关于坐标系中特殊角的处理策略探究

    王久平

    [摘? 要] 初中数学中有一类较为特殊的问题，坐标系中设定了特殊角，探究动点存在性

    或函数解析式. 在解题时需要对其中的特殊角进行处理，一般处理思路有两种：一是利用特殊角对应的三角函数值来推导直线斜率，二是利用特殊角构造特殊模型. 文章将深入探究坐标系中的特殊角问题，总结处理策略，结合实例应用分析.

    [关键词] 坐标系;特殊角;三角函数;特殊图形;思想方法

    背景综述

    在几何中存在一些诸如30°，45°，60°，90°的角，我们将其称之为特殊角，其特殊之处主要体现在这些角的三角函数值上. 对于一般的角度，难以直接计算出对应角的三角函数值，但这些特殊角则可以，如sin30°= ，cos45°= ，tan60°= 等. 而当坐标系中出现特殊角时，一般有两种考查视角：一是三角函数视角，考查特殊角的三角函数与直线斜率之间的联系;二是图形构建视角，考查利用特殊角来构建特殊的图形进而挖掘特殊图形的特征. 下面对坐标系中的特殊角进行深入探究，总结相应的解题策略.

    引例呈现

    引例? 如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB的函数表达式为y= x，点M（2，1）是直线AB上的一点，现将直线AB绕着点M顺时针旋转45°，得到了直线CD，试求直线CD的函数表达式.

    解析：该问题属于旋转问题，关键条件为旋转角为特殊的45°角，求直线CD的函数表达式，可以通过确定其斜率或直线上不与M相重合的点来求解，有以下两种思路.

    思路一：利用特殊角的三角函数值.

    过点M作x轴的平行线，与y轴相交于点N，如图2. 则tan∠OMN=tanα= ，tan∠CMN= ，由图像可知直线CD的函数为单调递减函数，则其斜率kCD<0，所以直线CD的函数表达式为y=- （x-2）+1，化简可得y=- x+ .

    思路二：利用特殊角构建特殊图形.

    题干设定直线AB和CD的夹角为45°，则可以通过作垂线构建等腰直角三角形，具体如下. 过点O作OP⊥AB，与CD的交点设为P，分别过点M，P作x轴的垂线，垂足分别为点E和F，如图3，则△OPM为等腰直角三角形，△PFO和△OEM为直角三角形.

    由条件可证△OEM≌△PFO，由全等性质可得PF=OE=2，OF=ME=1，所以点P的坐标为（-1，2），综合点P和M的坐标可解得直线CD的函数表达式为y= - x+ .

    对于该种思路，除了可以作AB的垂线来构造等腰直角三角形外，还可以通过作CD的垂线来构造等腰直角三角形，构造时充分利用其中的特殊角即可.

    方法归纳

    从引例可以看出直角坐标系中的特殊角有着极高的应用价值，是挖掘题干条件、串联斜率关系构建特殊图形的关键. 当问题中给出了几何特殊角时，有以下两种处理思路.

    思路一：利用特殊角求三角函数值，利用三角函数值化“角度条件”为“直线斜率k”，由斜率的符号可分为两种类型，但基本关系不变，对于直线y=kx+b，直线与x轴的夹角存在固定关系，即tanα=k. 以k>0为例，如图4，点P（x1，y1）和Q（x2，y2）是直线y=kx+b上的两点，则tanα=k= ，同时tanα= ，因此可由特殊角求直线斜率，串联直线上点坐标、斜率、垂线长的关系.

    思路二：利用特殊角可以构造特殊图形，如构造直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、矩形等. 实际解题时可以充分借助特殊图形之间的相似或全等关系，挖掘问题中的等量关系. 教师在该思路的解题教学中需要提升学生的转化、构造技巧，总结常见的几何模型，如上述引例中的三垂直全等模型.

    应用探究

    上述所探究的坐标系中特殊角的应用思路在实际解题时有着广泛的应用，解题时需要充分把握问题条件，结合图形特征确定使用特殊角的转化策略，下面结合实例深入探究.

    应用探究一：特殊角的三角函数转化

    坐标系中出现特殊角度时，可以联系特殊角的三角函数值与直线斜率的关系来进行解题突破，基本思路是确定相关直线表达式，联立曲线函数进行关键点推导，可拓展到求几何面积、周长等问题中.

    例1? （2020年辽阳市模考卷）如图5所示，直线y=x-3与坐标轴相交于点A和B，过点B的抛物线y= x2+bx+c与直线y=x-3的另一交点为E（8，5），且与坐标的x轴交于点C和D.

    （1）试求抛物线的函数解析式;

    （2）点M是抛物线上的一点，若当∠MBE=75°时，求点M的横坐标.

