斜抛运动问题多解分析
王燕
[摘? ?要]斜抛运动问题是运动学中的典型问题，对初学者而言，这类问题不容易处理。文章结合一道典型例题分析探讨几种不同的解答方法。
[关键词]斜抛运动;多解;合成与分解
[中图分类号]? ? G633.7? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2021）14-0055-02
斜抛运动是日常生活中比较常见的实际问题，高考中也时常出现，分析解答这类题有一定的难度，解答方法也比较多，能有效考查学生的综合能力。下面结合一道例题的分析解答，介绍这类题的多种解法。
[例题]如图1，滑雪运动员从初始滑道（光滑）上下降45 m后起跳，起跳角度与水平面夹角为30°，且起跳不损失动能。降落滑道可看作一个倾斜角为30°的斜面，求运动员在空中飞行的时间，以及落地后速度与斜面的夹角。（重力加速度取10 m/s2）
思维导引：本题是斜面下滑运动与斜抛运动的结合，亦是“直线运动”与“曲线运动”的有机结合。难点是斜抛运动与斜面相遇，学生难以对物体的运动情况做出正确判断。具体解答时，可从运动的合成与分解、斜抛运动轨迹方程、斜抛运动射程方程、运动矢量图等不同角度做出复杂或简捷的几类不同解法[1]。
解法1.运动的合成与分解
思路点拨：水平面上的斜抛运动是比较熟悉的情境，而此题是斜面上的斜抛运动，如何将陌生的情境转化为熟悉的情境，是解答本题的关键。
解析：学生习惯了沿水平和竖直方向建立坐标系，如果按照这种思维定式进行下去，需要分解的物理量较多，这样一来问题就变得复杂了，如何合理建立坐标系呢？
如图2，可以尝试以降落滑道为x轴，以垂直于降落滑道为y轴，对其进行简要分析可知x和y轴方向上的初速度为：
思路点拨：这和我们熟悉的水平面上的斜抛运动，又有点区别，区别在哪里呢？
原来重力产生的加速度竖直向下，会使物体在x和y轴方向上的运动分别为匀加速直线运动和匀减速直线运动，因此需要对加速度沿坐标轴方向进行分解。
这样的话，运动员在y方向上就相当于竖直上抛运动。
落到斜面上时速度在x和y轴方向上的分量分别为
解法2.斜抛运动轨迹方程
解析：本题中斜面是直线，而运动员运动轨迹为曲线，从数学的角度来看本题为曲线运动与直线运动相结合的问题。如若建立合适的直角坐标系，利用斜抛运动轨迹方程与斜面方程求解交点，则成了我们熟悉的一类数学问题了。
思路点拨：为了便于理解，在这里简要给出斜抛运动轨迹方程的推导过程。
推导过程：如图3所示，取抛出点为坐标原点，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，抛射角为[θ]，抛出时t取0，对任何斜抛，小球有：
消去时间t，得抛体运动轨迹的方程
以起跳点为坐标原点O，建立如图3所示的直角坐标系。
解析：一旦交点P坐标确定了，即可通过水平位移或竖直位移求时间，进而求出水平速度与竖直速度，这样求解落地速度与竖直方向的夹角就水到渠成了。
故落地速度与水平方向夹角为60°，与斜面方向夹角为30°
解法3.运用斜抛运动射程方程
思路点拨：因滑雪运动员起跳速度、起跳角度与斜面倾角都已为定值，因此我们推知斜面落点固定，换言之，此斜抛运动的射程应该是由速度和倾角决定的物理量，因此可以在解法2的基础之上，大胆推导斜抛运动的射程方程。
当运动员飞向滑道时，刚飞起时速度与水平方向夹角为[θ=60°]，滑道与水平方向夹角为[α=-30°]，设射程为s，在滑道上落点P的坐标为：
将两式代入斜抛运动轨迹方程得：
同解法2可得落地速度与斜面方向夹角为30°。
解法4.运用矢量图，并结合正弦定理
思路点拨：此种解法较为特殊，但却极为简便，由高中物理知识可知，位移为矢量，遵循平行四边形法则或者三角形法则。我们设想若无重力或重力加速度，运动员将与沿水平方向成30°斜向上方向运动，若无初速度，将沿竖直向下的方向运动。因此实际的运动是这两种运动的合成，真实的位移亦是这两种位移的合成，最终运动员落在倾角为30°的斜面上[2]。
解析：数学是物理的工具，由正弦定理寻找角与边的内在联系，合理建立比例方程，求解运动时间。
如图4所示，由正弦定理可知：
同解法1或2可得落地时速度方向与斜面的夹角为30°。
【解后反思】
作为运动学中一类典型的斜抛问题，解法1是利用运动的合成与分解的常规解法，但明显耗时耗力。解法2和解法3不仅要求考生熟练掌握斜抛运动轨迹方程，对学生的数理结合能力要求也很高。解法4则巧妙运用运动矢量图，化繁为简，准确而快速地求解。
[? ?参? ?考? ?文? ?獻? ?]
[1]? 沈卫.莫管方法“老”，只看“巧”不“巧”：论抛体运动问题中正交分解法的应用[J].物理教学，2020（5）：56-58.
[2]? 林曼虹，以“问题解决”为导向的高端备课：以“整体法和隔离法的交叉应用”为例[J].物理教师，2018（7）：31-32+36.
（责任编辑 易志毅）
