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标题 拨云去雾，抓住本质
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摘 要：本文我们从命题立意、试题分析、解题过程、规律总结、变式拓展、备考启示六个方面对2014年山东高考文第9题进行评析，进而揭示题目、教材、考纲以及新课标之间的内在联系。
关键词：命题立意；试题分析；解题过程；规律总结；变式拓展；备考启示
2014年山东高考文第9题：
对于函数 ，若存在常数 ，使得x取定义域内的每一个值，都有 ，则称 为准偶函数，下列函数为准偶函数的是（）
下文我们分别将从命题立意、试题分析、解题过程、规律总结、变式拓展、备考启示六个方面对该题目进行探讨与分析，从而揭示题目、教材、考纲以及新课标之间的内在联系。
1 把握考纲，分析命题立意
这是一道函数新概念题，是以新定义函数的性质为载体，以我们熟知的偶函数为背景，考察函数的图像及性质。考试说明中对内容方面的要求是：1、了解奇偶函数的性质2、会用基本初等函数的图像分析函数的性质；对能力方面的要求是：考查学生的创新能力，用数学知识解决数学问题的综合素质能力；思想方面考查了学生数形结合、转化化归、类比的思想。
2 剖析全题，分析题目要素
由题设条件我们可知，此题以新定义的形式给出了准偶函数的性质，而选项中都是我们熟知的基本函数，所以解决问题的关键是：找出准偶函数的性质。这也是学生解决问题的难点：如何从题目中的符号等式中分析出函数的性质和图像和特征；解决这道问题的突破点是：类比偶函数的定义和性质；解决这道问题的方法是：数形结合、转化化归、类比。学生的易错点是：1、忽视条件，勿把准偶函数当作偶函数2、无法从题目条件中提取信息3、基本初等函数的性质掌握不熟
3 解法探究，说清思路方法
处理新定义题的基本思路是提取有效信息，找准背景函数；由题目中的文字暗示和定义暗示，我們找到偶函数。必修1教材中对偶函数的定义是： 图像特征关于 轴对称。由题目中的符号等式，我们发现，假设 特别的准偶函数即为偶函数，所以我们类比得到结论准偶函数也为轴对称图形，对称轴非y轴，作为一个小题，现在可以选出答案。下我们求对称轴。
方法一、由 可知，该函数具有轴对称性，利用中点坐标公式，可得对称轴方程为
方法二、令x取x+a，等式变为 ，由此可知函数图像关于直线 对称。
上面的方法是我们类比背景函数的对称性，借助图象，得出对称轴。下我们从函数与方程的角度予以证明：
4 规律总结，得出通性通法
1、函数新定义题的解题思路是：
提取信息，找准背景函数：分析条件，类比函数性质。
用到的思想方法是：数形结合、转化化归、类比思想
2、题目中的符号等式可以看做偶函数的定义拓展，
5 衍生拓展，进行变式推广
剥去新概念的外衣，本题考查了如何从函数恒等式中去分析函数的图像与性质，为加强学生理解掌握，做如下变式：
变1：题目条件变为 ？
结论为：对称中心 ，可定义为准奇函数。
变2：题目条件变为 或 ？
结论为：周期为2a或是4a
变3：题目原有条件不变，增加条件 为偶函数，题目会有什么样的结论？
结论为： 为对称轴为直线 ，周期为2a的偶函数。
变式的目的在于让学生理解通性通法，掌握函数的奇偶性、对称性、周期的结论。
6 科学备考，调整教学思路
通过该题考点近几年在山东卷中的分布情况，我们可以发现：新定义函数题是近几年高考中函数的热点题型，考点较为综合，但主要考查以下两方面：
1、以函数概念为背景，重点考察定义域、值域、对应关系
2、以函数性质为背景，重点考察函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性、凹凸性等。
另外，用导数大题无法解决的函数的对称性、奇偶性、周期性仍是高考小题考察的重点以及热点，所以应该熟记一些通性通法，提高做题的有效性考查。
参考文献
[1] 2014年山东高考文科数学试题及答案
[2] 高中数学人教A版必修1
作者简介
王伟芳（1985-），女，汉，山东省滨州，本科，研究方向：高中数学教学。
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更新时间：2025/3/17 10:36:07