含间隙振动系统周期振动的多样性和转迁特征

    吕小红 罗冠炜

    

    

    

    摘要： 以两自由度含间隙碰撞振动系统为研究对象，辨识周期振动的模式类型及其在双参平面内的发生区域和分布规律，揭示低频区域无冲击、基本冲击、颤碰和亚谐冲击等周期振动模式类型的多样性和转迁特征，以及擦边分岔点附近鞍结分岔的存在与位移振幅的变化形式之间的关系。在无冲击和基本冲击振动的边界线上存在若干具有自相似分形特征的舌形域。舌形域内亚谐振动的模式类型和分布具有规律性。由于擦边分岔的不可逆性，擦边和鞍结分岔线在相邻周期振动的发生区域之间形成迟滞域，并在舌形域的边界形成一个迟滞域群。相邻迟滞域边界线的横截相交点是奇异点，只有在奇异点，位移振幅连续变化，擦边分岔连续可逆。揭示了奇异点的二重擦边和倍化-鞍结余维二分岔特征。

    关键词： 非线性振动; 分岔; 间隙; 碰撞; 双参耦合

    中图分类号： O322; TH113.1 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0688-10

    DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.006

    引 言

    在机械动力系统中，由于间隙和运动限幅机构的存在，常常导致刚性部件在运行中发生碰撞振动[1-2]。为了消除碰撞对机械设备带来的不利影响或为了提高利用碰撞振动原理设计制造的机械装置的工作性能，国内外学者通过理论分析、数值仿真和实验等方法对碰撞振动系统的周期振动稳定性与分岔[3-5]、混沌激变[6-7]、吸引子共存[8]、控制与反控制[9]等相关问题进行了研究。由于碰撞、擦边接触等非线性因素，使得一些常规的光滑动力系统的定性分析方法难以直接应用于该类系统的动力学研究。Nordmark[10]发现碰撞振动系统存在一种特殊形式的碰撞即擦边碰撞，通过构建Poincaré-Nordmark局部映射研究了系统在擦边分岔点邻域内的动力学行为。Nordmark在此领域的研究工作为后续擦边分岔及奇异性研究奠定了理论基础。其后，国内外学者借助冲击映射和不连续几何拓扑等方法研究了碰撞振动系统的余维一、余维二擦边分岔以及在擦边分岔点邻域内的动力学特性[11-18]。

    碰撞振动系统在低频条件下的颤碰振动是一个不可忽视的动力学现象。Nordmark和Piiroinen[19]构建了碰撞振动系统颤碰-黏滞振动的局部不连续映射，研究了颤碰振动的稳定性与局部分岔。冯进钤等[20]应用彗尾映射分析了Duffing单边碰撞系统的颤振运动和两种颤振分岔。Wagg[21-22]数值模拟了两自由度碰撞振动系统的颤碰和黏滞振动现象，并讨论了周期黏滯振动的多重滑移分岔。Hs和Champneys[23]研究了机械压力溢流阀的擦边分岔及阀和阀座间的颤碰振动特性。据统计，由于异常振动造成机械设备的重大事故多表现为非线性低频振动失稳，但该失稳机理至今还未被研究清楚，因此，碰撞振动系统的低频振动特性及分岔特点仍是学术界研究的主要内容之一，而且已有的对碰撞振动系统的周期振动与分岔等问题的研究报道基本都是取一个系统参数为分岔参数进行研究的，不能较全面地揭示动力学与系统参数的关联。本文基于双参平面研究两自由度含间隙碰撞振动系统周期振动的模式类型、发生区域和分布规律，着重分析系统在低频区域表现的无冲击、基本冲击、颤碰和亚谐冲击等周期振动的分岔，揭示系统周期振动模式类型的多样性和转迁特征，擦边分岔点附近鞍结分岔存在与否的机理，以及无冲击和基本冲击振动的发生区域边界线上的二重擦边和倍化-鞍结余维二分岔。

