拦截低慢小弹道解算方法研究与实现
李晶 孟立凡 刘春美 李菠 黄广炎 乔志强
摘 要： 为满足单兵拦截低空慢速小型无人飞行器实战中对弹道解算器的低成本、小体积、高精度的要求，设计了一种在STM32硬件平台上实现的手持弹道解算器。通过研究弹丸质心运动模型及其数值解法，提出并设计了基于STM32F407平台的提前命中目标位置的精确弹道解算方法，并完成软硬件调试。实验结果表明，设计的手持弹道解算器在精度和實时性方面能够满足单兵拦截低慢小目标作战需求。
关键词： 低慢小无人飞行器； 手持弹道解算器； STM32F407； 弹道模型
中图分类号： TN911.1?34； TP274 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）07?0032?04
Research and implementation of trajectory resolving method intercepting
low?altitude， slow?speed and small?size UVA
LI Jing1， MENG Lifan1， LIU Chunmei2， LI Bo1， HUANG Guangyan3， QIAO Zhiqiang4
（1. National Key Laboratory for Electronic Measurement Technology， North University of China， Taiyuan 030051， China；
2. The First Research Institute of Ministry of Public Security， Beijing 100048， China；
3. State Key Laboratory of Explosion Science and Technology， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China；
4. School of Mechanical and Power Engineering， North University of China， Taiyuan 030051， China）
Abstract： In order to meet the requirement of the single pawn to intercept the low?altitude， slow?speed and small?size UAV in the actual combat for the low?cost， small?size and high?precision trajectory solver， a handheld trajectory solver implemented on the STM32?based hardware platform was designed. The motion model of the projectile barycenter and its numerical solution are studied to propose and design the STM32F407 platform based accurate trajectory solving method to hit the target beforehand. The hardware and software are debugged. The experimental results show that the handheld trajectory solver can meet the fight requirement that the single pawn can intercept the low?altitude， slow?speed and small?size UAV in the aspects of the accuracy and real?time performance.
Keywords： low?altitude， slow?speed and small?size UAV； handheld trajectory solver； STM32F407； trajectory model
0 引 言
