利用导数讨论函数的单调性

    许莉

    

    

    [摘 要]导数是研究函数性质的一个重要工具，利用求导研究含参函数的单调性是高考的热点，也是学生感到棘手的一个问题.文章结合实例，分类讨论研究导数与函数的单调性之间的关系.

    [关键词]导数;函数;单调性

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2021）14-0030-02

    一、利用导数求函数的单调区间

    小结：利用导数判断函数单调性的一般步骤：第一步，求函数的定义域;第二步，求导数[f ′（x）]，其中求导后若有分母就考虑通分，若能因式分解就要因式分解，不能因式分解再考虑求根公式或者其他化简;第三步，在函数[f（x）]的定义域内解不等式[f ′（x）>0]和[f ′（x）<0];第四步，写出函数[f（x）]的单调区间.

    二、利用导数讨论含参数函数的单调性

    小结：求导后导函数为含参的二次函数，但是不能判断导函数是否有零点，则需要根据判别式的正负从而得到“存在零点”和“不存在零点”的分类标准，当判别式大于零时，还要判断是否可以比较两零点的大小，以及零点与定义域的关系，做到分类有序、不重不漏[[2]].

    通过以上例题发现，利用导数研究函数的单调性是一个有效的工具.利用导数求含参函数单调性的分类标准为：（1）求导后若导函数为含参数的一次函数，可以根据含参数的一次函数进行分类讨论.（2）求导后若导函数为含参数的二次函数，若求导后不能判断开口方向的，分类的标准是先讨论二次函数的开口方向，再讨论是否存在零点;若求导后导函数可以直接因式分解得到零点，则分类标准是直接对零点进行分类讨论;若求导后导函数确定了开口方向，但是不能判断是否有零点，则分类标准是直接对判别式进行分类讨论[[3]].而在分类时要做到不重不漏.

    [? ?參? ?考? ?文? ?献? ?]

    [1]? 祝敏芝.利用导数研究函数的单调性问题[J].中学数学教学参考，2020（Z1）：130-133.

    [2]? 王历权，范美卿，金雷.利用导数研究函数的单调性问题[J].中学数学教学参考，2019（7）：36-39.

    [3]? 陈达辉.利用导数研究函数单调性的几种类型[J].数学学习与研究，2019（8）：97.

    （责任编辑 陈 昕）