    1 力学模型

    两自由度含间隙碰撞振动系统的力学模型如图1所示。质量块Mi（i=1， 2）通过刚度为Ki的线性弹簧和阻尼系数为Ci的线性阻尼器连接于支承，两个质量块之间通过刚度为K3的线性弹簧和阻尼系数为C3的线性阻尼器相连。质量块Mi上作用有简谐激励力Pisin（ΩΤ+τ）。用X1和X2分别表示质量块M1与质量块M2的位移。当X1-X2=B时，两个质量块发生碰撞。碰撞过程中的能量损失由碰撞恢复系数R确定。系统中的阻尼为Rayleigh型比例阻尼。

    2 周期振动的模式类型和Poincaré映射

    在不同的系统参数条件下，图1所示系统可能呈现不同模式类型的周期振动或混沌。用p/n区分周期振动的类型，n和p分别表示一个振动周期内的激励力周期数和两个质量块之间的碰撞次数。0/n（p = 0）表示无冲击振动，系统在振动过程中（x1-x2）max<δ，两质量块不发生碰撞。无冲击振动一般存在于高频区域或低频大间隙区域，此时系统为两自由度线性振动系统，其运动状态仅由方程（2）的解决定。1/n （n ≥ 2）单冲击亚谐振动表示两个质量块相邻两次碰撞之间的时间间隔为Tn = 2nπ/ω。

    当激励频率ω和间隙δ比较小时，系统可能呈现p/1（p = 1， 2， 3， …）类基本冲击振动。系统的振动周期为一个激励力周期（T1 = 2π/ω， n = 1）不变，但两个质量块在一个振动周期内的碰撞次数p会随着系统参数的变化而变化。ω或δ越小，p越大，一个激励力周期内的碰撞次数越多。当ω或δ足够小时，p为一个很大的有限值，这类碰撞称为非完整颤碰振动。非完整颤碰振动随着ω或δ的继续减小，颤碰振动的末次冲击速度最终趋向于零，引起两个质量块黏滞振动。有黏滞振动过程的颤碰振动称为完整颤碰振动。非完整和完整颤碰振动分别用/1和/1表示。

    3 相邻周期振动的转迁规律

    图1所示系统共有8个量纲一参数：μm， μk1， μk2，ζ，f，δ，ω和R，其中激励频率ω和间隙δ对系统动力学的影响最大，因此，本文取ω和δ为分岔参数，应用映射σn和σp辨识周期振动的模式类型及其在双参平面内发生区域，然后结合单参数分岔图、相图和扰动映射理论等方法确定边界线的分岔类型，揭示含间隙振动系统周期振动模式类型的多样性及相邻周期振动的演化规律。基于量纲一参数的取值范围，取μm=0.5， μk1=0.5， μk2=0.5，ζ=0.1， f=0和R=0.8，数值计算ω在0.1-8.0，δ在0-0.8变化时的双参数（ω， δ）分岔图如图2（a）所示。

    图2（a）清晰地呈现了（ω， δ）平面内周期振动的模式类型、发生区域和分布规律。在大间隙区域，除了1/1基本冲击振动的发生区域及其边界上的迟滞域和舌形域以外，系统在其余参数区域内呈现0/1无冲击振动。图2（b）为舌形域内亚谐振动的模式类型及其参数岛分布的放大和细节描述。随着δ的减小，系统周期振动的模式类型逐渐呈现多样性。在高频区域，出现了1/n和2/（2n）等亚谐振动的发生区域;在低频区域，出现了p/1基本冲击振动、/1非完整颤碰振动和/1完整颤碰振动的发生区域。p/1类基本冲击振动的发生区域随着p的增大，从右向左依次呈带状域分布，其面积逐渐减小。图2（c）为图2（a）中低频小间隙区域基本冲击振动和颤碰振动的放大。图2（d）揭示了在相邻基本冲击振动之间的舌形域内，亚谐振动的模式类型具有规律性。图2（e）描述了基本冲击振动1/1和2/1之间的舌形域内亚谐振动的参数岛及分岔线类型。图2（f）为1/1振动与1/2振动之间演化的局部放大。