低空慢速小型无人飞行器（以下简称“低慢小”）因其具有升空突然、易操控、反射截面小、隐蔽性强等优势，成为城市防空的难点和重点[1]。单兵发现“低慢小”并实施拦截时，不能使用现有的防空武器和枪支等杀伤性武器，需选择软毁伤的拦截方式。而弹道解算器的解算精度和速度是对目标实行精确拦截的关键，在微控制器的能力范围内，最大限度的提高弹道解算算法的解算精度是提高弹道测试精度的重要途径。而计算弹道解算方程组比较复杂，在精度较高的情况下相比来说速度就会降低，因此寻找精度高且计算量小的算法显得尤为重要[2]。在确定解算算法后，弹道解算器既要保证计算精度，又要满足单兵模式拦截中对弹道解算器体积小型化、低功耗、解算速度快的要求。而传统的弹道解算多运行在较大型的计算机系统上[3]，难以满足单兵拦截时对弹道解算器的小巧、灵活、操作简便、节能等需求。因此有必要选择一种低功耗、高性能的微控制器，在精确解算外弹道微分方程组的基础上，开发出一种嵌入式便携军用弹道解算器，用于单兵拦截低慢小中弹道的快速解算。
本文正是基于这样的需求下，通过建立弹丸质点弹道模型，研究高精度弹道快速解算方法。选取低功耗、高性能的微控制器，设计出一种基于单片机STM32F407平台的便携军用弹道解算器，具有体积小、能耗低、解算精度高的特点，能够满足单兵拦截低慢小的需要[4]。
1 基础理论
1.1 提前命中目标位置分析
低慢小定位系统几何模型如图1所示，点[O]为炮口中心，[P1，P2]为低慢小飞行轨迹中的两位置点。[P1]为当前时刻低慢小位置，[P2]为经过[t]时间后的位置，[h1，h2]是低慢小的高度，[d1，d2]是低慢小的水平距离，[θ1，][θ2]是炮高低角，为了让弹药精确拦截低慢小目标，炮必须提前[t]时间射击，这样才有可能使弹目交会，具体操作过程如下：经过探测装置测得[P1]点低慢小的位置及速度信息，经[t]时间后低慢小飞行到[P2]点，提前[t]时间发射弹丸，经过[t]时间后弹丸与低慢小在[P2]遭遇，将低慢小拦截。
其中式（1）为低慢小运动方程组，利用方程（2）可以得到高低角及可拦截时间[t，]这两个公式联立就是一般的弹目交会方程组。
1.2 外弹道模型建立
有些比较复杂的外弹道模型精度很高但解算速度较低，所以在均衡解算精度和速度的情况下，对于设计正确的弹丸，围绕质心的转动对质心运动影响不大，可以暂时忽略围绕质心转动对质心运动的影响，即认为攻角始终为零，科氏加速度为零，地球表面是平面，重力加速度的大小不变、方向始终向下，气象条件是标准的、无风雨。采用弹丸质心运动微分方程组作为计算模型，弹丸受力分析如图2所示。
直角坐标系的外弹道运动微分方程组经化简后如下：
参数说明：[H（y）]为空气密度函数，[H（y）=][（20 000-y）（20 000+y）]（经验公式）；[G（v）=4.737×10-4vCx0，][v=v2x+v2y，]其中[v0]为弹丸初速，[Cx0]为阻力系数；[c]为弹道系数[5]。
上述弹道解算主要涉及三角、反三角及四则计算等，并且需要参数数值的大量转换[6]，由空气弹道存在的惟一性定理可知，弹道系数、射角（高低角）和炮弹初速可以完全且惟一的决定一条弹道，因此，得到准确的高低角和可拦截时间是进行外弹道微分方程组解算的目的。
2 弹道解算方案
2.1 算法实现
进行外弹道常微分方程组实时解算常用的数值解法有牛顿?迭代法、欧拉法、龙格?库塔法等，不同的解法对应的精度不一样，在速度一定的情况下，牛顿?迭代法、欧拉法的解算精度大约为一阶，而龙格?库塔进行解算的精度为二阶，龙格?库塔法精度较高，因此，这里用四阶R?K的方法[7?9]。按初值问题求解微分方程组，将式（3）进行解算，目的是求解出射击高低角和可拦截时间。该运算方法的思想如下：通过计算函数某些点上的函数值，经过对函数值做线性组合，构造一组近似的计算公式，通过近似公式和泰勒展开式进行比较，得到一定精度的计算公式[6]：
解算外弹道微分方程组需要通过迭代进行计算，即每次的求解需要上步的运算结果，前后的两次运算具有相关性，运算过程的关键在于选取合适的迭代步长，虽然步长短能提高精度但计算时间过长，导致最终发射累积误差较大，步长过长会引起迭代发散，本文通过选取合适的迭代步长进行计算。
首先将给定的弹丸初始速度及有关参数代入式（3），利用式（5）解算微分方程组，解算出弹丸击中低慢小时的高低角及可拦截时间，将击中点坐标和由式（1）预测该时刻低慢小的位置坐标进行比较，检验精度是否满足要求，其中本文采取相对高度误差和相对水平误差最大不超过10 m（采取拦截网方式拦截时，网面积一般不小于100 m2），如果满足则可得射击高低角及可拦截时间，若不满足要求，则继续迭代，同时在迭代过程中不断检查运算进行的迭代次数，如果迭代次数超过所定次数则认为迭代失败，重新将初始值代入公式进行上述计算，不断重复上述计算过程直至得出解算结果。
