| 标题 | 极限思想与极限求解方法 |
| 范文 | 张辰铭 【摘要】极限思想是近代数学的一种重要思想，是社会实践的产物.极限是高等数学中最基本的、最重要的概念，极限思想贯穿了高等数学的整个过程.本文就极限思想的发展和完善做了简要介绍并对极限求解的常用方法进行汇总. 【关键词】无穷；极限；微积分；函数 一、无穷小和悖论 古希腊有一个哲学家叫芝诺，他提出了“两段法”来否认人能从一个点到达另一点，理由是正在行走的人从A地出发走到B地，首先他必须通过标有中心的C点，这刚好是AB的中心点.然后，他又得经过路程的34的D点，这是BC的中心点.接着，从D点出发，在到B之前他仍要经过一个中心点，即路程78的E点.从E点出发，他仍然得经过EB的中心点F……由此类推下去，无论距离路程终点B有多么接近，他都得先经过剩下路的中心点.但是，这些中心点是无止境的，哪怕是微乎其微的距離，也总还有一个地方是这段距离的中心点，正因为中心点是走不完的，所以行走的人虽然离终点越来越近，但他始终无法到达终点. 他还提出了“阿里斯基和乌龟赛跑”悖论.阿里斯基是古希腊的半神英雄，是古希腊的第一勇士，以善跑著称.芝诺指出：让阿里斯基和乌龟赛跑，乌龟在阿里斯基前方1000米，假定阿里斯基的速度是乌龟速度的100倍，当比赛开始后，若阿里斯基跑了1000米，用了t时间，此时，乌龟又已经跑了10米，当阿里斯基跑完下一个10米时，用的时间为t100，此时，乌龟仍然领先他0.1米，当阿里斯基跑完下一个0.1米时乌龟仍然领先他，以此类推，阿里斯基只能无限接近而不能追上乌龟. 这本来是荒谬的，但芝诺提出的理由又是那样的正当，以至于长久以来没有人能驳倒他.纵观历史，数学家和哲学家们也一直对无穷这一概念纠缠不清，希腊人也一次一次表现出对无穷及无穷小数的恐惧.特别是在微积分的定义中更是如此.[1] 二、极限与微积分 极限思想是近代数学的一种重要思想，是社会实践的产物.数学分析就是以极限为基础、极限理论为工具来研究函数性质的.在我国古代，数学家刘徽于公元263年建立了“割圆术”，就是借助于在圆内的一串内接正多边形的周长数列来定义圆的周长[2].同样在古代其他国家，很多哲学家和数学家也在实践过程中应用了极限思想. 进入17世纪，数学家对曲线的长度问题、面积问题、几何体的体积问题的解决产生了需求，虽然当时对阿基米德的穷竭法已熟悉，但是对于希腊严格的标准失去耐心，一种粗糙的计算方法开始使用.如开普勒在计算求圆的面积时，把圆看成无数个小三角形，这种情况下圆周上的短弧成了三角形的底，半径是三角形的高，但实际上需要做到这一点时三角形要缩成一条线才可以，所以当时的方法粗糙不严谨.到17世纪中叶，牛顿提出使用时间无穷小瞬为计算基础的流数，从而发现并应用了微积分基本定理，《流数简论》标志着微积分算法的诞生，但是这个无限小增量“瞬”被看成了静止的无穷小量，当略去带0的项时相当于直截了当地令其为零了，这种观点在概念上是含糊的，在逻辑上也是不严谨的.此后，以贝克莱为首的很多人对流数的叙述“模糊不清”进行了指责，最终导致了数学史上的第二次数学危机.[3] 从18世纪开始，法国数学家达朗贝尔就提出把极限理论作为分析的基础，经过了一个多世纪，通过达朗贝尔、拉格朗日、卡诺、泰勒、贝努利家族、欧拉等几代科学家的努力，微积分获得了飞速发展，在18世纪达到了空前灿烂的程度.数学分析与代数、几何并列成为数学的三大学科，18世纪也被称为“分析时代”. 到了19世纪，波尔查诺、柯西和维尔斯特拉斯等数学家在极限基础上建立了严格的数学分析体系，通过澄清极限、函数、连续、导数等概念，彻底排除了在微积分过程中涌现出的各种争议，使分析达到了完美的程度.从此，建立在牢固的极限基础之上的微积分理论使第二次数学危机宣告解决. 三、极限的求解方法 极限思想贯穿了数学分析的整个过程，本文就极限的重要求解方法进行汇总举例. （一）利用函数极限的运算法则 对于大部分函数的极限，一般情况下首先想到的是，是否可用函数极限的运算法则来计算，法则本身简单易懂，而在使用的时候可以对原函数进行通分、分解、替换等方式进行恒等变换或化简，以使得新函数可以采用极限运算法则进行计算. 在数学分析求导的过程当中，我们主要对幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数依据导数的定义来求导，而这几类函数大部分都是使用这两个重要极限来帮助计算的，尤其在推导三角函数和指数函数的导数过程当中起到了至关重要的作用，利用这些结果可通过函数运算法则、复合函数的求导法则来求出全部初等函数的导数.而积分又是微分的逆运算，依靠这些导数可以推出大量函数的积分.因此，这两个极限是微积分的基础，在整个微积分中起到了桥梁般的作用，所以解题过程中很多函数的极限可以用此方式来求解. 洛必达法则的好处就是在同一算式的计算当中，如果满足洛必达法则的使用条件，则在极限的求解过程中可多次使用，同时在使用过程中要慎重考虑法则条件中导数的存在性.在实际应用当中该法则的使用频率也较高，是函数求极限的重要工具，上文中所讲的两个重要极限的求解也可以由该法则来推导得出. 四、小结 函数的连续、函数的求导、函数的积分等等都与极限的概念不可分割，如果要掌握好高等数学必须要掌握好对极限的理解.本文只是列举出几种常用的方法，在解题过程中还有其他的方法可以使用，在此不再一一列举.而在函数的求解过程当中，解题的方法可能不止一个，我们可以选择适当的方式来处理极限的求解.在学习的过程中我们不能机械地照搬，需要不断地进行总结、分析，不断地完善知识的理论与结构，才能在解题的过程中有所发现，有所创新. 【参考文献】 [1]理查德·曼凯维奇，著.数学的故事[M].冯速，译.海口：海南出版社，2001：196. [2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2000：34. [3]韩雪涛.数学悖论和三次数学危机[M].长沙：湖南科学技术出版社，2007：154. |
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