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数学方法在购房贷款决策中的应用

范文

杨奕

【摘要】不同还款方式对购房者的贷款成本和还贷压力具有不同影响.为了引导购房者在贷款购房中进行科学决策，选择适当的还款方式，本文运用数学知识中的等差数列、等比数列、复利等相关概念和原理，分析了等额本金和等额本息还款方式对贷款成本和还贷压力的影响，并提出相关决策建议.

【关键词】购房贷款;还贷决策;数学方法;等额本金;等额本息

一、引言

由于大多数人没有足够的现金，贷款购房是一种非常普遍的购房方式.购房贷款主要包括住房公积金贷款和商业银行按揭贷款两种方式.住房公积金贷款是缴存住房公积金的购房者向住房公积金管理部门申请的贷款，商业银行按揭贷款是购房者向商业银行申请的贷款.住房公积金贷款实行限额管理，按月偿还本息;商业银行按揭贷款通常也如此，但商业银行按揭贷款的利率往往高于住房公积金贷款利率，按照目前利率行情，20年期限，商业银行按揭贷款利率为4.9 % ，而公积金贷款利率仅为3.25 % .如果购房者满足住房公积金贷款申请条件，应该首选住房公积金贷款，否则，就只能选择商业银行按揭贷款.

无论住房公积金贷款还是商业银行按揭贷款都有两种不同的还款方式——等额本金和等额本息.这两种还款方式大有学问，选择不当，会对还款金额产生很大影响.开发商和商业银行一般推荐等额本息还款方式.那么，作为购房者，是接受开发商或银行建议呢？还是另行选择？如果想要做出正确的购房决策，必须计算一下不同还款方式下的还款金额及其影响.

下面，本文将以住房公积金贷款为例，运用高中数学知识中的等差数列、等比数列等相关原理对等额本金与等额本息的还款方式进行分析.

二、等额本金还款方式下的还贷分析

所谓等额本金还款方式，也就是每月偿还的本金相等而利息不等的一种还款方式.

（一）月还款额分析

住房公积金贷款实行限额管理，如长春地区住房公积金贷款最高限额为80万元.假定某购房者满足住房公积金贷款申请条件，申请住房公积金贷款80万元，期限20年，年利率为3.25 % ，月利率为年利率除以12.由于一次取得本金，按月等额偿还本金，则每月还本为 800000 240 ，各月支付利息不同，某月支付利息为该月实际占用的本金乘月利率.各月偿还本息情况具体如下：

第1个月偿还本息= 800000 240 +800000×3.25 % ÷12;

第2个月偿还本息= 800000 240 + 800000- 800000 240? ×3.25 % ÷12;

第3个月偿还本息= 800000 240 + 800000- 800000 240 ×2 × 3.25 % ÷12;

……

第240个月偿还本息= 800000 240 + 800000- 800000 240 ×239 ×3.25 % ÷12.

假设以P表示本金，P=800000;I表示年利率，I=3.25 % ;N表示總月数，N=240;n表示第n个月，n≤240，则上述关系表示为：

第n个月偿还本息= P N + P- P N ×（n-1） ×I÷12

= P N + P[N-（n-1）] N ×I÷12

= P N +P×I÷12× N-（n-1） N .

（二）还款总额分析

还款总额，即各月本息合计数，等于各月还款本金加上各月还款利息.可以利用上述公式描述各月的还款本息，然后加总，本例中还款总月数为240个月，则

还款总额=

800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 240 240? 第1个月本息

+ 800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 239 240? 第2个月本息

+ 800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 238 240? 第3个月本息

……

+ 800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 1 240? 第240个月本息

=240× 800000 240 +800000×3.25 % ÷12×? 240 240 + 239 240 + 238 240 +…+ 1 240? ，

算式 240 240 + 239 240 + 238 240 +…+ 1 240 为公差d= 1 240 ，项数n=240的等差数列的和，根据等差数列的和公式s= （a1+an）n 2 ，则该算式的值等于? 240 240 + 1 240? × 240 2 ，那么，

还款总额

=240× 800000 240 +800000×3.25 % ÷12×? 240 240 + 1 240? × 240 2

=800000+800000×3.25 % ÷12× 241 2

=800000+261083.33

=1061083.33（元）.

在选择等额本金的还款方式下，住房公积金贷款80万元，20年期限，还款总额约为106万元.

