二维空间脉动风场波数-频率联合功率谱表达的FFT模拟
宋玉鹏 陈建兵 彭勇波
摘要： 针对二维空间纵向脉动风场模拟问题，采用多维随机场理论，基于Davenport脉动风速谱和相干函数模型，导出了二维空间均匀脉动风场的波数-频率联合功率谱。通过谐波叠加直接获得二维空间均匀脉动风场，避免了经典谱表达方法在脉动风场模拟时的空间离散和互功率谱矩阵的Cholesky分解或本征正交分解（POD）。为了进一步提高风场模拟的效率，在数值程序中引入了快速Fourier变换（FFT）技术。最后，对风力机桨叶所在平面进行了二维空间脉动风场模拟，验证了该方法的准确性和高效性。
关键词： 脉动风场; 波数-频率联合功率谱; 二维空间; 谱表达方法; FFT算法
中图分类号： TU312+.1; O324 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0660-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.003
引 言
高层建筑、风力发电高塔、大跨屋盖、输电塔线体系和桥梁等高柔大跨结构对风荷载往往十分敏感。由于风荷载中的脉动分量具有较强的随机性，将使上述风敏感性结构发生多种形式的风致振动，甚至可能发生动力失稳，极大降低结构的安全性[1]，因此结构风致响应分析问题一直备受学术界和工程界的关注[2]。结构的随机动力响应分析一般可在频域和时域内进行。频域方法往往较为简便高效，遗憾的是它只适用于线性系统[3-4]，而大多数结构在强动载条件下将进入非线性阶段，甚至一些结构在正常工作条件下就已处于复杂的非线性状态，如风力发电系统结构[5]。因此时域分析方法是结构非线性随机动力响应与可靠性分析的必然选择[6]。在时域分析过程中，脉动随机风场模拟是其中的首要环节。
空间中任意一点的风速可分解为沿水平方向的平均风速U和沿3个相互垂直方向的脉动风速。对于高柔结构体系，3个脉动分量之间的相关性可以忽略，因此高柔结构的脉动风场模拟可单独考虑为1个方向的脉动分量[1]。本文以风力发电高塔为分析对象，重点关注顺风向分量u。实测表明，u同时随着时间和空间位置变化。因此，在风场模拟中，通常选取一系列空间点进行脉动风速时程的模拟。这种方法是将脉动风场描述为随机向量过程。为此需要引入互功率谱密度矩阵以刻画该随机向量过程的统计特征[7-8]。基于此，可采用谱表达方法或者线性滤波等方法进行脉动风场的时域模拟。其中，谱表达方法算法简单且结果精度较高，获得了广泛的应用[9-10]。该方法在风场模拟过程中需要针对每个离散频率点进行互功率谱矩阵的Cholesky分解[11-12]，当离散空间点数较多时，矩阵分解的效率很低，甚至可能出现数值不稳定的问题。虽然国内外学者对此提出了改进措施，如对互功率谱矩阵进行本征正交分解（POD）、引入快速Fourier变换等[13-15]，但仍然难以避免互功率谱矩阵的分解，数值不稳定问题依然存在。
事实上，空间中的风场是一个连续的“时-空”随机场，由于人为的空间离散，导致了上述互功率谱矩阵分解成为不容回避的问题，且在实际应用中往往需要在获得时程之后进一步在空间离散点之间进行插值从而引入额外的误差。早在20世纪70年代，Shinozuka[16]在研究多变量及多维随机过程问题时，将一维空间中的脉动风场处理为一个二维随机过程，并获得了该二维随机过程的功率谱密度函数的表达形式。该方法在模拟风场时，无需对空间进行离散，因而避免引入互功率谱矩阵及其Cholesky分解或本征正交分解，表达形式简单。但是，该方法多年来一直未获得关注。近年来，Benowitz[17]及Benowitz 和 Deodatis[18]采用该方法，将脉动风场考虑为沿时间和空间变化的随机波，推导了一维空间中均匀脉动风场的波数-频率联合功率谱，并利用谱表达方法和二维FFT技术对风场进行了模拟，具有简便、高效、模拟精度高等优点。由于FFT技术不能模拟空间中非等间距分布点的风场，Peng等[19]在此基础上引入了基于POD的插值方法，模拟了大跨桥梁水平方向的风场。为了降低该方法中随机变量的个数，刘章军等[20]引入了标准正交随机变量集的随机函数表达，并模拟了沿水平方向分布的脉动风场。此后，Peng等[21]进一步引入“演变谱”的概念，将该方法拓展于一维空间非均匀脉动风场的模拟，同时还引入了基于POD分解的FFT方法，以提高模拟效率。最近，Chen等[22]和Song等[23] 将该方法进一步拓展至二维空间的均匀与非均匀风场模拟，并提出了结构化非均匀离散策略和基于“舍选法”思想的非均匀离散策略，对波数-频率域进行非均匀离散以降低计算量。
本文针对二维空间均匀脉动风场的模拟问题，首先简要介绍波数-频率联合功率谱的推导过程。在此基础上，进一步构造出基于联合谱的脉动风场模拟的快速Fourier变换形式。应用该方法，对5 MW风力机标准模型桨叶所在平面进行了均匀脉动风场的模拟，验证了该方法的优越性。
