| 标题 | 反证法在几何证明中的若干应用 |
| 范文 | 赵昕阳 【摘要】本文简要概述了反证法的定义及种类，归纳了应用反证法证明的一般步骤与常见的矛盾形式，从命题的结论涉及“基本命题与初始命题”“几何量间的关系”“否定性”“唯一性”“至多、至少”五个方面出发，具体说明了宜用反证法证明的几何命题，揭示了反证法在几何证明中的重要性与应用的广泛性. 【关键词】反证法；几何；证明；应用 反证法是一种间接证法，它不是直接证明命题的结论成立，而是证明命题结论的反面不能成立，从而断定原命题的结论是不容否定的正确结论.先假设命题结论不成立，即肯定命题的题设而否定其结论，然后从结论反面出发通过正确的逻辑推理导出矛盾，彻底推翻原来的假设，从而证得命题的结论成立.这种证明方法称为反证法. 一、反证法在几何证明中的应用 （一）反证法证明的一般步骤 反证法的证题模式可以简要地概括为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的逻辑推理导致矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.反证法证明问题的一般步骤：（1）反设：否定结论，做出反设；（2）归谬：进行推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定结论.在应用反证法证题时，必须按“反设—归谬—结论”的思路进行，这就是应用反证法的三个步骤，但在叙述上可以简略每一步的名称. （二）反证法中的矛盾形式 应用反证法证明时，必须由结论的反面出发导出矛盾，所以如何导出矛盾，导出什么样的矛盾就成了反证法的关键所在.了解反证法中常见的矛盾形式更利于我们运用反证法证题时导出矛盾，为归谬提供了逻辑推理的方向.我们将反证法中常见的矛盾形式具体分为以下几类： （1）假设推出的结果与已知条件矛盾； （2）假设推出的结果与已知的公理、定理、定义、法则及已经证明正确的命题矛盾； （3）假设推出的结果与假设矛盾； （4）假设推出的结果自相矛盾. （三）适合应用反证法证明的几何问题 反证法从肯定命题的题设而否定命题的结论开始，即否定的结论也作为已知条件使用，这就给证明增加了条件.当从正面出发难以证明，且“结论”较“结论反面”更复杂时，我们考虑用反证法.具体来说，究竟什么样的几何命题用反证法证明比较方便呢？可归纳如下几个方面： 1.证明基本命题或初始命题 在几何中，证明一些原始的定理或性质时，往往可以应用的已知定义、定理比较少，因此通常很难利用直接证法，这时常考虑使用反证法，从结论的反面开始推证，为证明增加条件. 2.证明几何量之间的关系 几何中有关判断线线、线面、面面位置关系的问题上，我们通常可以使用定义法或反证法判断，但有时候用定义法证明比较困难，这时运用反证法有其独特的优势，特别是证明两直线是异面直线问题上，因此遇到此类问题时我们通常想到用反证法. 3.证明“否定性”命题 结论中出现“不能……”、“不是……”等形式的命题，我们称为“否定性”命题.证明某个研究对象“不存在”或“不具有”某种性质，我们常用反证法证明，由于这类否定的论断不是特别明确，没有具体性质能揭示此对象，一般不易直接证明，而否定的反面是肯定，它较之否定判断一般来说比较简单. 4.证明“唯一性”命题 需要证明符合某种条件的点（或线或面）有且只有一个时，我们称为唯一性命题.证明唯一性问题也常常用到反证法，命题的结论常以“唯一存在”或“只有一个”的形式出现.在证明时可以假设符合条件的对象不唯一，即设存在两个符合条件对象，然后通过一系列逻辑推证，说明在某些条件下，这两个对象是相同的，由此证得符合题设条件的对象是唯一的. 5.证明“至多”“至少”等限定形式命题 证明以“至多”“至少”形式出现的命题时，若直接从正面证明往往有多种情况需要讨论，比较复杂，而其反面相对较简单，因此遇到此类问题时我们首选反证法.当要直接证明“至少有一个元素具有某些性质”或者“至少有一个元素不具有某性质”比较困难时，先做出这个结论的否定论断：“所有的元素不具有某性质”或者“所有的元素具有某性质”.并把这个否定论断作为条件进行推证往往比较容易. 二、应用反证法应注意的问题 （一）反设要正确 应用反证法证明的首要前提就是要能正确否定结论，否则就会导致后面的推证前功尽弃.当命题结论的反面是多种情形，特别是结论反面比较隐晦时，“反设”往往容易出错，所以必须找准关键词，认真分析，全面考虑，避免出现错漏. （二）明确推理特点 应用反证法证题，整个推理过程必须正确无误，步步有理有据，否则即使推出了矛盾，也不能做出否定结论是错误的判断.推理过程中，要明确我们的目标是从否定的结论及题设出发导出矛盾，但什么时候出现矛盾，出现什么样的矛盾，要由命题的本身所决定，一般我们总是在命题的相关领域里考虑.因此，我们在运用反证法时只需正确否定结论，进行正确的推理，一旦出现了矛盾，证明也就结束了. （三）善于灵活运用 由于原命题与其逆否命题同真假，所以对于“若p则q”型的数学命题，一般都能用反证法证明，但并不是说我们就可以滥用反证法，所有这种类型的命题都使用反证法来证明.很多用直接证法就可以直接快捷证出来的命题，就不要一味使用反证法了，要注意反证法的局限性.同时，也要学会灵活运用反证法，有的数学命题须结合使用其他证法，有的数学命题须多次应用反证法，具体情形视题目要求而定. 虽然反证法不一定是中学几何证明中的首选方法，但遇到一般方法难以解决的问题时，如果能恰当地使用反证法，就可以化难为易、化繁为简、化不可能为可能.因此准确把握反证法的本质与逻辑依据，了解反证法中的矛盾形式，掌握反证法的一般步骤“反设—归谬—结论”，我們就能灵活熟练地运用反证法解决各类适合应用反证法证明的几何问题. 【参考文献】 [1]黄志燕.反证法在数学证明中的应用[J].数学教育，2012（2）. [2]吕艳珍.关于中学数学反证法的探讨[J].数学论坛，2009（10）. |
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