2.2 利用单片机进行弹道解算
本系统设计实现的硬件实验平台采用Keil μVision5作为编程工具，将ALIENTEK公司STM32系列STM32F407型号作为弹道解算控制器的核心芯片。STM32F407采用Cortex M4内核，拥有集成FPU和DSP指令，该芯片配置非常强悍，很多功能相对STM32F1进行了重大改进，例如FSMC的速度，F4刷屏速度可達3 300 万像素/s，可以有效处理例如FFT，DTMF等各种复杂运算[10?11]，选择STM32F407ZGT6作为弹道解算控制器核心板，利用实验板进行外弹道解算和相关控制，理论上，该实验板可以满足计算要求。
3 弹道解算验证
3.1 算法可行性验证
以某型弹丸为例，对其任意射角的弹道在计算机上进行仿真计算，将解算结果和该型号的弹丸射表进行比较，得到本文提出的算法解算精度。图3是选择射角为45°时在计算机上解算的数据和射表的比较。在对低慢小无人飞行器进行拦截时，为了提高拦截成功率，要求弹丸在弹道的上升段与目标相遇[12]，所以假设弹丸做上升运动时将低慢小有效拦截。
对图中数据进行统计分析，运算的结果和射表距离相差不大，只有在末期才出现一定小角度的偏离，利用龙格?库塔算法解算微分方程组时，是把前一次的迭代结果作为下一次迭代输入，也就是说会把前一次迭代产生的误差引入下次计算中，从而产生误差累计[13]，由图3得到粗略的统计结果：遭遇位置最大距离误差可以控制在0.2 m之内，存速最大误差在0.3 m/s内，可以看出本文提出的算法仿真结果和射表数据基本吻合，可以用于弹道的仿真计算。
3.2 解算实例验证
在选择高精度快速弹道解算方法的基础上，微控制器的解算精度与速度是弹道解算的关键，因此，需要对STM32F407单片机的解算精度与速度进行验证。
通过对弹丸不同初速时，目标做不同运动的大量数据分析，最大相对距离误差<10.0 m，解算耗时在12 ms之内，可以认为基于单片机STM32F407平台设计的弹道解算器满足对“低慢小”飞行物软毁伤拦截时的精度。
选取目标做不同运动时采集两组数据，解算结果见表1和表2。
4 系统设计
基于STM32F407单片机平台设计的弹道解算器主要包括显示部分、电源部分、通信部分和控制部分，其中，單片机部分主要用于数据采集和弹道解算，通信部分用于系统调试和参数装定，电源部分为弹道测试系统提供工作电源，显示部分用于显示相关参数。通过对单片机的编程，并和有关器件配合设计实现了对显示、通信、电源等部分的控制。
5 实验与分析
本文将拦截对象选为常见可自行组装的小型航模机，尺寸为450 mm×450 mm，采取的拦截网面积为15 m×20 m，共进行三次试验，第一次试验是在风速为2.67 m/s的环境下进行，网被航模机的一个螺旋桨缠绕，航模机坠落，第二次试验时风速为7.56 m/s，网被风吹的较远，未能触碰航模机，第三次试验风速为3.88 m/s，航模机两个桨被网缠绕，航模机坠落。根据实地试验，在风速较小的情况下可以进行有效拦截。
6 结 论
本文通过建立弹丸质点运动模型，在选择高精度弹道快速解算方法的基础上，选用单片机STM32F407为主控制器实现弹道解算，相比在较大型计算机上进行解算的方式，资源消耗不多、运行速度快、性能稳定且便于携带，具有较强的实用性。并且，本文对低慢小进行了软毁伤拦截实验，在风速较小的情况下初步实现了采用不小于100 m2的网对“低慢小”进行成功拦截，实验结果表明，本文设计的集高精度、速度快、低功耗且小型化于一体的手持弹道解算器在单兵进行拦截低慢小目标的实际应用中可以使用。
注：本文通讯作者为刘春美。
参考文献
[1] 张建伟，郭慧明.低空慢速小目标拦截系统研究[J].计算机工程与设计，2012，33（7）：2874?2878.
[2] 申强，杨登红，李东光.基于MSP430单片机的弹道解算方法研究与实现[J].北京理工大学学报，2011，31（2）：140?143.
[3] 吴红权，赫赤，韦宏强，等.基于Android平台嵌入式弹道仿真系统研究与实现[J].系统仿真学报，2013，25（8）：1741?1745.
[4] 陈伟.基于RT?thread的远程家用服务机器人系统开发[D].杭州：浙江工业大学，2015：13?15.
[5] 韩子鹏.弹箭外弹道学[M].北京：北京理工大学，2008：145?188.
[6] 潘艇，杨福彪，朱勇，等.基于龙格?库塔的弹道微分方程解算的FPGA实现[J].计算机测量与控制，2015，23（12）：4217?4220.
