱的圆的个数决定的。

    PPT出示问题：将圆柱平行于底面，横着切开，截面是什么形状？为什么？

    生1：平行于底面横着切开还是圆的形状，只是它分成了两个圆柱。

    师：为什么是圆形？

    生2：横截面是与上底面平行的，所以它的下底面也是圆。

    生3：因为圆柱是由无数个相同圆叠加而成的。

    师：这才是问题的本质原因。

    PPT出示练习题A（只列式不计算）：

    （1）已知底面半径是2厘米，可以计算出圆柱的哪些数据？

    （2）已知圆柱的高是10厘米，又可以计算出圆柱的哪些数据？

    （学生独立思考做题并汇报）

    三、长方形到圆柱

    师：在我们平面图形里面还有一个图形与圆柱息息相关的，你能找到吗？

    生：长方形。

    师：为什么？

    生1：因为圆柱展开后是两个圆加一个长方形。

    生2：因为圆柱是由两个圆和一个长方体或者一个正方形组成的。

    生3：把圆分成几份可以把它拼成一个近似于长方体的图形，然后以长方形的宽为轴旋转得到圆柱体。

    师：真好。这位同学发现了数学的本质。现在我们以长方形的宽为轴旋转得到圆柱，看一看长方形的长和宽与圆柱又有什么联系？

    （学生四人小组交流，汇报）

    生1：因为是以长方形的宽为轴旋转得到圆柱，所以长方形的宽为圆柱的高，长方形的长为圆柱底面圆的半径。

    师：真棒！掌声送给他。长方形的宽为圆柱的高，长为圆柱底面圆的半径。还有没有同学发现了其他的关系？

    生2：我们小组在讨论的时候还考虑了一种情况，长方形的长等于圆柱底面半径。如果我们以圆柱形的直径来切的话，切成的就是一个长方形，这个长方形的长就是2r，长方形的宽就是h，所以它的横截面就可以表示2rh或者dh。我们还考虑到一种情况，假设给你这个长方形的面积：S=2rh，如果我们知道其中一个量就可以求出另外一个量。如果我们知道高的话就可以算出r是多少;如果我们知道r的话，就可以算出高是多少。

    师：这位同学的知识太丰富了，我们沿着他的这个思路再来找一找，圆柱体的底面直径是长方形的什么？

    生：圆柱体的底面直径就等于长乘以二，因为长方形的长等于圆柱底面半径，所以底面圆的直径就等于长乘以二。

    师：真好！那么底面周长是长方形的什么？

    生：底面周长就是2π乘以长。因为我们知道长就是r，圆的底面周长是2πr，所以我们就知道底面周长就是2π乘以长。

    师：那么底面面积呢？

    生1：底面面积就是2π乘以长的平方。

    生2：底面面积应该是πr2。

    生3：长是等于半径r的，也就是说底面面积等于π乘以长的平方。

    师：那你发现了长方形和圆柱的关系了吗？

    生：我发现长方形旋转得到的圆柱，只是把半径换成了长，其他不变。

    师：嗯！也就是说圆和长方形也是息息相关的。

    PPT出示：将圆柱体沿着底面直径和高竖着切开，看看究竟是什么形状，为什么？

    生1：因为圆柱是长方形旋转得到的，所以圆柱体的截面就应该是长方形的一面。

    生2：沿着圆柱的直径切开得到的横截面，相当于是两个长方形拼在一起的，而长方形和长方形拼在一起，大多数都会得到长方形。

    师：两位同学说得非常有道理。

    （PPT出示练习单B）

    学生们齐读：已知一个长方形的长是2厘米，宽是5厘米，以宽为轴旋转，你可以计算出旋转后得到的圆柱体的哪些数据？（只列式不计算）

    学生完成并交流。

    生：我们找到了圆柱的高和半径，圆柱的高也就是5厘米，长方形的长是半径，那么半径就等于2厘米。我们已经知道了半径，就可以算直径、底面圆的周长和面积了。

    四、课堂小结

    师：孩子们，我们这节课已经接近尾声，你有什么感受呀？

    生1：我们回顾了旧知识，找到了圆、圆柱和长方形的关系，学到了很多知识。

    生2：数学知识有许多奥秘。

    生3：数学知识基本上都是联系在一起的。

    ……

    师：所以，数学就是关系学。

    师：在平面图形和立体图形中，你还能找到哪些像圆和圆柱、长方形和圆柱这种关系的？

    生1：圆锥是由直角三角形旋转而来的。

    生2：正方形和正方体。

    生2：长方形和长方体。

    师：下来大家研究一下这些图形之间的关系。请同学们为今天的数学课取一个课题。

    生：找关系。

    师：好的，那我们这节课的课题就是“找关系”。（师随机板书）

    【评析】

    从教师教学方式点评

    评课人：昆明市官渡区曙光小学 陈 洁

    教师从圆入手，引出关系。本课由圆引入，学生自主关联相关旧知，步步唤醒学生的认知结构，架起从面到体的桥梁，埋下思维的种子，理清了圆和圆柱叠加的关系、长方形和圆柱旋转的关系。