    3.1 0/1振动与1/1振动的转迁过程

    如图2（a）所示，0/1无冲击振动的发生区域被有碰撞振动的发生区域分割为两个子区域S1和S2，其与1/1基本冲击振动的发生区域之间的分界线为0/1振动的擦边分岔线G0/1或1/1振动的鞍结分岔线SN1/1，分岔线类型跟分岔参数的变化方向相关。在子区域S1增大ω，在子区域S2减小ω，或在子区域S1和S2减小δ穿越G0/1，0/1振动经擦边分岔产生1/1振动。在1/1振动的发生区域变化ω或增大δ穿越SN1/1，系统经鞍结分岔转迁为0/1振动。两条分岔线G0/1和SN1/1之间形成一定的迟滞域，见图2（a）标有HR0的灰色区域（子区域S1与1/1振动的发生区域之间的迟滞域很窄，图中没有标出）。0/1振动和1/1振动在迟滞域共存。以δ=0.5为例，ω双向穿越图2（a）所示迟滞域HR0时的单参数分岔图如图3（a）所示。图中，纵坐标为每个激励力周期内的最小相对位移（x1-x2）min，横坐标标目的顶标“”表示分岔参数增大和减小双向变化。减小ω，0/1振动的最小相对位移逐渐增大。当ω=2.1306（G1点）时，（x1-x2）min=δ，两个质量块擦边碰撞，系统表现为0/1擦边振动。继续减小ω，0/1振动经擦边分岔产生1/1振动。最小相对位移（x1-x2）min在擦边分岔后发生了跳跃。当ω增大时，1/1振动在SN1点（ω=2.3753）经鞍结分岔转迁为0/1振动。稳定的0/1振动和1/1振动在G1和SN1之间的迟滞区共存。

    如图2（a）所示，在子区域S1与1/1振动的发生区域之间存在一个舌形域。图2（b）为此舌形域的细节描述。舌形域内，系统主要表现为1/n （n ≥ 2）类单冲击亚谐振动，其发生区域可称为相应亚谐振动的参数岛。舌形域内，1/n振动的参数岛由下而上依次分布，n依次增大，面积依次减小。子区域S1与舌形域之间存在一个很窄的迟滞域群。每个迟滞域的右边界线为0/1振动的擦边分岔线，左边界线为1/n振动的鞍结分岔线，两条分岔线横截相交于两个奇异点。0/1振动和1/n振动的相互转迁只有在奇异点是连续可逆的，两者经擦边分岔相互转迁，鞍结分岔消失。图3（b）和图3（c）为0/1振动与图2（b）所示舌形域内的1/n （n=2， 3）振动经迟滞域群相互转迁的双向分岔图。由图3（b）可见，增大ω，0/1振动在G2点（ω=1.22665）经擦边分岔产生1/2振动。两个质量块的最小相对位移在G2点后发生了跳跃。减小ω，1/2振動在SN2点（ω=1.22521）经鞍结分岔转迁为0/1振动。稳定的0/1振动和1/2振动在G2和SN2之间的迟滞区共存。0/1振动和1/3振动在G3点（ω=1.43108）或SN3点（ω=1.431002）经擦边或鞍结分岔相互转迁，如图3（c）所示。