[7] 王旭智，孙中森，宋建中.利用外弹道微分方程组实时快速解算高炮理论弹道的研究[J].电子器件，2007，30（6）：2297?2306.
[8] 孙幸福，狄邦达.高炮火控外弹道实时解算及其应用[J].火力与指挥控制，2007，32（5）：110?112.
[9] 胡绍勇，朱齐丹.快速解命中的一种改进算法[J].火力与指挥控制，1998，23（1）：65?69.
[10] 张洋，刘军，严汉宇.原子教你玩STM32（库函数版）[M].2版.北京：北京航空航天大学出版社，2015：18?20.
[11] 曹彬乾，程远增，孙书鹰，等.基于STM32步进电机多细分控制的设计[J].科学技术与工程，2013，13（23）：6893?6897.
[12] 肖元星，张冠杰.地面防空武器系统效费分析[M].北京：国防工业出版社，2006：280?310.
[13] 马飞，赵光权，彭宇.FPGA实现飞轮模型求解方法研究[J].计算机测量与控制，2011，19（11）：2795?2797.
摘 要： 为满足单兵拦截低空慢速小型无人飞行器实战中对弹道解算器的低成本、小体积、高精度的要求，设计了一种在STM32硬件平台上实现的手持弹道解算器。通过研究弹丸质心运动模型及其数值解法，提出并设计了基于STM32F407平台的提前命中目标位置的精确弹道解算方法，并完成软硬件调试。实验结果表明，设计的手持弹道解算器在精度和實时性方面能够满足单兵拦截低慢小目标作战需求。
关键词： 低慢小无人飞行器； 手持弹道解算器； STM32F407； 弹道模型
中图分类号： TN911.1?34； TP274 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）07?0032?04
Research and implementation of trajectory resolving method intercepting
low?altitude， slow?speed and small?size UVA
LI Jing1， MENG Lifan1， LIU Chunmei2， LI Bo1， HUANG Guangyan3， QIAO Zhiqiang4
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2. The First Research Institute of Ministry of Public Security， Beijing 100048， China；
3. State Key Laboratory of Explosion Science and Technology， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China；
4. School of Mechanical and Power Engineering， North University of China， Taiyuan 030051， China）
Abstract： In order to meet the requirement of the single pawn to intercept the low?altitude， slow?speed and small?size UAV in the actual combat for the low?cost， small?size and high?precision trajectory solver， a handheld trajectory solver implemented on the STM32?based hardware platform was designed. The motion model of the projectile barycenter and its numerical solution are studied to propose and design the STM32F407 platform based accurate trajectory solving method to hit the target beforehand. The hardware and software are debugged. The experimental results show that the handheld trajectory solver can meet the fight requirement that the single pawn can intercept the low?altitude， slow?speed and small?size UAV in the aspects of the accuracy and real?time performance.