    开放式问题，打开思维空间。杨老师在学生的已有经验、学习热情被唤醒的基础上，设置开放性的问题作为练习，开放式的练习A和B，由易到难，层次清晰，不断复习旧知且有新的挑战，使学生在不同基础上进行不同程度的创造性思考与探究，创造性的思维得到发展。

    任务引领，教师主导，学生主体。对于学生的学习，过程比结果更重要。让学生经历复习的过程，全面提升自己的数学学习能力。杨老师整节课都是围绕学生的学习行为开展的，将学生的观点突出化，让学生在其经验基础上发现更多从面到体的联系，经历过程后学生的主体性更加突出，并总结出浅显的数学的内涵，会寻找知识点间的联系，从而形成数学思维和数学习惯。

    从学生学习方式点评

    评课人：昆明市盘龙区盘龙小学

    杨艳梅

    “从平面到立体”构建了学生自主学习、独立思考、合作交流的學习方式。纵观整个教学过程，教师引出复习主题，启发学生思考“小学阶段学过哪些平面图形和立体图形”，让学生自主关联旧知，采取独立思考、四人小组合作等研究方式，在汇报交流“怎样记录圆的四要素之间的关系，圆柱与圆的哪些部分有关，长方形和圆柱有什么关系”等问题时，杨老师让孩子走上讲台，分工合作，有汇报、有记录、有补充，为学生搭建了施展才华的舞台，使他们真正成为知识的探索者与发现者。杨老师还留给学生充足的思考空间，重视学生学习方法的指导，鼓励学生用简洁、清晰的形式进行整理，借此培养学生的创新意识（如孩子们用箭头或者线条表示关系），让学生体验获取知识的方法、步骤。教师把“讲”的时间和空间压缩了，留给学生去“学、思、行”，有利于培养学生的自主学习能力。

    从课堂效果点评

    评课人：昆明市五华区春城小学 鲁哲铭

    本节课，杨老师建构了完整的“知识链”，帮助学生建构知识间的联系，使知识的理解更精当，知识条理更清晰，形成知识体系。通过让孩子找圆柱和圆各部分的联系，长方形长、宽与圆柱各部分的关联，进一步调整和明晰数学知识的本质（即圆柱是圆的叠加过程;长方形旋转得到圆柱）。优化数学知识在头脑里的组织方式，从而清晰地把握圆和圆柱的知识点间的内在联系，有条理地储存和记忆数学知识，达到对知识理解的融会贯通效果。

    从体现的生本理念教学策略点评

    评课人：昆明市昆明经济技术开发区实验小学 张志红

    复习课“从平面到立体”是基于“生本理念”指导下设计和实施的复习课教学探索。仔细品味本堂课可以体现以下“生本理念”的教学策略：

    1.教学设计和实施以学生数学核心素养的落实为主要目标。图形与几何领域数学知识的数学核心素养主要是空间观念的培养。通过本节复习课，学生对圆柱的认识从圆柱是一个长方形侧面和两个圆形底面围成的图形，扩展圆柱是到由同样大小的圆叠加而成的立体图形和圆柱是由长方形绕某条边旋转一周扫过的空间，极大地丰富了学生的空间想象和对圆柱的认识。在对圆柱的横切面和纵切面概念的引入和演示中，学生还构建半个圆柱的空间观念。

    2.教学活动化。整节课总体设计了四个活动：（1）分组探究交流圆和圆柱各要素之间的关系;（2）独立完成交流练习单A;（3）分组探究长方形的长和宽与圆柱各要素间的关系;（4）完成和交流练习单B。

    3.教学环节结构化。通过复习构建圆、圆柱和长方形各要素和相关概念的相互联系，形成了相互关联的知识网络，真正体现了“无箭头不板书，一张板书看全课”的结构化教学理念。

    4.营造民主、开放的课堂氛围。整堂课学生积极参与讨论，大胆走上讲台进行汇报。教师尊重学生的思考，甚至按照学生的想法将本课课题命名为“找关系”。