信息技术支持的小学数学迷思概念转变策略研究

    王聪聪 金涛 王海燕 徐建东

    摘 要：转变学生的迷思概念，可以提高教师教学质量，帮助学生构建科学的概念。文章以小学数学《三角形的认识》为例，分析学生存在的迷思概念及其成因，依据不同类型的迷思概念及其成因，提出了信息技术支持的“学生可修正”迷思概念转变策略和“顽固不化”迷思概念转变策略，最后通过一线教学实践，对转变策略的有效性进行了验证。

    关键词：迷思概念;信息技术;转变策略;小学数学

    中图分类号：G434 ? ? ? 文献标志码：A ? ? ? ? ?文章编号：1673-8454（2019）22-0058-07

    一、引言

    美國学者萨普[1]认为“概念在数学中不仅仅是主要的，而且也是数学的全部;在很大程度上，‘数学对象不是独立存在的，也不存在于概念之外。”美国数学教师委员会在报告中提出：“在成功的数学学习过程中，学生对概念和原理的理解是至关重要的，帮助学生获得清晰明了的概念对于数学教师将是一项艰巨而重要的任务。”[2]《义务教育数学课程标准（2011年版）》中同样表明“让学生经历数学知识的形成过程，在活动体验中学习新知识”[3]，尤其是小学数学概念的教学，由于小学生的认知规律和心理特征的独特性，他们难以掌握具有高度抽象性和概括性的数学概念，因此，概念教学成为小学数学教学中的一大难关[4]。

    借助信息技术进行概念教学，将改变传统教学活动中“以讲为主”的课堂教学模式，充分发挥学生的主体性，更有利于学生数学概念的理解和掌握，转变个体已有的不当概念认知，从而达到认知学习目标的“运用”阶段。因此，信息技术支持下的迷思概念转变策略研究逐渐受到重视。目前，相关研究主要集中在三个方面，即信息技术作为支持学生概念转变的教学环境研究[5][6]、信息技术与学生认知心理相结合进行跨学科研究[7][8]、信息技术促进学习教学概念转变的教学方式研究[9-11]。目前国内外有关迷思概念的研究成果较为丰富，但研究内容还比较狭窄，主要集中在物理和化学学科，较少涉及数学学科。而现有数学迷思概念的研究中，主要侧重于总结相关教学经验，缺乏对信息技术支持的数学迷思概念转变策略研究。基于此，本文以小学数学《三角形的认识》为例，研究分析学生学习过程中存在的迷思概念及其成因，并提出信息技术支持的迷思概念转变策略，以帮助广大教师开展教学活动并提高教学效果。

    二、研究设计

    1.研究思路

    首先通过分析文献和访谈一线教师，预查学生在《三角形的认识》单元可能存在的迷思概念，然后借鉴Haslam Filocha等[12]提出的二阶调查测试卷，设计《三角形的认识》迷思概念测试卷，对小学四年级学生进行调查。基于调查结果的整理和分析，获得学生具体存在的迷思点及其类型，并具体分析迷思概念的成因，最后提出迷思概念转变策略并检验其效果。

    2.研究对象

    选取的研究对象为浙江省宁波市某小学四年级一班学生，共38人，其中女生19人，男生19人，学生年龄在9至10周岁。研究对象所在学校每个班级都已实现班班通，配备的技术设施为投影仪展台与台式计算机。

    3.研究过程

    对《三角形的认识》迷思概念的预查主要借助文献分析法、教师交谈法以及观察访谈法，分析得到学生在该单元学习中可能存在的迷思概念，以此作为基础，有针对性地进行第二阶段测试卷的设计，然后进行迷思概念的鉴别。

    （1）测试卷的设计与发放

    在《三角形的认识》单元中共有四节新知讲授课，即三角形的认识、三角形的三边关系、三角形的分类、三角形的内角和，分别用A、B、C、D代码标识。每节新知讲授课对应有四次测试卷，前三次测试卷用于迷思概念类型与迷思点的探查与分析，第四次测试卷用于对比验证所提策略的有效性。共有16份测试卷，分别用A1、A2、A3、A4、B1、B2、B3、B4、C1、C2、C3、C4、D1、D2、D3、D4代码标识。

