教什么比怎么教更重要
余璟
摘要：《平均数》这一内容在《数学课程标准》关于相关课程目标的实施建议中，不同于以往作为应用题的“平均数”一类教学，而是以别具一格的课题以及其“作为一种统计量”这一全新的面貌出现。教师在教学中要以人为本，充分体现学生的主体地位，创新教学方法，将课堂变成学堂。
关键词：平均数 ?概念 ?课堂教学
作为一种统计量，在小学中高年级课本里都会出现平均数、众数、中位数，虽然现在教材已经将其删除并且移到初中课本，但对我们一线老师来说，它们其实都是一组数据的代表，只是众数和中位数相对来说不易受到极端数据的干扰，因而就显得比较稳定，而平均数因受到所有数据的制约，更能反映一组数据的全貌，因而也就显得敏感、易变。借鉴同行的教学经验，笔者将智慧数学的理念体现在《平均数》的教学中，谈谈自己的一些思考。
一、概念为本，直指教学核心
平均数的统计学意义在于，它能描述一组数据的整体水平。在原始的统计数据中，有可能一个数和平均数相同，其他的数不一定和平均数相同，但是这些数据都有着千丝万缕的联系。教师在教学中对数据进行分析、比较，帮助学生理解什么是平均数，在概念形成的过程中，有效达成教学目标。
例如，在“平均数是什么”这一教学环节中，我设计了三组学生开展套圈比赛活动：第一组男女生人数相等，都是3人，每人套中的个数也相等，男生每人套中4个，女生每人套中5个;第二组男女生人数不等，每人套中的个数依然相等，男生3人，每人都套中6个，女生4人，每人都套中5个;第三组男女生人数不等，每人套中的个数也不相等，男生3人，分别套中7、9、5个，女生4人，分别套中10、4、7、3个。我让学生观察每一组数据的统计图，问学生发现了什么，然后引导学生说出是男生投得准一些，还是女生投得准一些。这样，学生从已有的知识经验出发，通过三次活动比较，从“三对三个数相同”，到“三对四个数相同”，再到“三对四个数不同”的比较，学生在比较中体会知识的形成过程，把握比较的方法，有效促进课堂教学目标的达成。
二、方法比较，强化概念理解
计算平均数有两种方法，一是“移多补少”，二是“先求和再均分”，虽然两种方法都有各自的价值，但最终还是要求学生准确理解平均数的概念。在前面的教学中，教师通过动态演示“移多补少”，帮助学生在数据中找出平均数，加强了学生对平均数概念理解的同时，还提高了学生的探究能力，为学生对“平均分”的认识、理解打下了坚实的基础。
如何让学生真正理解平均数代表一组数据的整体水平，而不是平均分后某个单独的个体所获得的结果？在“怎样求平均数”教学环节中，出示第三组女生的套圈成绩统计图。4位女生的成绩（分别套中10、4、7、3个）各不相同，首先我让学生思考：用数字几表示女生套圈的一般水平？然后引导学生：女生平均每人套中了几个？还有别的方法吗？接着指出像这样把套中的个数合起来，再把它平均分成4份也就是先合并再平分。追问：这里的“6”是指每个女生真的都套中了6个吗？“6”能代表吴燕的套圈水平吗？能代表刘晓娟、孙芸的套圈水平吗？那么“6”究竟代表哪个同学的套圈水平呢？通过讨论，学生进一步明确了这里的“6”是什么。
三、厘清特性，深化概念内涵
平均数作为统计学中表达数据集中趋势的统计量，在学生初步认识其意义后，还需要借助具体问题、具体数据创设情景活动，丰富学生对概念的理解，更重要的是为学生灵活解决有关平均数的问题提供有效的保障。为了让学生更好地理解平均数的抽象性特点，在第三板块的“怎样求平均数”环节设计中，教师巧妙地将精巧数据的设计及适时追问融入其中。
课堂呈现：咱们再看一下第四组比赛情况。这次先出场的是五位女生，分别套中10、4、7、5、4个。你能算出第四组女生的平均成绩吗？
