具有初始应力加劲板的非线性动力学特性
马牛静 王荣辉
摘要：针对工程结构中常用的加劲板，研究了其在初始应力作用下的非线性振动特性。将母板与加劲肋分开考虑，其中母板按薄板理论考虑，加劲肋按Euler-Bernoulli梁理论考虑，根据母板与加劲肋的应力与应变关系建立系统的应变能表达式，同时结合系统的动能表达式，并利用Lagrange方程建立系统的非线性动力微分方程。运用椭圆函数求得加劲板单模态的非线性频率，采用同伦分析方法求解加劲板的3：1内共振。通过参数分析，重点讨论初始应力变化对系统非线性动力特性的影响，并得出初始应力的存在对加劲板非线性动力特性的影响规律。
关键词：非线性振动;加劲板;初始应力;内共振
中图分类号：0322 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0047-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.OL 005
引言
在工程结构中，由薄板与纵横两个方向加劲肋构成的加劲板应用比较广泛。例如，桥梁工程和船舶工程中由交叉梁和连续矩形板构成的整体梁板结构，或机械工程及航空工程中广泛应用具有辗制方向的金属板、波纹板、加肋板及胶合板等。由于这类结构通常承受各种动荷载，因此其动力学特性的研究具有重要的意义。此外，由于构成这类结构的板与肋之问通常采用焊接连接，而焊接则会在结构内部产生残余应力，进而使得结构的力学特性尤其是非线性动力学特性更为复杂，因此研究初始应力的存在对加劲板非线性动力学特性的影响不仅具有一定的理论意义，更具有明确的实际工程价值。
国内学者对加劲板的研究主要集中于静力问题，关于其动力学尤其是非线性动力学特性的研究并不多见，张涛、彭英与马牛静分别在其博士论文中对加劲板的非线性动力学特性展开研究。罗晓玲等研究了初始缺陷对加劲板的非线性稳定性的影响;侯瑾与龚良贵数值研究了含有初始挠度的加筋板结构非线性动力屈曲特性;Koko与Olson用超单元对加劲板进行非线性分析;Sheikh与Mukhopadhyay用样条有限条法分析了板与加劲板的线性与非线性瞬态振动;Ma等研究了四边固定加劲板在主共振激励作用下的内共振特性;Mitra等研究了简支单向加劲矩形板承受横向荷载的大幅振动，重点讨论了加劲肋的位置、肋板面积比及厚度比对非线性动力特性的影响;Duc等研究了温度环境下采用功能梯度材料的具有初始缺陷的加劲夹层板的非线性动力响应。然而，以上学者的研究中均未考虑初始应力的影响。
众多学者研究了初始应力对结构的影响，赵秋与吴冲数值研究了钢箱梁u肋加劲板焊接残余应力分布，并提出了一种简化计算方法，同时将其应用于加劲板的受压承载力分析;瞿丽华等数值模拟了残余应力对焊接工字钢梁模态的影响;马牛静与赵国栋运用有限元软件ANSYS分析了残余应力对钢箱梁局部振动的影响;张超等研究了初应力对压电压磁板中水平剪切振动的影响;Zheng与Hu研究了残余应力的筛降效应及其对矩形加劲板强度的影响;Rossikhin与Shitikova研究了具有初始应力的弹性正交异性圆板在冲击激励作用下的动力稳定性;Chen研究了具有初始应力层压板的非线性振动。尽管以上学者提出了初始应力的分析及处理方法，但这几类的初始应力考虑方法均不易应用于常规加劲板动力分析。
非线性振动常用的求解方法有摄动法、多尺度法、渐近法、平均法、谐波平衡法等多种方法，每一种方法都有各自的特点，由Liao提出的同伦分析法因不涉及小参数，所以不仅可应用于弱非线性振动，亦可用于强非线性振动;Pirbodaghi等运用同伦分析法研究了轴向荷载作用下的Euler-Ber-noulli梁非线性动力学行为;Hassan与E1-Tawil运用同伦分析法求解了二阶非线性微分方程;Ma等运用同伦分析法研究了具有移动边界加勁板的非线性动力行为。
综上所述，关于加劲板的动力学研究成果众多，但均未有理想简便的方法考虑初始应力。鉴于此，本文以截面残余应力自相平衡原理简便地考虑初始应力的存在，并利用能量方法推导出具有初始应力加劲板的非线性动力方程。运用椭圆函数求得加劲板单模态的非线性频率;同时，运用同伦分析方法求解加劲板的3：1内共振。通过既有实验对本文的方法进行验证，并由参数分析重点讨论初始应力变化对系统非线性动力特性的影响，得出初始应力的存在对加劲板非线性动力特性的影响规律，对工程设计有重要的参考意义。
1控制方程的推导
考虑如图1所示的由纵、横加劲肋及母板构成的加劲板，沿x，y方向母板中面的位移分别由u，v表示，沿x方向母板的挠度用w表示。板与肋均由同种各向同性材料组成。以下分析中将母板与加劲肋分开考虑，其中母板按薄板理论考虑，而加劲肋则按Euler-Bernoulli梁理论考虑。此外，根据母板与加劲肋的应力与应变关系建立系统的应变能表达式，同时结合系统的动能表达式，并利用Lagrange方程建立系统的非线性动力微分方程。
由于在工程结构中实际的初始应力分布十分复杂，在结构分析中通常加以简化以便于计算。本文假设母板中沿x，y方向的初始应力分别为σpxo，σpyo，沿x，y方向加劲肋中的初始应力分别为σsxo，σsyo为了便于分析，假定初始应力均为常数，由残余应力自相平衡条件得到：
2非线性频率分析
2.1分析内容
对于工程结构而言，通常低阶模态在振动过程中起主导作用，因此，低阶振动特性对结构分析具有重要的指导意义。本文针对加劲板的横向一阶振动，对其非线性频率进行分析。
2.2边界条件
为了便于比较，本文选择两种典型的边界条件进行分析，即四边简支且不可移动的边界条件进行研究，可以设位移的形式如下：
2.4数值分析
2.4.1计算结果验证
为了对本文方法进行验证，这里选取作者在开放课题研究中已在本单位重点实验室中实施的模型实验结果进行比较分析。加劲板实验模型四边夹紧固定在振动平台上，以此来模拟四边固定边界条件;通过给加劲板中心施加不同的初始位移，让其产生自由振动;另外，采用拾振器获取加劲板振动响应，通过振动测试系统，并利用信号分析软件进行处理，进而获取加劲板的非线性频率。加劲板实验模型双向均设置3个加劲肋，结构参数如下：a=b=1m，E=2.O×1011Pa，u=0.3，p=7.85×103kg/m3，h=0.005m;此外，矩形加劲肋的高度均为0.05m，宽度均为0.01m;同时，实测得到的加劲板母板焊接残余应力平均值约为35MPa。基于以上加劲板的自由振动分析，得到非线性频率比测试值与计算值如表1所示。