    为了详细分析图2（b）所示舌形域内1/n单冲击亚谐振动的分岔特点，取ω = 1.6，δ垂直穿越该舌形域时的单参数分岔图如图3（d）和（e）所示。图3（d）为每个激励力周期内的最小相对位移（x1-x2）min随δ减小（蓝色）和增大（红色）的分岔图。图3（e）为质量块M1的碰前速度1-随δ增大的分岔图，图中横坐标标目的顶标“→”表示分岔参数增大。图3（f）为图3（e）中1/2振动发生周期倍化分岔的放大图。结合图3（d）和（e）两个分岔图，可以辨识周期振动在一个振动周期内的激励力周期数n和碰撞次数p，从而确定p/n振动。图3（d）和（e）中，1/n（n=2， 3， 4）单冲击亚谐振动的窗口清晰可见。减小δ分别穿越δ=0.94405和δ=0.92512时，1/4和1/3振动经擦边分岔转迁为混沌。当δ=0.76346时，1/2振动经擦边分岔产生1/1振动。增大δ穿越δ=0.79308时，1/1振动经倍化分岔产生2/2振动，然后当δ=0.79312时，2/2振动经鞍结分岔产生1/2振动。由于1/2振动的擦边分岔的不可逆性，在2/2振动的鞍结分岔点和1/2振动的擦边分岔点之间的迟滞区δ∈（0.76346， 0.79312）内，1/1和1/2振动，或2/2和1/2振动共存，如图3（d）所示。图4（a）给出了δ=0.78时，系统共存的1/1振动（红色）和1/2振动（蓝色）的相图。图4（a1）为图4（a）的局部放大。1/2振动的相轨线表现为一次碰撞轨线和一次非碰撞轨线。减小δ，1/2振动的非碰撞轨线逐渐靠近碰撞面。当δ减小至δ=0.76346时，非碰撞轨线与碰撞面擦边接触，如图4（b）和图4（b1）所示。穿越擦边分岔点，1/2振动经擦边分岔产生1/1振动，并与已经存在的1/1振动的相轨线重合。由上面的分析可知，图2（b）所示舌形域与1/1振动的发生区域之间存在一个迟滞域，其右边界为1/2振动的擦边分岔线，左边界为2/2振动的鞍结分岔线。两条分岔线横截相交于两个奇异点，连接着舌形域左边界上的迟滞域群，因此，奇异点既是0/1振动的二重擦边分岔点，也是1/1振动的倍化-鞍结余唯二分岔点。

    Humphries和Piiroinen [25]以单自由度周期激励碰撞振子为例，应用不连续几何的拓扑方法解释了擦边分岔点附近鞍结分岔存在与否的原因，但是这种方法很难直接应用于多自由度碰撞振动系统。由前面的分析可知，如果碰撞振动系统的位移振幅在擦边分岔后出现跳跃，则在擦边分岔点附近存在鞍结分岔，并形成迟滞区。相邻两类运动经擦边分岔或鞍结分岔相互转迁，分岔类型与分岔参数的变化方向相关。如果位移振幅在擦边分岔后连续变化，则鞍结分岔点与擦边分岔点重合，鞍结分岔消失。相邻两类运动经擦边分岔相互转迁，分岔过程连续可逆。关于这个结论的理论证明还有待进一步研究。

    3.2 基本冲击振动的转迁特征

    在图2（a）所示低频小间隙区域，系统主要呈现p/1类基本冲击振动，/1非完整颤碰振动和/1完整颤碰振动。图2（c）区分了p/1（p=1， 2， 3， …， 8）振动和/1振动的发生区域，p/1（p>8）振动和/1振动的发生区域归结在一起。在相邻p/1振动的发生区域之间，存在舌形域和迟滞域两类过渡区域。

    p/1基本冲击振动的发生区域的边界线呈现波浪状，在每个波段的峰值位置出现一个舌形域。所有舌形域具有自相似分形特征，面积自右向左依次减小。由图2（d）可见，在p/1振动和（p+1）/1振动之间的舌形域内，可见（2p+1）/2等（np+1）/n （n ≥ 2）類亚谐冲击振动的参数岛。舌形域的上边界为p/1振动的擦边分岔线Gp/1或（np+1）/n振动群的鞍结分岔线SN（np+1）/n。Gp/1和SN（np+1）/n形成一个迟滞域群。每个迟滞域内，p/1振动和相应的（np+1）/n振动共存。舌形域的下边界为周期倍化分岔线PD（p+1）/1或擦边分岔线G（2p+1）/2。穿越PD（p+1）/1，（p+1）/1振动产生（2p+2）/2振动而嵌入舌形域，然后经过鞍结分岔线SN（2p+2）/2转迁为（2p+1）/2振动。分岔参数反方向变化时，（2p+1）/2振动经擦边分岔直接转迁为（p+1）/1振动而退出舌形域。在SN（2p+2）/2和G（2p+1）/2之间的迟滞域内，（p+1）/1和（2p+1）/2，或（2p+2）/2和（2p+1）/2共存。每个舌形域的上下边界横截相交于两个奇异点，与相邻p/1振动转迁过程中的迟滞域相连，因此，奇异点既是p/1振动的二重擦边分岔点，也是（p+1）/1振动的倍化-鞍结余维二分岔点。