生动笔计算：10+4+7+5+4=30（个），30÷5=6（个）。
男生共四名选手上场，前三名选手成绩分别是5、11、7，看到前三位选手的成绩，你们会想到什么？从哪儿看出来的？凭直觉，男生是赢还是输？为什么？最终男生平均套中的成绩是几个？第二个同学套中了11个， 为什么不说男生的平均成绩为11？
师：第四位男同学套中1个，能说男生的平均成绩是1个吗？
强调：尽管没有算出最终结果，但我们都可以断定，最后的平均成绩一定比这里最大的数小一些，比最小的数大一些，也就是说平均数在最大的数和最小的数之间。
师：你能动笔算一下第四组男生平均套中的个数吗？[5+10+8+1=24（个），24÷4=6（个）]與你猜想的结果一样吗？想一想，这次套圈比赛虽然最终打了平手，但其实男生完全有获胜的可能性，问题出在哪里呢？
一组数据中前三个数据大小不变，只是第四个数据发生了变化。此时极端数据“1”的出现，导致了平均数的改变，不仅强化了学生对平均数具有代表性的理解，更让学生体会到平均数敏感性这一重要特征。随即，我将最后一位同学“套中1个”改为“套中5个、9个”，先让学生动笔计算得出男生套圈的平均水平，然后通过三幅图对比：在这组数据中，有的比平均数高，有的比平均数低，你有没有发现，多出的部分和少的部分怎样？（同样多）仅仅是一个巧合吗？这时，学生不仅能体会到平均数介于最大值和最小值之间，更能感受到平均数的齐次性。此时总数增加了4（或8），平均数只是增加1（或2）。根据“移多补少”的原理，只有超出的部分和不足的部分相等，最终才能完成平均数的正确求解。如此在一系列的问题情境中，以适时地追问，借助统计图以及学生的口算、计算，学生的数学思维在理解概念的基础上得到有效的提升。
四、依托概念，追寻现实依据
在平时教学中，教师常问学生：“这个问题你听懂了吗？”学生都说听懂了，但我们都知道，学习知识在懂了与会了之间还有一定的距离，懂了不一定代表会了。因而尽管学生能够叙述出平均数的定义，但不代表他们掌握了平均数的含义。平均数的定义对一个刚进入四年级的学生来说还是非常抽象的。为了让学生能够在稍复杂的背景下运用平均数的概念解决问题，我设计了几个复杂程度不一样的问题：“猜猜每个笔筒里笔的支数”“丝带的平均长度”“平均身高”“平均水深”“平均寿命”等。第一个问题对学生来说比较简单。第二个问题“丝带的平均长度”，无论通过老师的估算值判断丝带的平均值，还是通过变换丝带的长短，都是让学生利用平均数的性质——离均差为0，即以离差之和为0进行判断。在一组数据中，既有超出平均数的，也有低于平均数的，当对三幅图同时进行比较时，学生认识到我们既可以用平均数来表示一组数据的总体水平，也可以用它来比较两组数据的差异。“平均身高”直接选用我校篮球队员的数据，在这里不是让学生计算平均数，而是让学生依据平均数的性质进行合理推断。而“平均水深”借助直观情境图，学生能充分感知平均水深，并不是指每一处都是110厘米，池塘里有的地方水深低于110厘米，很安全，有的地方水深却远远超过110厘米，因此很危险。70年前中国人的平均寿命是35岁，70年后人均寿命提高到77岁，应该如何理解这句话？今年77岁的王爷爷听了喜忧参半，学生能够从数学的角度，并能根据身边亲人的实际年龄做对比。教学中貌似学生都在发言，但可以肯定的是他们并不都真正理解了知识点，因为它是牵涉到以样本的平均数代替总体的平均数，比较抽象。
总之，在小学阶段，教师教学要摈弃传统的灌输式教学，把课堂还给学生，让学生在课堂上不断积累经验，体会知识的形成过程。教师要注重引导，通过问题引领，帮助学生理解知识，创新教学方法，把课堂变成学堂，让学生在探索中获取知识。
