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高三数学“导数及其应用”复习课教学策略的实践研究

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欧阳

【摘要】高三的学生面临着高考的压力，良好的复习教学策略可以帮助学生加深对所学内容的理解.本文以高三数学“导数及其应用”复习课为出发点，通过论述“导数及其应用”复习课教学存在的问题，指出在复习课教学中教师要创新教学模式，根据学生的学情制订多元化的教学策略，要将陈述性、程序性和过程性导数知识进行区分性讲解，以此来提高学生的认知度，打造高效数学课堂.

【关键词】高三数学;导数及其应用;复习课;教学策略

导数及其应用是高三数学的重要知识点，也是高考常考的内容.学生在做导数类题目时经常忽视题目中的已知量和未知量之间的关系，只会“套公式”解题，不重视对导数概念的理解，导致解题时经常出现错误.数学新课程标准对导数学习的基本指导思想为“要让学生对导数本质有深入的认识，在应用时将其当成一种规则和数学思想，提高解题时的灵活性”.高三学生已经具备了很强的认知能力，他们不喜欢循规蹈矩的复习课模式，更喜欢富有挑战性和创新力的复习策略，因此在“导数及其应用”的复习中，教师一定要树立以学生为本的理念，针对不同学生的个性和学习特点，制订差异化的复习课教学策略，从而提高复习课的质量.本文将结合当前高三数学“导数及其应用”复习课教学中存在的问题，指出复习课的教学策略，希望能够为高三数学复习课教学提供帮助.

一、当前高三数学“导数及其应用”复习课教学中存在的问题

（一）教学模式固定，学生积极性不高

数学新课标对导数内容做了很大的调整，不介绍极限的形式化定义和相关的内容，与传统教学中将导数作为一种特殊的极限和一种“规则”来教学有了很大的区别.调整后的导数教学内容按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义的结构进行，这种方式更有利于学生在头脑中对导数建立形象的概念，突出了导数概念的本质内容，使导数的概念更具体、生动和直观.但是，受到高考导向的影响，在导数的复习课教学中，教学模式仍然较为固定，很多学生对于导数概念的理解还限制在死记硬背上，即使记不住、不理解也没有关系，只要能够学会套公式解题即可.上述情况造成了学生在解决导数应用题目时，无法利用导数概念对应用问题建立正确的数学模型.新课标中对导数的形式化定义虽然降低了学习难度，但是运动变量之间的关系被抽象为数学符号、数学语言和概念，这样的改变使得学生不能立即适用，在运用导数的时候找不到规律.

（二）学生对导数的逻辑结构与具体应用问题之间的关系理解不深

高中“導数及其应用”的教学虽然降低了导数复杂理论内容的教学要求，但是学生在避开严格理论体系的时候，使得导数的逻辑结构与具体应用问题之间产生了一定的分离，因此学生在处理单调的逆向问题时，总喜欢将导数与单调性关系的相关结论作为必要条件，从而出现错误.造成上述情况的主要原因就是学生对导数知识缺乏深入的理解，对于导数的整体知识框架把握得不够深入，解题时较为呆板，做不到举一反三，不能对导数知识进行适当的迁移.很多教师将这种情况归结为学生在复习课上没有认真听课，不注意对导数及其应用的知识点进行归纳和总结，这种理解是比较片面的.数学中含有大量陈述性、过程性和程序性知识，如果学生对导数的内容进行死记硬背的话，那就属于机械性的学习，不仅不会产生学习的兴趣，而且在解决稍微复杂一些的导数应用问题时就会不知道如何下手.

（三）复习课教学体现不出学生的主体地位

高三学生的学习压力较大，数学作为一门较为抽象的课程，如果教师掌握不好教学方式和方法，学生的学习兴趣就会非常低.在“导数及其应用”的复习课中，教师采用最多的方法就是讲授式教学，过程一般为对导数相关内容进行讲解、学生端坐听讲、教师提问和学生回答等，整个教学以教师为主、学生为辅，复习过程存在大量填鸭式内容，学生被教师“牵着鼻子走”，缺少师生、生生之间的深入互动，教师对学生的复习状况的了解也不够深入.此外，“唯成绩论”的思想贯穿整个课堂，学生即便在数学思维、建立模型、数学应用、合作探究等方面表现再优秀，只要学习成绩不理想，都会被定义为一个学困生，这严重打击了其自尊心，不符合数学新课改的相关要求.当前，一些较好的复习课教学方法，比如情境导入教学、翻转课堂教学、小组合作探究教学以及微课教学等在语文等文科课程中已经大量被应用，但是在数学课上应用得普遍较少，一方面是因为教师对这些教学方法的应用了解得还不够深入，另一方面是因为教师认为这些方法太过于占用课堂时间，不利于学生系统地掌握相关知识点.因此，在高三“导数及其应用”的复习课教学中，为了提高学生的学习兴趣，教师要树立学生的主体地位，增加课堂互动，同时融入一些新型的教学方法，促进学生的全面发展.