    测试卷中所设计的题目是以《三角形的认识》单元中的知识概念为基础，结合第一阶段迷思概念的探查结果，题目在形式上更贴近生活实际。题目的作答方式由答案和理由两部分构成，两部分都正确表明学生对该题目所诊断的概念持有科学概念，否则可能存在迷思概念。学生在理由阐述时可采用文字、简笔示意图或图文结合等形式记录。为确保记录每个学生的真实想法，题目作答时不允许学生互相讨论。由于学生年龄较小，如果学生觉得自己的想法无法进行书面表达，可与研究者面谈，表述内容由研究者转录。此外，测试卷经过了一线教师的审阅与考量，反复斟酌和修改，以保证其文字叙述、题目设计符合小学四年级学生的认知情况，测试卷最终得到一线教师认可后方才进行发放。

    在测试卷发放阶段，参考艾宾浩斯遗忘曲线，发放的时间节点设置为新知讲授课的当天、第二天、第三天以及第七天。

    （2）迷思点的确定与分类

    进行完前三次测试后，分别对A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2、D3共12套测试卷数据进行整理、分析，得到学生在《三角形的认识》章节具体存在的迷思点以及迷思点的类型。

    （3）提出信息技术支持的小学数学迷思概念转变策略

    文章借鉴波斯纳[13]提出的概念转变的基本条件，同时参考了朱玉军[14]提出的概念转变基本步骤，对学生在《三角形的认识》中具体存在的迷思概念提出信息技术支持的不同类型的迷思概念转变策略，并在一线教师的实际课堂教学中实施干预。之后进行第四次测试，通过对第三、四次测试的数据进行比较与分析，检验所提策略的有效性。

    三、研究结果与分析

    1.迷思点及其类型

    （1）迷思点的确定

    通过对学生前三次测试卷的答案及其理由进行整理和分析，得到学生在《三角形的认识》中具体存在的迷思点。对各测试卷的分析过程如下：首先对A测试卷的迷思点进行整理和分析（见表1）。在初步考察学生对“三角形的稳定性”概念理解情况时，A1中设计的题目为“用三根小棒最多能围成几种三角形”，97.4%的学生均能回答正确，但其理由却是“课上老师讲过同样的问题”。当让学生举出生活中利用三角形稳定性的例子时，以及举出四边形不稳定的例子，并判断除三角形外四边形、五边形、六边形是否具有稳定性时，大多数学生均能回答正确。给出考察三角形稳定性的应用题，94.7%的学生可以回答正确，理由是“三角形具有稳定性”。然而，当让学生判断“一个三角形每条边的长度确定后，这个三角形的形状是否会再发生变化”，以及给出三个除摆放角度不同其他均一样的三角形，让学生判断是否为同一三角形，这些考察三角形稳定性本质的问题时，只有少数学生能回答正确。可见，大多数学生只是简单地知道三角形具有稳定性，四边形、五边形等多边形不具有稳定性。而对三角形稳定性的本质，即三角形的三边确定后这一三角形的面积、形状就被确定存在迷思。考察“三角形的定义”是通过在测试卷中设计“写出给定图形中的三角形”或“写出给定图形中包含某一边、某一点的三角形”来实现的。结果显示，尽管有部分学生未能写出全部的三角形，但从理由陈述中可知，学生理解什么样的图形是三角形，其迷思点在于“错误的字母表示三角形”。部分学生将三角形边上所有字母拿来表示三角形如ABEC，或用线段来表示三角形如AB、AE，或者只用一个顶点字母来表示如A、B、E、F。

    考察“三角形的高”这一概念时，在A1中让学生判断三角形中的垂线是否为高时（见图1），38名学生均能判断正确，且均能给出正确理由“没有过顶点”。但在A2中，让学生判断“三角形的高是一条与边垂直的线段”时，有42.1%的学生回答错误，忽略了高要过顶点。考虑到小学生对图形和文字的理解能力有差别，并且后续通过和学生访谈，他们也都能知道“高要过顶点”。只是，当遇到直角三角形或者钝角三角形时，部分学生不知道如何作高，会出现“不过顶点作高”或“过顶点但不垂直”即伪垂直情况（见图2）。