从图3-5可以看到，基于样本估计获得的自功率谱密度函数、互相关函数和相干函数与目标值均吻合良好。可见，基于本文的二维空间均匀脉动风场模拟方法具有很好的精度，能够满足实际工程需要。
从图3-5也可以看到，本文方法的模拟精度和经典方法的模拟精度几乎相同。为了检验本文方法的模拟效率，进一步比较了经典方法和本文方法在模拟风力机风轮平面风场的耗费时间。对于该5 MW风机的风轮平面，大约需要模拟250个空间点处的脉动风速[31]。基于经典的风场模拟方法模拟250个点处的脉动风速时程，耗时約为640 s。而本文方法实际上同时在169万个点处进行了模拟，耗时仅约为180 s。因此，本文方法在模拟大型二维均匀脉动风场时效率更高，且避免了可能的数值奇异，不需要对模拟结果进行空间插值。同时值得指出，对于海上风机桨叶旋转问题，采用波数-频率联合功率谱可以方便地通过空-时转换实现旋转桨叶各点的风速采样，同样不需要进行空间插值[32]。但相应的FFT模拟算法尚需进一步研究。
4 結 论
脉动风速场的模拟对于高层、高耸和大跨结构的设计至关重要。本文针对二维空间均匀脉动风场的模拟问题，基于波数-频率联合功率谱方法，引入三维快速Fourier变换技术代替谱表达方法中的三重求和，极大地提高了计算效率。通过模拟5 MW风力机标准模型风轮平面的脉动风速场，对该方法进行了验证。结论如下：
（1）基于波数-频率联合功率谱的风场模拟方法，不需要对空间进行离散，从而避免引入互功率谱矩阵及其分解，理论基础严密，实施更为便捷。
（2）基于联合功率谱方法的二维空间风场模拟需要在波数-频率内进行三重求和，导致了巨大的计算量。引入FFT技术后极大地提高了计算速度，适合实际工程应用。
值得指出，本文仅考察了二维空间中均匀平稳的脉动风速场模拟，其基本思想可以通过进一步引入演变谱的概念推广到非均匀非平稳脉动风速场的模拟中。
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Abstract： The wind field in space is essentially a continuous temporal-spatial random field. In this paper， the wavenumber-frequency joint power spectrum based on the multi-dimensional random field theory for the simulation of the longitudinal homogeneous fluctuating wind speed field in two-spatial dimensions is adopted， involving the utilization of Davenport spectrum and coherence model. Benefiting from the spectrum representation method （SRM）， the fluctuating wind speed field is then obtained directly by the summation of a series of harmonic components， which avoids the spatial discretization and the Cholesky decomposition or the proper orthogonal decomposition （POD） of the cross power spectrum density matrix in the classical spectrum representation method. Furthermore， the fast Fourier transform （FFT） technique is adopted to further enhance the simulation speed. For illustrative purposes， the simulation of a fluctuating wind speed field in two-spatial dimensions for the blades of a wind turbine is addressed. Numerical results reveal the accuracy and efficiency of the proposed method.
Key words： fluctuating wind speed field; wavenumber-frequency joint power spectrum; two-spatial dimensions; spectrum representation method; FFT algorithm
