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基于理性思维透析数学运算

范文

朱婷婷

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.本文试图以圆锥曲线为例，透析学生数学运算中存在的常见问题，有不妥之处请大家批评指正.

问题一? 缺少对运算方法的选择

例1?? 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的离心率为? 2? 2 ，点（2，1）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程;（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点，若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积;

评析? 这里主要讨论第（2）问.学生解决此题典型的算法是计算出P，Q两点坐标，但是它对学生的运算能力要求很高.如果能用其他方法避开直接求出点P，Q两点的坐标，就会简化运算过程.我们可以在课堂上提出如下问题，引起学生的联想：求三角形面积，你有哪些方法？不求出PQ的长度，本题能否求出△OPQ的面积？经过审题辨析后，此题应该用哪种方法求解三角形的面积？让学生展开讨论，最后优化求线段PQ的长度的方法.优化解法1：因为PQ过焦点，PQ=PF+FQ，即可利用焦半径公式结合韦达定理求解;优化解法2：利用两点之间距离公式，结合韦达定理求解.至于求△OPQ的面积，则可以将△OPQ切分为两个小三角形△OPF和△OQF的面积之和进行求解，这样就可以避开直接求出P，Q两点的坐标.

问题二? 缺少对运算对象思路的探究与总结

例2?? 已知椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的离心率为? 2? 2 ，一条准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.

（1）求椭圆的方程.（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别是m，n，求证：mn为常数，并求出此常数.

正确解答? 这里主要讨论第（2）问.

方法一：由题意知直线AP的斜率k存在且k≠0，所以直线AP的方程为y=kx+1，则令y=0，得m=- 1 k ，联立直线AP与椭圆方程，得出P - 4k 1+2k2 ， 1-2k2 1+2k2? ，即Q - 4k2 1+2k2? ，?? 2k2-1 1+2k2? ，又因为A，Q，N三点共线，所以 yQ-yN xQ-xN = yA-yN xA-xN ，即n=-2k，所以mn= - 1 k? ×（-2k）=2.

方法二：设P（xP，yP），易知xP≠0，yP≠±1，则Q（xP，-yP），所以直线AP的方程为y-1= yP-1 xP （x-0），令y=0，得m= xP 1-yP .同理利用直线AQ方程得出n= xP 1+yP ，所以mn= xP 1-yP × xP 1+yP = x2P 1-y2P ，又因为 x2P 2 +y2P=1，所以mn= x2P 2 =2.

评析? 定点、定值问题既可以凸显出圆锥曲线的代数特征及图像特点，又具有较强的探究性.解决此类题的基本策略为先要分析题目中的定量与不定量是哪些;然后选择合适的变量表示题目中的定量，最后根据已知条件消去变量，得出定点或定值.这里值得关注的是：在选择合适的变量表示题目中要证明的定量时，一般有设斜率和设点两大方向，本题方法一选择设直线AP的斜率k，然后结合图像，用k将m，n表達式写出，最后化简mn的表达式，求出定值.方法二就是选择设点P（xP，yP），引入xP，yP两个参数，然后利用P在椭圆上，消元，即所求mn的表达式只剩xP一个参数，化简求出定值.

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