    （np+1）/n （n=2， 3， …）亚谐冲击振动的参数岛在舌形域内自下而上依次分布。当δ增大时，（np+1）/n振动或经鞍结分岔退出舌形域转迁为p/1振动，或经周期倍化分岔产生（2np+2）/2n振动，然后经鞍结分岔转迁为[（n+1）p+1]/（n+1）振动;减小δ，（np+1）/n振动经擦边分岔产生[（n-1）p+1]/（n-1）振动。（np+1）/n振动的擦边分岔使得系统的振动周期减小1个激励力周期，一个振动周期内的碰撞次数减少p次，因此，（2p+1）/2振动的擦边分岔因为产生（p+1）/1振动而退出舌形域。（2np+2）/（2n）振动的鞍结分岔线和[（n+1）p+1]/（n+1）振动的擦边分岔线在相邻（np+1）/n振动的参数岛之间形成一个迟滞域。迟滞域内，（np+1）/n和[（n+1）p+1]/（n+1），或（2np+2）/2n和[（n+1）p+1]/（n+1）共存。迟滞域的上下边界横截相交于两个奇异点。该奇异点是（np+1）/n与[（n+1）p+1]/（n+1），及（np+1）/n与p/1振动之间的两个迟滞域的连接点，也是p/1振动的二重擦边分岔点和（np+1）/n振动的倍化-鞍结余维二分岔点。

    图2（e）为存在于基本冲击振动1/1和2/1之间的一个舌形域的细化和边界线描述。图中可清楚地观察到3/2，4/3等（n+1）/n （p=1）类亚谐冲击振动的参数岛，X1和X2为奇异点。舌形域的上边界为1/1振动的擦边分岔线G1/1或（n+1）/n振动群的鞍结分岔线SN（n+1）/n，下边界为擦边分岔G3/2或周期倍化分岔线PD2/1。分岔线G1/1和相邻的SN（n+1）/n形成一个很窄的迟滞域HR1/1∩（n+1）/n，导致在舌形域的上边界出现至少由3个迟滞域组成的一个迟滞域群。每个迟滞域内，1/1振动和相应的（n+1）/n振动共存。舌形域与2/1振动的发生区域之间，由擦边分岔线G3/2和鞍结分岔线SN4/2形成一个迟滞域HR2/1∩3/2。3个迟滞域HR1/1∩3/2，HR2/1∩3/2和HR1的6条边界线横截相交于X1点，因此，X1点既是1/1振动的二重擦边分岔点，也是2/1振动的倍化-鞍结余维二分岔点。图6（a）和（b）为ω=1.02，δ垂直穿越图2（e）所示舌形域的单参数分岔图。当δ=0.3时系统呈现3/2振动，如图7（a）所示。减小δ至δ=0.29502时，3/2振动经擦边分岔产生2/1振动。当δ增大至δ=0.29652时，2/1振动经周期倍化分岔产生4/2振动，然后当δ=0.29665时，2/2振动经鞍结分岔产生3/2振动。在3/2振动的擦边分岔点和4/2振动的鞍结分岔点之间的迟滞区δ∈（0.29502， 0.29665）内，3/2和2/1振动，或3/2和4/2振动共存。图7（b）为共存的3/2擦边（蓝色）和2/1（红色）振动的相图。