二、高三数学“导数及其应用”复习课教学策略研究

（一）强化学生对导数陈述性知识的理解

陈述性知识是导数学习中经常用到的知识，常以命题、表象、线性排序等三种形式作为基本的表征单元.命题是学生判断数学问题的一个基本观念，学生只有对命题性的知识进行了深入的理解，才能看清题意，在做题时专注中心点;表象表征则是学生对学过的知识点进行感性的回顾，是体现学生对连续知识点的理解和应用的一种能力;线性排序则是学生对一系列知识点所做的线性次序的重新编码，在拿到一个导数应用题时，能够快速地将已知和未知进行联系，找到解题步骤.数学陈述性知识的理解过程一般为“知识的基本单元表征—命题网络—获得图式”.在“导数及其应用”的复习课教学中，教师要让学生对导数的知识进行组合性的命题、表象和线性排序，最后形成知识的综合表征，即图式，将抽象的导数知识点变为生动的直观图形，将导数知识的规律性进行编码，从而将问题化繁为简，得到标准的答案.

在具体的教学策略中，教师可以设置适当的情境导入新课.比如，在复习导数及其应用的相关知识点“函数的极大值和极小值”时，教师应根据学生学过的知识选择一定的检测题目，达到承上启下的效果，使复习课的学习水到渠成，充分体现学生的主体地位，增强学生在练习活动中的能动性，采用合作探究性的学习方法，形成教学互动，激发学生的学习热情.检测题目可以为：已知函数f（x）=3x-x3的导函数f′（x）=3-3x2的图像，请尝试画出原函数f（x）的图像的草图.学生在情境问题的驱动下，在练习本上迅速画图，教师根据学生在画图过程中出现的问题，采用数形结合的模式引入函数极大值和极小值的相关复习内容，这样就能让学生对函数及其导函数的相互关系有深入的理解.

在导数陈述性知识的复习教学中，学生最初得到的图式一般是缺乏准确性的，教师要开展丰富的自学、互学和展学活动让学生自己对图式进行不断的改进和完善.教师在教学中可以从以下几点入手：一是，从反面进行论述并选取部分有代表性的例子，比如学生在初步熟悉了“函数极大值和极小值”的图式后，对于特殊点的取值范围往往了解得不够深入，这个时候教师可以提供函数存在零点但该点并非极值点的反例，让学生对“f′（x0）=0”这个陈述性知识有充分的认识;二是，加强逆命题和逆否命题的教学，由于命题属于陈述性知识的最小单元，加强逆命题和逆否命题的教学有助于让学生理解其与原命题之间的关系，比如原命题为：对于函数y=f（x），如果在区间I上存在f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的增函数（正确）;其逆命题为：对于函数y=f（x），如果f（x）为区间I上的增函数，那么f′（x）>0在区间I上恒成立（错误）;其逆否命题则为：对于函数y=f（x），如果f（x）为区间I上的减函数，那么f′（x）≤0在区间I上恒成立（正确）.这样就提供了一种判断函数是否单调和如何在解题中利用函数单调性的方法.

（二）强化学生对导数程序性知识的理解

在数学问题中，程序性知识会依托“产生式”这个形式表示出来.产生式指的是“条件—行动”的结构，某个数学问题会在一定的条件下发生转化，这个时候就产生了一个新的产生式.导数及其应用中涉及多个产生式，在教学中，教师应帮助学生强化各个产生式之间的联系，从而形成一个产生式的系统，代表完成一个复杂行为的程序知识.产生式的系统体现了结果与过程之间的关系，在“导数及其应用”的复习课教学中，教师不仅要让学生记住一些陈述性的知识，更要让学生了解程序性的知识点，将导数及其应用的知识点用活，明确知识点之间的动态性，掌握解题步骤和程序.

“导数及其应用”复习课教学中，教师要让学生学会利用一定的程序进行计算、作图、归纳、推理和证明.比如，在讲解“求函数f（x）=3x的导数”时，程序性知识的静态形式为：（xα）′=αxα-1，（ax）′=axln a，（ex）′=ex.静态知识向动态程序性知识的转化过程为：首先构建产生式条件——三种幂的形式的函数可以按照如下的方法进行求导：（xα）′=αxα-1，（ax）′=axln a，（ex）′=ex.然后让学生制订行动——首先，判断y=3x是指数函数的形式，底数是3;其次，让他们找到对应的公式（ax）′=axln a，将3代入公式中;最后，得出（3x）′=3xln 3.