    解析：（1）由点坐标可求得抛物线的函数解析式为y= x2-x-3.

    （2）虽然题干所给角度为75°，不属于特殊角，但可将其视为45°+30°，同时点M的位置有两種情形，分别进行讨论.

    ①当点M位于直线BE的上方时，如图6，由于∠MBE=75°，∠OBE=45°，则∠OBM=30°，可推知直线BM与坐标x轴的夹角为60°，所以直线BM的斜率k=

    -tan60°=- ，可求得直线BM的函数解析式为y=- x-3. 联立直线BM与抛物线的解析式可解得x1=0和x2=4-4 ，所以点M的横坐标为4-4 .

    ②当点M位于直线BE的下方时，如图7，过点B作BF∥x轴，则∠EBF=45°，由于∠MBE=75°，则∠MBF=30°，即直线BM与x轴的夹角为30°，所以直线BM的斜率k=-tan30°=- ，又知点B的坐标为（0，-3），可求得直线BM的函数解析式为y=- x-3. 联立直线BM与抛物线的解析式可解得x1=0和x2=4- ，所以点M的横坐标为4- .

    综上可知，若當∠MBE=75°时，点M的横坐标为4-4 或4- .

    评析? 上述题干设定的角度为75°，属于一般角度，但若作x轴的平行线，则可以将角度分割为45°和30°，显然均为特殊的角度，后续就可以结合直线与x轴的夹角进行斜率转化. 对于涉及坐标系的特殊角问题，需要关注问题的多种情形，采用分类讨论方法进行全面探究.

    应用探究二：特殊角的特殊模型构建

    利用坐标系中的特殊角可以构建特殊的几何模型，由模型的特殊性质则可以进一步挖掘隐含条件，构建解题思路. 常见的特殊角模型有45°角的等腰直角三角形，60°角的等边三角形，90°角的隐圆模型或直角模型等.

    例2? （2020年深圳市龙岗区模考卷改编）如图8所示，已知反比例函数y= ·（x>0）的图像经过点A（3，4），试分析在反比例函数图像上是否存在一点P，使得∠POA=45°？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

    解析：本题目属于反比例函数与一次函数相交问题，分析特殊角是否存在，可采用“假设——验证”的思路. 利用45°角来构造等腰直角三角形，利用三角形的特殊性质来求解.

    过点A作y轴的垂线，设垂足为点E，将直线OA绕点O顺时针旋转90°得到了直线OA′，过点A′作x轴的垂线，垂足为点F，连接AA′，与OP的交点设为K，如图9，则点K为线段AA′的中点.

    分析可知△AOE≌△A′OF，则OF=OE=4，A′F=AE=3，点A′的坐标为（4，-3）. 反比例函数y= （x>0）的图像经过点A（3，4），则其解析式为y= ，在Rt△A′OA中使用勾股定理可得OA=5. 由点A和A′的坐标可推知线段AA′的中点K ， ，所以直线OK的解析式为y= x，联立直线OK与反比例函数的解析式，可解得x=2 或x=-2 ，由于点P位于第一象限，则点P的坐标为2 ， .

    综上可知，在反比例函数图像上存在一点P，使得∠POA=45°，点P的坐标为2 ， .

    评析? 上述题目考查了反比例函数图像特征、一次函数等知识，解题突破时充分利用45°角构建了等腰直角三角形，利用模型的勾股定理、腰长相等等性质来推理相关线段长，逐步完成了点P坐标的推导.

    总结思考

    本文对坐标系中的特殊角进行了探究，实则是对函数与几何问题中特殊角转化策略的实例探究，其中的两种策略涉及了三角函数与斜率关系、特殊角构建特殊图形等知识，对于学生的知识综合和模型构建能力有着较高的要求，下面提出两点建议.

    建议一：关注知识综合，总结关联点

    综合性问题的突破过程中必然要利用众多的基础知识，如何将这些知识进行串联是解题的关键，这对于上述坐标系中的特殊角问题同样重要. 教学中教师要引导学生关注知识综合，关注知识间的联系点. 如上述例题中直线斜率与三角函数的关系、三角函数与直角三角形的关联，实际教学可从基本的定义概念入手，挖掘知识间的关联点，构建相应的知识体系，使学生深刻理解教材内容.

    建议二：重视思想方法，灵活运用解题

    上述总结的特殊角的两种处理策略中渗透着数学的转化思想和模型思想，即可将特殊角条件转化为斜率条件，也可以依托特殊角构造特殊模型，因此学习特殊角问题的处理方法，就应重视其中的数学思想方法. 教学中教师应引导学生关注解题策略中隐含的数学思想，理解对应的思想内涵，掌握运用数学思想构建解题思路的技巧，通过思想方法教学来拓展学生思维，从思想上提升学生的解题能力.