    在判断“三角形的三条高都在三角形里面”时，有10.5%的学生回答错误，存在“高都在三角形內部”迷思概念。另外，问到“三角形有几条高”时，有13.2%的学生回答错误。在判断图3中“AB边上的高是哪一条”时，有7.9%的学生选择了AD。这些学生均认为“高是竖直向下垂直于水平面，三角形只有这一条高”，即存在迷思点“高垂直于水平面”。

    类似的，在B测试卷中，初步考察学生对“三角形的三边关系”的理解程度时，B1中设计的题目为“小明从家到学校哪条路线最短（见图4）”，所有学生都能准确地找到最短路线，且多数理由是：“三角形两边之和大于第三边”。进一步考察主要是通过给定三条一定长度的线段，判断其是否能围成三角形，或者给出两条一定长度的线段，让学生给出可一起组成三角形的第三条线段长度。测试结果发现，几乎所有学生都知道“两边之和要大于第三边”，但存在两处迷思点，一是知道“两边之和大于第三边”，而未注意到是“任意两边之和”，故学生只计算出其中两边之和大于第三边后，便立即判定可以围成三角形。二是从测试卷B1到B3，一直有2至3名学生认为当两边之和等于第三边时，也可组成三角形。

    在C测试卷中，初步考察学生对“按角分类三角形”的理解时，C1中设计的题目为“如何区分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”，所有学生回答正确，且都知道“锐角三角形的三个角都是锐角”。但学生对直角三角形、钝角三角形的区分理由存在差异。部分学生认为“有一个直角或有一个钝角的三角形”，而其他学生认为“有一个直角或有一个钝角、两个锐角的三角形”。两种理由均正确，后一种表述更全面，使得让学生判断“三角形至少有几个锐角”时，有两三个学生回答“至少有一个”。说明存在个别学生对按角分类的三种三角形只是表面知道，而没有更深入的观察和理解。考察学生对“等腰三角形”的理解情况，是让学生标出等腰三角形的几大要素，即顶角、底角、腰、底边来进行测试。结果显示，存在迷思的学生分别为C1中28.9%、C2中42.1%。在C3中，让学生利用已知边的长度计算等腰三角形周长时，33位学生出错，表明学生对等腰三角形的几大要素存在迷思。考察等边三角形则是让学生判断“等边三角形一定是锐角三角形”“三条边都是5cm的三角形是什么三角形”，结果显示分别有28.9%、5.3%的学生存在迷思，表明学生对等边三角形的性质存在迷思。另外，当让学生判断“等腰三角形和等边三角形的区别”时，两次均有15.8%的学生出现迷思。

    在D测试卷中，测试发现，D1中有1位学生认为“三角形越大，内角和越大”，在D2中有两人出现这样的迷思。在D3中，有一名学生做错，是因为没有读懂题目考察的内容。可见，学生存在“不同大小三角形内角和不一样”的迷思点。此外，在辨别所指定三角形的三个内角时，D1中有3人做错，D2中却有44.7%学生出现“无法正确找到同属一个三角形的三个内角”，但在D3中存在此迷思的学生降到了15.8%，说明学生还存在“无法辨别给定三角形的内角”这一迷思点。

    （2）迷思概念的归类

    数学概念之间具有很强的关联性，后面章节的概念往往是以前面章节的概念为基础，在后续章节学习中，学生需要反复利用之前的知识概念。因此，学生在前面章节存在的疑惑，产生的迷思概念，可能会在后续章节的学习过程中不断转变，最终变得理解，变成科学概念。这也就是我们平常遇到的，刚学习时不懂、不理解，学着学着就理解了，俗称“脑袋忽然开窍”。文章将此类迷思概念称为“学生可自我修正”类型。相反，对于学生学习过程中一直存在的迷思概念，文章将称其为“顽固不化”类型。

    （1）多角度引发认知冲突

    首先要使學生对自己原有的概念产生不满。通过学生自主探究、交流讨论等方式，或者教师根据特有目的创设问题情境，使学生意识到原有概念的错误，继而引发认知冲突和疑惑矛盾心理，激发学生的学习动机和学习兴趣。具体表现在以下两方面：