因此，在“导数及其应用”的复习课教学策略中，教师在让学生初步掌握了陈述性知识后，要让他们学会对程序性知识的系统掌握.首先，让学生掌握程序性知识的静态形式，通过实践不断地摸索出导数程序性应用的规律，并将导数的应用形式保存在记忆中，灵活地解决之后所遇到的各种情境问题.其次，激发学生通过小组合作探究或者翻转课堂将静态的导数应用知识向动态的程序性知识转化，让学生初步学会构建导数应用的产生式，明确将题干中的已知和未知通过产生式相联系，让学生对理解和掌握的知识以一种动态的形式在大脑中储存，提高其对导数应用抽象知识的认知.最后，要设计变式的训练，将静态知识转化为动态的解决方法，让学生对产生式中的“条件—行动”理解得更为深刻，形成稍微思考就能解决导数应用问题的能力.在导数变式问题的解决中，教师可以有意识地改变一下问题的类型，让学生对同样的程序性问题学会适当的迁移，做到举一反三、融会贯通.

（三）强化学生对导数过程性知识的理解

过程性知识是数学学习中的重要内容，也是考查学生复习效果和解题灵活性的地方.过程性知识与程序性知识都属于动态型的知识，但是两者存在一些内涵上的差异，体现在：1.过程性知识属于体验性的数学知识，程序性知识是操作某项活动时的程序或者步骤，体现在导数学习中的应用阶段.2.程序性知识往往只针对某个小的知识点，而过程性知识强调学习获得这个知识点的过程，强调学生对导数概念的系统性认识.针对过程性知识，在“导数及其应用”的复习课教学中，教师要转变角色，由传统的课堂主导者变为引导者和策划者，将课堂充分交给学生.当学生在过程性导数问题的解决中遇到问题时，教师要通过点拨的方式，让学生通过独立思考和小组合作探究找到解决问题的途径，这会提高他们的数学应用能力.

比如，在高三第一轮复习课“导数在研究函数中的应用——极值”中，复习目标是让学生理解导数极值的定义，知道函数在某点取得极值的必要和充分条件，学会利用导数解决一些现实的问题.在复习中，为了让学生再次熟悉导数极值的定义，教师可以进行过程性知识的导入：对于函数y=f（x），给出它的图像，将某个点从左向右移动，图像表现出从“上升”到“下降”的趋势，函数则由单调递增转变为单调递减，这个时候在点P（x1，y1）附近点P的位置最高，即f（x1）比其周围函数的值都要大，我们就称f（x1）为函数y=f（x）的一个极大值.同样，教师也可以采用相同的方法让学生在动态的过程性知识中懂得图像中函数的一个极小值，极大值和极小值都叫作函数的极值.

函数的极值以及如何求函数的极值的方法都属于陈述性和程序性的内容，但是通过函数图像的单调性将极值的定义以及求极值的方法推导出来便是过程性的知识.因此，在“导数及其应用”的复习课上，教师要根据学生的认知情况，对前面学习过的内容进行逐一的复习.首先，复习函数的单调性，讲解极值定义与函数单调性的联系，让学生在复习中懂得极值可以用导数的形式进行研究，明确函数取得极值的必要和充分条件.其次，让学生知道在求极值的时候，要从原函数的单调性和导函数符号两个角度去充分理解，从而提高學生的解题技巧.为了提高复习课的效率，教师要树立学生的主体地位，根据学生的导数应用学情制订多元化的复习策略，让学生主动融入课堂学习中.在实际的复习课中，教师可以根据学生的认知情况将他们分成三个不同的学习小组，比如基础组、中间组和能力组，给他们安排不同的过程性内容.基础组以导数的概念和多项式函数的导数复习为重点，能够解决一些简单的导数应用问题;中间组以函数单调性和极值为重点，能够掌握两个函数的和、差、积和商的求导法则和复合函数的求导法则;能力组则会从几何直观的角度了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极大值和极小值的必要及充分条件，能够利用求导公式解决一些复杂的应用问题.在复习中，小组成员并不是固定不变的，成员在提高了自己的能力后，可以升级进入更高层次的小组，以提高其复习效果.

结语

综上所述，高三数学中“导数及其应用”是重要的知识点，在高考中所占的比重也比较大，在复习课中，教师要掌握好策略和方法，让学生系统地掌握导数应用的相关知识点.受传统教育教学思想的影响，当前高三复习课教学仍存在较大的问题，教学模式固定，学生兴趣度不高，教师在指导学生复习时忽视学生的课堂主体地位，导致学生只会套公式解题，解决应用题时的技巧和方法不足，这些都影响了学生的复习效果.因此，在“导数及其应用”的高三复习课中，教师要根据学生的学情创建课堂授课模式，将陈述性内容、程序性内容以及过程性内容进行交叉讲解，从而调动学生学习的能动性，打造高效数学复习课课堂.

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