三、等额本息还款方式下的还贷分析

所谓等额本息还款方式，也就是每月还款本息相等而本金和利息都不等的一种还款方式.

（一）月还款额分析

与上例相同，贷款本金80万元，期限20年，年利率3.25 % .那么，每月应还本息多少呢？本文借助图1来说明.假设每月还款本息和为A，贷款后，第1个月还款A1，第2月还款A2，第3个月还款A3，…，第n个月还款An，这些金额为每月归还的本息和，在数值上都等于A，即A1=A2=A3=…=An=A，它们所对应的取得借款日的本金——可以称之为“期初本金”，分别为A1′，A2′，A3′，…，An′，每月归还的本息和（An）与其对应的各期初本金（An′）之间是一种复利关系.

等额本息还款方式下各期初本金及基本息和关系图

假设以P表示本金，P=800000;i表示月利率，i=3.25 % ÷12;N表示总月数，N=240;n表示第n个月，n≤240;A表示每月等额还款本息和，根据题设和上图所示关系可以得出如下关系式：

① 每月还款本息和相等

A1=A2=A3=…=An=A.

② 每月还款本息和（An）与其对应的期初本金（An′）之间的复利关系

A1′（1+i）=A1，A1=A，则A1′= A 1+i ，

A2′（1+i）2=A2，A2=A，则A2′= A （1+i）2 ，

A3′（1+i）3=A3，A3=A，则A3′= A （1+i）3 ，

……

An′（1+i）n=An，An=A，则An′= A （1+i）n ，

……

A240′（1+i）240=A240，A240=A，则A240′= A （1+i）240 .

③ 贷款本金等于各期初本金之和

A1′+A2′+A3′+…+An′+…+A240′=P，则

A 1+i + A （1+i）2 + A （1+i）3 +…+ A （1+i）n +… A （1+i）240 =P.

上式为以公比q= 1 1+i ，项数n=240的等比数列的和，等比数列的和公式s= a1（1-qn） 1-q ，因此，上式可转换为

A·? 1 1+i? 1- 1 （1+i）n?? 1- 1 1+i? =P，

推导，得A=P· i（1+i）n （1+i）n-1

=800000× 3.25 % ÷12×（1+3.25 % ÷12）240 （1+3.25 % ÷12）240-1

=4537.57（元），

即每月偿还等额本息为4537.57元.

（二）还款总額分析

在等额本息还款方式下，每月偿还本息和相等，还款总额等于每月偿还的本息合计数乘还款总月数.由于借款期限20年，还款总月数为240个月，每月偿还本息4537.57元，则还款总额为：

还款总额=4537.57×240=1089016.80（元）.

在选择等额本息的还款方式下，住房公积金贷款80万元，20年期限，还款总额约为109万元.

四、不同还款方式的比较

对同一笔贷款，即本金80万元，期限20年，年利率3.25 % ，选择不同的还款方式有什么差异和影响呢？表1进行了详细的比较与分析.

五、还贷决策

鉴于两种还款方式的不同特征，决策如下：

与等额本息方式相比，等额本金还款的优点是可以少支付利息，降低贷款成本;缺点是，前期月还款压力较大.所以，如果购房者能够承受月还款压力，且将来有可能提前还款，建议其选择等额本金还款方式.

与等额本金方式相比，等额本息还款的优点是月还款压力小，但多支付了利息，且一旦有资金结余，提前还款则会有较大的利息损失，因为等额本息方式先还息后还本，提前还款是非常不划算的.所以，如果购房者月还款负担重，且不准备提前还款，一直坚持贷款期内平均还款，建议其选择等额本息还款方式.

本文选择了住房公积金贷款进行探讨，如果购房者不能满足住房公积金贷款申请条件，则只能申请商业银行按揭贷款.由于按揭贷款的利率较高——20年期，年利率4.9 % ，选择不同还款方式对购房者的影响则更大.因此，购房者在贷款时不要盲目听从开发商及商业银行的建议随意选择还款方式，而是应该考虑自身的实际情况审慎决策.

【参考文献】

[1]康书隆，余海跃，刘越飞.住房公积金、购房信贷与家庭消费[J].金融研究，2017（8）：67-82.

[2]黄薪颖，马维珍.浅析房贷还款方案对购房者的影响[J].价值工程，2016（4）：34-36.

[3]程兰芳，马肖肖.居民住房支付能力复合指数的编制[J].统计与决策，2017（3）：5-11.

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