    ①学生交流讨论，合作探究。首先，教师借助多媒体课件向学生展示相关知识点的定义、性质，并结合学生所具有的“迷思概念”，在关键词组处，使用变色、划线或特殊符号标注的形式，以引起学生的注意。之后，可让学生自行观察和学习所呈现的知识点。最后，教师组织学生分小组交流讨论，在交流过程中，学生首先分享自己对知识点的理解，之后进行小组讨论，引发学生自身的认知冲突和疑惑心理，促使其进行反思。

    ②教师创设问题情境。学生经过交流产生初步的认知冲突和疑惑心理后，教师可依据学生“迷思概念”的特点，创设特定的问题情境，进一步引发认知冲突。例如教师直接给出反例，借助PPT课件，向学生展示与其原有认知不符的材料或事例、图片、视频等。

    （2）多方位建构科学概念

    学生意识到原有认知的错误，引发认知冲突后，或意识到原有认知的适用范围和不完善性后，其学习动机和学习兴趣会高涨，希望解决心中的疑惑，完善自己的知识概念。此时教师可通过“加强直观教学”“概念变式教学”和“巧用类比教学”三个策略，来解决学生心中疑惑，完成概念转变，建构科学概念。

    ①加强直观教学。一方面，数学概念具有很强的抽象性和繁杂性，而小学生的心智尚未成熟，逻辑思维和想象思维均处于启蒙阶段，学习并理解数学概念对于他们而言并不是一件容易的事;另一方面，学生的迷思概念具有很强的顽固性，他们一般拒绝改变，不愿轻易接受新概念。鉴于此，可借助信息技术，将课本中抽象、繁杂的数学概念形象化、直观化，使其易于小学生学习和理解。

    ②概念变式教学。在将三角形的知识点直观呈现给学生后，学生对三角形科学概念有了初步了解，之后利用信息技术变更所提供材料和实例的呈现形式，突出概念的本质属性，从而让学生加深对三角形概念的认识，巩固对科学概念的理解。例如借助多媒体课件展示各式各样的三角形图片，并进行多重比较，让学生清晰直观地认识到什么样的图形是三角形，三角形的各部分名称以及三角形满足哪些条件。

    ③巧用类比教学。一方面，通过类比可使科学概念与学生已有概念建立联系，增加熟悉感和亲切感，学生更容易理解。另一方面，通过引导学生对相似概念进行类比，同中比异、异中比同，让学生对概念的本质属性有更加深刻的认识。例如在“三角形的分类”一节中，对于等腰三角形和等边三角形的区分，教师可通过类比教学帮助学生理解概念。

    （3）多情境应用科学新概念

    一方面，学生的“迷思概念”来源于其对日常生活的观察和体验，导致了对科学概念的理解偏差和理解错误。另一方面，学习内容和学生熟悉的生活情境越贴近，学生接纳新概念的程度越高。因此，为了概念转变得更彻底，加深并巩固学生对科学概念的理解，通过链接生活，将知识概念重新返回到生活中，让学生利用学习的科学概念去解释或解决生活中的实际问题。

    （4）多元化评价学习过程

    一方面，学生心智发展程度不一，学习能力不尽相同，理解思维有快有慢，这就存在转变结果的差异;另一方面，根据遗忘曲线，学生学习理解的科学新概念存在遗忘的可能。鉴于此，需要结合一线教师的信息技术实操能力以及他们日常教学工作的时间安排，借助信息技术，建构起对学生的学习评价机制。主要通过两种方式：①利用Office等统计分析软件记录学生的测试情况，建立学生的学习过程档案，从整体分析学生认知发展情况。针对分析的结果，发现问题，有针对性地开展指导。②通过QQ、微信等移动设备建立网络互动空间，便于学生的学习共享，交流讨论。

    3.信息技术支持的迷思概念转变策略应用效果分析

    （1）干预前后测试数据错误率的相关性分析

    通过收集学生在第三次测试和第四次测试中的错误率数据，借助方差分析和Duncan多重检验进行数据分析，得到第三次和第四次测试学生的错误率是否存在显著差异以及是否有明显下降，从而在整体上验证转变策略的有效性。

