“会教”

    周晶晶

    [摘? 要] “会教”是一个科学的教与学的过程，从勾股定理和三角形全等来看，“会教”一方面要教会学生理解、掌握知识，更重要的是要重视学生高阶思维的培养，促进学生积极思考、主动回答、善于交流，这样才能发展学生数学核心素养.

    [关键词] 会教;勾股定理;三角形全等;高阶思维;培养方法

    教育家陈鹤琴说：“没有教不好的学生，只有不会教的老师. ” 作为青年教师，笔者也听了很多教师的课，其中有高级教师、骨干以及专家的课，也有不少刚参加工作相对缺少经验的教师的课，对比下来，感慨颇多. 首先，不同教师风格截然不同;其次，“会教”的教师课堂效果好，好在“会设计”“会提问”“会互动”，学生也变得“会思考”“会回答”“会交流”.笔者认为，久而久之，学生能力的差别会很明显.

    下面笔者以两节公开课的教学片段为例试谈对“会教”的一点理解.

    勾股定理的课堂片段

    （一）目标导入

    如图1，乌龟从A爬到C再爬到B，兔子由A跑到B，已知AC=3米，BC=4米，问兔子和乌龟谁走的路程短？短多少？

    （二）自主探究

    1. 如图2（每个小正方形的面积为单位1），三个正方形的面积有什么关系？中间的直角三角形的三边存在什么关系？

    2. 如图3（每个小正方形的面积为单位1），正方形P的面积S =____;正方形Q的面积S =_____;正方形R的面积S =______. 由此我们可以发现，正方形P，Q，R的面积关系是________. 由此，我们得出Rt△ABC的三边的长度之间存在的关系是________.

    3. 在方格纸上，任意画一个直角三角形（顶点均在格点上），上述发现的结论是否仍然成立？写出你认为正确的结论. （见另附纸张）

    4. 数学上可以说明：对于任意的Rt△ABC，其中∠C=90°，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有结论：________. （如图4所示）这种关系我们称为勾股定理.

    （三）课堂评析

    该设计看似合情合理，通过目标导入可以明确本节课的教学目标，要研究三角形的三边关系，通过自主探究可以知道三角形的三边满足平方关系，两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果从思维培养的角度来看，试问在这个过程当中，学生的思维又得到了多少锻炼呢？学生的思维总是跟着老师事先安排好的走，也是低层次的思维. 学生为什么要研究直角三角形的三边关系？为什么要在方格纸上研究，仅仅是为了计算方便吗？老师对于學生的学情了解吗？他们运用过方格纸解决问题吗？

    笔者对这个片段做如下设计：

    首先我们拿出两根小棒，一根长为3，一根长为4，预设了如下对话.

    师：若组成一个三角形，第三根小棒的可能长度是多少？

    生：学生很容易根据之前学习的三角形的三边关系得出第三边的范围，1<x<7.

    师：第三边的长有多少种情况？

    生：无数种，根据三角形的三边关系可得.

    师：好，那么两根小棒组成最长、最短的线段分别是多少？

    生：两根小棒的夹角180°时最长为7，夹角为0°时最短为1.

    师：如果两根小棒的夹角为90°时，第三边的长会是多少呢？

    （有预习过的学生可能会说是5，很多学生可能无法回答）

    师：你怎么知道是5呢？

    生：测量.

    师：测量当然可以，但是我们知道误差会影响我们的精确度，如何做可以避免呢？

    生：放在方格纸上来研究.

    （四）思考与感悟

    如果这样设计教学，每一个小问学生都要去思考，而不是一直在被动地接收、验证. 我们已经知道了一般三角形的三边关系，但最多只知道第三边的范围，如果是特殊的直角三角形，我们可不可以直接求它的边长呢？如何研究呢？头脑灵活的学生肯定能想到将其放到方格纸上去研究，因为在小学的数学书上，一直有在方格纸上解决图形面积的问题，所以他们是有基础的. 通过这一过程，学生就能由一般的三角形自然地过渡到特殊的直角三角形，想到如何去研究直角三角形的三边关系. 这样，学生的知识就不是老师在单纯地灌输，而是他们积极思考的结果. 要研究什么？怎样研究？为什么要研究？这是研究问题的本质所在，即要让学生有问题意识. 爱因斯坦说过，提出一个问题比解决一个问题更加重要，培养问题意识和问题解决能力也是当前教师面临的一个问题. 美国教育家鲁巴克也说过，最精湛的教学艺术，就是让学生提出问题. 数学的教学就是思维的教学，所谓思维，即“思考”，它正是教学中的一股清流，“会教”的老师的课堂必定能促进学生思维的提高，从而浸润学生的心田.？摇