Keywords： low?altitude， slow?speed and small?size UAV； handheld trajectory solver； STM32F407； trajectory model
0 引 言
低空慢速小型无人飞行器（以下简称“低慢小”）因其具有升空突然、易操控、反射截面小、隐蔽性强等优势，成为城市防空的难点和重点[1]。单兵发现“低慢小”并实施拦截时，不能使用现有的防空武器和枪支等杀伤性武器，需选择软毁伤的拦截方式。而弹道解算器的解算精度和速度是对目标实行精确拦截的关键，在微控制器的能力范围内，最大限度的提高弹道解算算法的解算精度是提高弹道测试精度的重要途径。而计算弹道解算方程组比较复杂，在精度较高的情况下相比来说速度就会降低，因此寻找精度高且计算量小的算法显得尤为重要[2]。在确定解算算法后，弹道解算器既要保证计算精度，又要满足单兵模式拦截中对弹道解算器体积小型化、低功耗、解算速度快的要求。而传统的弹道解算多运行在较大型的计算机系统上[3]，难以满足单兵拦截时对弹道解算器的小巧、灵活、操作简便、节能等需求。因此有必要选择一种低功耗、高性能的微控制器，在精确解算外弹道微分方程组的基础上，开发出一种嵌入式便携军用弹道解算器，用于单兵拦截低慢小中弹道的快速解算。
本文正是基于这样的需求下，通过建立弹丸质点弹道模型，研究高精度弹道快速解算方法。选取低功耗、高性能的微控制器，设计出一种基于单片机STM32F407平台的便携军用弹道解算器，具有体积小、能耗低、解算精度高的特点，能够满足单兵拦截低慢小的需要[4]。
1 基础理论
1.1 提前命中目标位置分析
低慢小定位系统几何模型如图1所示，点[O]为炮口中心，[P1，P2]为低慢小飞行轨迹中的两位置点。[P1]为当前时刻低慢小位置，[P2]为经过[t]时间后的位置，[h1，h2]是低慢小的高度，[d1，d2]是低慢小的水平距离，[θ1，][θ2]是炮高低角，为了让弹药精确拦截低慢小目标，炮必须提前[t]时间射击，这样才有可能使弹目交会，具体操作过程如下：经过探测装置测得[P1]点低慢小的位置及速度信息，经[t]时间后低慢小飞行到[P2]点，提前[t]时间发射弹丸，经过[t]时间后弹丸与低慢小在[P2]遭遇，将低慢小拦截。
其中式（1）为低慢小运动方程组，利用方程（2）可以得到高低角及可拦截时间[t，]这两个公式联立就是一般的弹目交会方程组。
1.2 外弹道模型建立
有些比较复杂的外弹道模型精度很高但解算速度较低，所以在均衡解算精度和速度的情况下，对于设计正确的弹丸，围绕质心的转动对质心运动影响不大，可以暂时忽略围绕质心转动对质心运动的影响，即认为攻角始终为零，科氏加速度为零，地球表面是平面，重力加速度的大小不变、方向始终向下，气象条件是标准的、无风雨。采用弹丸质心运动微分方程组作为计算模型，弹丸受力分析如图2所示。
直角坐标系的外弹道运动微分方程组经化简后如下：
参数说明：[H（y）]为空气密度函数，[H（y）=][（20 000-y）（20 000+y）]（经验公式）；[G（v）=4.737×10-4vCx0，][v=v2x+v2y，]其中[v0]为弹丸初速，[Cx0]为阻力系数；[c]为弹道系数[5]。
上述弹道解算主要涉及三角、反三角及四则计算等，并且需要参数数值的大量转换[6]，由空气弹道存在的惟一性定理可知，弹道系数、射角（高低角）和炮弹初速可以完全且惟一的决定一条弹道，因此，得到准确的高低角和可拦截时间是进行外弹道微分方程组解算的目的。
2 弹道解算方案
2.1 算法实现
进行外弹道常微分方程组实时解算常用的数值解法有牛顿?迭代法、欧拉法、龙格?库塔法等，不同的解法对应的精度不一样，在速度一定的情况下，牛顿?迭代法、欧拉法的解算精度大约为一阶，而龙格?库塔进行解算的精度为二阶，龙格?库塔法精度较高，因此，这里用四阶R?K的方法[7?9]。按初值问题求解微分方程组，将式（3）进行解算，目的是求解出射击高低角和可拦截时间。该运算方法的思想如下：通过计算函数某些点上的函数值，经过对函数值做线性组合，构造一组近似的计算公式，通过近似公式和泰勒展开式进行比较，得到一定精度的计算公式[6]：
解算外弹道微分方程组需要通过迭代进行计算，即每次的求解需要上步的运算结果，前后的两次运算具有相关性，运算过程的关键在于选取合适的迭代步长，虽然步长短能提高精度但计算时间过长，导致最终发射累积误差较大，步长过长会引起迭代发散，本文通过选取合适的迭代步长进行计算。