    3.3 单冲击振动的分岔

    在图2（a）所示高频小间隙区域，系统主要呈现1/n（n≥2）单冲击亚谐振动和2/（2n）亚谐振动。1/n振动的上下边界分别为0/1振动的擦边分岔线（或1/n振动的鞍结分岔线）和1/n振动的周期倍化分岔线。1/n振动的周期倍化分岔产生2/（2n）振动。图2（f）为1/1振动和1/2振动之间演化的细化图。1/n（n≥1）振动在向混沌演化的过程中，由于发生多冲击亚谐振动的擦边分岔，使得1/n振动的周期倍化序列中断，只有在很小的间隙区域内，1/1振动经周期倍化序列通向混沌。在1/1振动和1/2振动之间，出现了如2/3，3/5，5/8，6/8等多冲击亚谐振动的发生区域。

    4 結 论

    本文以两自由度含间隙碰撞振动系统为研究对象，通过构建两种Poincaré映射辨识了周期振动的模式类型及其在双参平面内的发生区域和分布规律，详细分析了相邻p/1（p≥0）振动经迟滞域和舌形域相互转迁的机理和规律，以及舌形域内亚谐振动的规律性和分岔特征。

    p/1（p≥0）振动的擦边分岔或产生（p+1）/1基本冲击振动或（np+1）/n （n≥2）类亚谐振动。在0/1与1/1振动之间的舌形域内，1/n（n≥3）振动经擦边分岔产生混沌，而在相邻p/1振动之间的舌形域内，（np+1）/n振动经擦边分岔产生[（n-1）p+1]/（n-1）振动。

    在双参平面内，相邻p/1（p≥0）振动迟滞域和舌形域相互转迁。舌形域内亚谐振动的模式类型和分布具有规律性。由于擦边分岔的不可逆性，擦边和鞍结分岔线在相邻周期振动的发生区域之间形成迟滞域，并在舌形域的边界形成一个迟滞域群。每个迟滞域的上下边界横截相交于两个奇异点。只有在奇异点，相邻周期振动经擦边分岔转迁，鞍结分岔消失。奇异点也是相邻3个迟滞域，即6条边界线的横截点，因此，奇异点是p/1振动的二重擦边分岔点和（np+1）/n（n≥1）振动的倍化-鞍结余维二分岔点。

    如果碰撞振动系统的位移振幅在擦边分岔后出现跳跃，则在擦边分岔点附近存在鞍结分岔，并形成迟滞区;如果位移振幅在擦边分岔后连续变化，则鞍结分岔点与擦边分岔点重合，相邻两类运动在擦边分岔点的相互转迁连续可逆。关于这个结论的理论证明还有待进一步研究。

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    Abstract： A two-degree-of-freedom vibro-impact system with a clearance is considered. Diversity， existence and stability domains， and distribution regularities of periodic motions are obtained numerically in the double-parameter plane by constructing two Poincaré maps. Bifurcations of periodic motions in the low frequency region， such as impactless motion， fundamental impact， chattering and subharmonic impact motions， are analyzed. Diversity and transition characteristics of pattern types of periodic motions of the system， and relation between the existence of saddle-node bifurcation in the vicinity of the grazing bifurcation and the variation of displacement amplitude are revealed. Some small tongue-shaped regions that have self-similarity and fractal characteristic appear on the boundary of impactless motions and fundamental impact motions. Pattern type and distribution of subharmonic impact motions in the tongue-shaped regions show regularity. Given the irreversibility of grazing bifurcation of impactless motions， fundamental impact motions， and subharmonic impact motions in tongue-shaped regions， the hysteresis domain forms between the existence regions of adjacent periodic motions， and a group of hysteresis domains appear on the boundary of the tongue-shaped regions. Two boundary curves of each hysteresis zone intersect at two singular points. The grazing bifurcation is continuous and reversible and saddle-node bifurcation is absent only at these singular points. The displacement amplitude of the impact oscillator varies continuously just after them. Each singular point is the junction of adjacent hysteresis domains， and also a point of double grazing bifurcation flip-fold codimension-2 bifurcation.

    Key words： nonlinear vibration; bifurcation; clearance; impact; double-parameter coupling