    正如一位教育专家所说，要想了解数学教师的教育理念和教学基本功，就让他展示勾股定理的教学. 这是因为勾股定理的教学可以真实反映一位教师的数学观、教学观、学生观. “会教”的老师一定会采用对学生思维有启发作用的方式，也能把学生带入一个很好的学习状态中，学生在其中变得会思考，变得聪敏了，这也是我们教育的目的之一.

    探索三角形全等条件——

    ASA定理的课堂片段

    （一）在问题中“找元素”

    教师将一三角形撕掉一角，三角形变成两块，贴在黑板上，标上1号（有原三角形的两角一边），2号（只有原三角形的一个角）.

    问题1：你用哪一块可以还原成原来的三角形呢？（有的说1号，有的说2号）

    问题2：哪位同学可以上黑板帮我还原出来呢？（学生用1号画出来了，延长两条边交于一点）

    问题3：你们做出来的三角形和原三角形是什么关系？（齐答全等）

    问题4：为什么1可以，2不可以呢？（有的说1中有原三角形的两个角，有的说有两个角和一条边，有的说2可以画出很多三角形. 最后形成统一观点：该部分有原三角形的两角一边）

    师：刚才只是一种猜想，是不是有两角及一边相等，两个三角形就全等了呢？现在老师手上有3个三角形（如图5），满足你们所说的条件，看全等吗？

    学生有的说都全等，有的说都不全等，也有的说第①个和第③个全等.

    师：眼睛会不会欺骗我们呢？谁上台来给大家演示一下，说明是全等的？

    一位学生上去发现第①个和第③个重合，而与第②个不重合.

    师：①③与②有什么区别吗？

    这个问题又引起了学生的思考，发现①和③都是同一条边上的两个角对应相等.

    师：即两角及夹边對应相等的两三角形全等. 如果我把刚才三角形中具体的40°，60°，2.5，换成α，β，a，此时满足这样条件的三角形都全等吗？

    学生都认为全等.

    师：怎么说明呢？

    学生表示用画图来说明.

    （二）尺规作图

    按下列方法，用直尺和圆规作△ABC，使AB=a，∠A=∠α，∠B=∠β.

    （1）作AB=a.

    （2）在AB的同一侧分别作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β，AM，BN相交于点C.

    （3）△ABC就是所求作的三角形.

    （三）课堂评析

    首先，通过四个问题，让学生初步感知三角形全等，需要三个元素：两角一边. 不过，这只是一种感性的认识. 然后，让学生亲自体验，摆放三个三角形，看看是否全等，又发现必须是两角及其夹边对应相等的三角形才能全等. 学生以为他们猜对了，但这只是一种特殊情况，不具有一般性. 这时学生正处于中度思考问题的程度. 最后，学生用尺规作图，经历从特殊到一般的过程，这样才能达到一种深入思考问题的程度. 这次课堂设计思路缜密，层层递进，很符合学生的认知规律.

    （四）思考与感悟

    我们都知道，任何一个定理的得出，都要经历“猜想，验证，证明”的过程，所以一定要让学生亲身体验探索问题的过程，而不能直接告知，否则学生对知识点的掌握仅停留在记忆层面，时间一长就忘了. 而动手操作，让他们不断地感知、体验、实践、交流、反思、总结，这对思维的培养会远超这一节课所学的内容. 长期下来，笔者认为他们就会形成积极主动思考问题的习惯. 数学教育的一个主要目的是培养学生的创新意识和创新能力，问题是数学发展的原驱动力，也是增强趣味性、提升教学效果的源泉，问题的驱动，是发展学生数学核心素养的重要保证，也是在真正完成素质教育的使命.

    纵观本片段的教学，执教者遵循数学定理学习的一般规律，始终引导学生构建有意义的数学思考，培养高层次思维，帮助学生理解数学学科的本质，收获了很好的教学效果.