《数学高考试题中不等式分析与思考》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

网站首页词典首页

标题

数学高考试题中不等式分析与思考

范文

敬奇荣

【摘要】在高考改革的大背景之下，高考数学命题的创新性，是推动高中数学教学改革的重要基础.本文立足对高考不等式试题的分析，从不等式的工具应用、不等式知识的综合考查等方面，分析了高考试题中不等式的特点及解题技巧.

【关键词】高中数学;不等式;应用

本文立足2016年、2017年全国数学高考试题，具体谈谈高考试题中不等式.

一、以知识内在联系为载体，考查解决数学问题的应用

在高中数学知识中，不等式既是知识的载体，又是解决数学问题的重要工具.高考不等式命题，注重知识之间的内在联系，在与函数单调性、值域、解三角函数等的应用中，更多的是运用不等式去解决数学问题，体现出其工具属性.因此，不等式的知识学习，是解决数学问题的重要手段.

（一）解决函数问题

在函数问题的解决中，经常会用到不等式的性质，并在函数单调性的结合之下，实现对函数问题的有效解决.2016全国卷Ⅰ·理8的试题解答，就需要运用到不等式知识.

试题? 若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

分析与解答? 该题的解答，需要运用到不等式的性质，实现对选项B，C，D进行转换，为函数构建创造条件.选项B：abc

（二）极值问题解决

在高中数学知识中，极值问题是重点，将极值问题与求导、不等式的结合，实现了对学生知识的综合考查.学生需要具备良好的综合能力，能够巧妙运用基本不等式、函数单调性，实现对极值问题的有效解决.在2017全国卷Ⅱ·21的解题中，就需要不等式与极值问题的相关知识.

试题? 已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a;

（2）证明：f（x）存在唯一的极值点x0，且e-2

分析与解答? （1）略.求得a=1;对问题（2），由（1）可知，f（x）=x2-x-xlnx，则f′（x）=2x-2-lnx，令f′（x）=0，可得2x-2-lnx=0，记t（x）=2x-2-lnx，则t′（x）=2- 1 x ，令t′（x）=0，可解得x= 1 2 .因此，t（x）在区间 0， 1 2? 上单调递减，在? 1 2 ，+∞ 上单调递增.所以，tmin（x）=t? 1 2? =ln2-1<0，从而t（x）=0有解.存在两个根，x0，x2.在此，不妨设f′（x）在（0，x0）上为正，在（x0，x2）上为负，在（x2，+∞）上为正.也就是说，f（x）必存在唯一极大值x0，且2x0-2-lnx0=0.由此可得：f（x0）=x20-x0-x0lnx0=x0-x20.由x0< 1 2 可知，f（x0）<（x20-x0）max=- 1 22 + 1 2 = 1 4 .再由f′? 1 e? <0可得出，x0< 1 e < 1 2 .为此，f（x）在（0，x0）上单调递增，在 x0， 1 e? 上单调递减，所以f? 1 e? = 1 e2

二、以不等式的综合应用为基础，考查学生数学能力

高考在不等式試题的构建中，侧重于学生综合应用能力的考查，特别是对推理论证能力、抽象概括能力等的有效考查，强调学生应具备一定的数学思维.从近几年的考题来看，数列通项的缩放、恒成立问题等的考查，都是高考不等式的重要出题方向，应在这些方面强化理解与训练.

在数列不等式的证明中，“缩放”技巧运用比较广泛，能够帮助学生事半功倍地实现不等式证明.缩放的巧用，在于学生能够实现对知识的综合运用，在发散思维的视角之下，通过科学合理的缩放技巧，达到不等式证明的目的.

试题? （四川卷·理19）已知数列{an}的首项为1，Sn+1为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈ N *.

（1）若2a2，a3，a2+2构成等差数列，求数列{an}的通项公式;

（2）设双曲线x2- y2 a2n =1的离心率为en，且e2= 5 3 ，证明：e1+e2+e3+…+en> 4n-3n 3n-1 .

分析与解答? 对问题（1），比较简单，是常规的数列知识考查，可以很快计算出：an=2n-1（n∈ N *）.对问题（2），可以由（1）中的通项公式an=qn-1，可以得出该曲线的离心率为en= 1+q2（n-1） .再由e2= 5 3 可以得出，q= 4 3 .

对en= 1+q2（n-1），可以知道，通过直接的加和求算，显然是无法计算出e1+e2+e3+…+en之和.如何往下推进，朝着目标不等式靠拢，则需要考虑运用“缩放”技巧，对en= 1+q2（n-1）的通项进行适当转变，以实现求和.

因为en= 1+q2（n-1） > q2（n-1） =qn-1.

很显然，对e1+e2+e3+…+en>1+q+q2+…+qn-1缩放求和，便可以简单实现.e1+e2+e3+…+en>1+q+q2+…+qn-1= qn-1 q-1 .

现将q= 4 3 代入，便可以得出，e1+e2+e3+…+en> 4n-3n 3n-1 .

三、结束语

总而言之，不等式作为高中课程体系的重要内容，与其他知识的融合考查，成为当前高考不等式命题的重要趋势.在本文的探讨中，不等式在高中试题中的呈现，侧重于基本不等式的应用，并基于综合知识考查等方式，提高不等式试题对学生数学能力的有效考查.数学高考试题中的不等式试题，应以发散的思维视角，实现有效学习.

【参考文献】

[1]金克勤.2015年高考“不等式”专题分析[J].中国数学教育（高中版），2015（7）：86-90.

[2]龙艳文.2016年高考“平面向量”专题命题分析[J].中国数学教育（高中版），2016（7）：54-59.

[3]李明生.高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析[J].黄冈师范学院学报，2009（6）：21-24.

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。