    对A测试卷的方差分析结果显示，效应test对应的P值为0.0055（<0.05），表明A3、A4两次测试学生的错误情况存在显著差异。A测试卷的多重检验结果也显示，A3、A4后两次测试学生的错误情况存在显著差异。且从A3到A4，学生的错误率均值大小分别为0.2297和0.1284，有明显下降。从宏观上说明干预策略是有效的。

    类似的，对B测试卷、C测试卷进行方差分析和多重检验，结果均表明B3到B4、C3到C4学生的错误率有明显下降，即干预策略取得了较好效果。而D测试卷的方差分析结果显示，效应test对应的P值为0.3812（>0.05），即D3到D4后两次测试学生的错误情况不存在显著差异。但多重检验结果表明，从D3到D4，学生的错误率均值大小分别为0.092和0.052，还是有一定下降，考虑到D新知讲授课包含的迷思概念属于“学生可自我修正”的类型，对D新知讲授课进行的干预可以减短学生自我修正的过程，帮助学生提高学习效果。

    综合方差分析与多重检验结果可知，对于A、B、C三节新知课，经过策略实施教学后，学生第三次的错误率与第四次的错误率相比存在显著差异且下降明显;通过错误率均值大小比较D也呈现出下降的趋势，总体来看，本文提出的迷思概念转变策略具有一定效果。

    （2）干预前后迷思概念的数量变化分析

    统计分析每位学生在第三次和第四次测试卷中迷思概念的变化情况，包括无→无、有→无、有→有、无→有四种，统计每个知识点中这四种情况的发生比例。文章根据“有→无”与“有→有”两者比例的大小关系来判定上述策略的有效性，判断标准包括两个方面，分别是：①策略有效，“有→无”的比例大于“有→有”的比例;②策略无效，“有→无”的比例小于“有→有”的比例。

    由表4可知，“三角形的定义”中，“有→无”的比例为24%，小于“有→有”的比例34%，说明策略存在不足之处，对于该迷思概念的转变还需做进一步的探究。而对于其他的迷思概念而言，“有→无”的比例皆大于“有→有”的比例，因此本文所提策略能够有效地转变迷思概念。

    综合具体单项迷思概念变化情况的比例可知，在“三角形的稳定性”“三角形的三边关系”“等腰三角形”中，“有→无”所占的比例分别为53%、47%和84%，表明本文提出的策略有效性较高，极大程度上能够帮助学生解决迷思概念。在“三角形的高”“等边三角形”“三角形的内角和”中，“无→无”所占比例很高，同时“有→无”单项所占比例就已超出“有→有”“无→有”两者比例和的一半以上，说明策略的有效性较高。而在“三角形按角分类”中“有→无”与“无→有”两者的比例相等，说明该策略在具体的教学过程中还需要做进一步的改进。

    五、结论与讨论

    文章研究了小学四年级学生在《三角形的認识》单元学习中存在的具体迷思点，并将其分成“顽固不化”和“学生可自我修正”两种类型，学生形成迷思概念的原因主要包括直觉经验、类化概念的干扰、日常生活的影响以及学生的记忆、心态或心理暗示等方面。为帮助教师转变学生的迷思概念，文章针对“学生可自我修正”类型和“顽固不化”类型，分别提出了信息技术支持的迷思概念转变策略，并对策略的有效性进行了验证。

    本文提出的迷思概念转变策略还需要进一步改进：①教师要结合实际的教学问题选择合适的策略，设计适合本班学生的教学活动。在策略实施过程中，学生的学习水平参差不齐，产生的迷思点也不尽相同，教师如何根据本班学生的生活经验、个性特点等实际情况选择恰当的策略进行教学需要进一步讨论。②本研究是在习题课内应用所提出的策略进行干预的，是否可以在其他课型中尝试干预也是值得讨论的，如一线教师也可以根据自身丰富的教学经验，抓住学生产生疑问的时机直接在新知课内应用该策略。

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    （编辑：鲁利瑞）