首先将给定的弹丸初始速度及有关参数代入式（3），利用式（5）解算微分方程组，解算出弹丸击中低慢小时的高低角及可拦截时间，将击中点坐标和由式（1）预测该时刻低慢小的位置坐标进行比较，检验精度是否满足要求，其中本文采取相对高度误差和相对水平误差最大不超过10 m（采取拦截网方式拦截时，网面积一般不小于100 m2），如果满足则可得射击高低角及可拦截时间，若不满足要求，则继续迭代，同时在迭代过程中不断检查运算进行的迭代次数，如果迭代次数超过所定次数则认为迭代失败，重新将初始值代入公式进行上述计算，不断重复上述计算过程直至得出解算结果。
2.2 利用单片机进行弹道解算
本系统设计实现的硬件实验平台采用Keil μVision5作为编程工具，将ALIENTEK公司STM32系列STM32F407型号作为弹道解算控制器的核心芯片。STM32F407采用Cortex M4内核，拥有集成FPU和DSP指令，该芯片配置非常强悍，很多功能相对STM32F1进行了重大改进，例如FSMC的速度，F4刷屏速度可達3 300 万像素/s，可以有效处理例如FFT，DTMF等各种复杂运算[10?11]，选择STM32F407ZGT6作为弹道解算控制器核心板，利用实验板进行外弹道解算和相关控制，理论上，该实验板可以满足计算要求。
3 弹道解算验证
3.1 算法可行性验证
以某型弹丸为例，对其任意射角的弹道在计算机上进行仿真计算，将解算结果和该型号的弹丸射表进行比较，得到本文提出的算法解算精度。图3是选择射角为45°时在计算机上解算的数据和射表的比较。在对低慢小无人飞行器进行拦截时，为了提高拦截成功率，要求弹丸在弹道的上升段与目标相遇[12]，所以假设弹丸做上升运动时将低慢小有效拦截。
对图中数据进行统计分析，运算的结果和射表距离相差不大，只有在末期才出现一定小角度的偏离，利用龙格?库塔算法解算微分方程组时，是把前一次的迭代结果作为下一次迭代输入，也就是说会把前一次迭代产生的误差引入下次计算中，从而产生误差累计[13]，由图3得到粗略的统计结果：遭遇位置最大距离误差可以控制在0.2 m之内，存速最大误差在0.3 m/s内，可以看出本文提出的算法仿真结果和射表数据基本吻合，可以用于弹道的仿真计算。
3.2 解算实例验证
在选择高精度快速弹道解算方法的基础上，微控制器的解算精度与速度是弹道解算的关键，因此，需要对STM32F407单片机的解算精度与速度进行验证。
通过对弹丸不同初速时，目标做不同运动的大量数据分析，最大相对距离误差<10.0 m，解算耗时在12 ms之内，可以认为基于单片机STM32F407平台设计的弹道解算器满足对“低慢小”飞行物软毁伤拦截时的精度。
选取目标做不同运动时采集两组数据，解算结果见表1和表2。
4 系统设计
基于STM32F407单片机平台设计的弹道解算器主要包括显示部分、电源部分、通信部分和控制部分，其中，單片机部分主要用于数据采集和弹道解算，通信部分用于系统调试和参数装定，电源部分为弹道测试系统提供工作电源，显示部分用于显示相关参数。通过对单片机的编程，并和有关器件配合设计实现了对显示、通信、电源等部分的控制。
5 实验与分析
本文将拦截对象选为常见可自行组装的小型航模机，尺寸为450 mm×450 mm，采取的拦截网面积为15 m×20 m，共进行三次试验，第一次试验是在风速为2.67 m/s的环境下进行，网被航模机的一个螺旋桨缠绕，航模机坠落，第二次试验时风速为7.56 m/s，网被风吹的较远，未能触碰航模机，第三次试验风速为3.88 m/s，航模机两个桨被网缠绕，航模机坠落。根据实地试验，在风速较小的情况下可以进行有效拦截。
6 结 论
本文通过建立弹丸质点运动模型，在选择高精度弹道快速解算方法的基础上，选用单片机STM32F407为主控制器实现弹道解算，相比在较大型计算机上进行解算的方式，资源消耗不多、运行速度快、性能稳定且便于携带，具有较强的实用性。并且，本文对低慢小进行了软毁伤拦截实验，在风速较小的情况下初步实现了采用不小于100 m2的网对“低慢小”进行成功拦截，实验结果表明，本文设计的集高精度、速度快、低功耗且小型化于一体的手持弹道解算器在单兵进行拦截低慢小目标的实际应用中可以使用。
注：本文通讯作者为刘春美。
参考文献
[1] 张建伟，郭慧明.低空慢速小目标拦截系统研究[J].计算机工程与设计，2012，33（7）：2874?2878.
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