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轨迹思想在解决动点存在性问题中

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石桢

摘要：动点存在性问题常用代数法和几何法解决，但两种方法分别因其计算庞杂、思维难度高而使学生望而却步，文章采用轨迹思想探究该类问题的解决。

关键词：轨迹思想;存在性问题;瓜豆原理

中图分类号：G4?文献标识码：A?文章编号：（2020）-32-392

1.问题提出

动点存在性问题讨论的是在平面上是否存在满足某一特殊条件的点，它是初等平面解析几何中的一类基本问题。其常见做法有代数法（结合几何性质列出方程求解）和几何法（分类讨论利用相似和全等求解）。在实际中，两种方法的难度要求都较高，代数法的计算量过大，几何法在分类讨论时对几何想象能力要求高，由于方法的困难，在初中阶段动点存在性问题常被作为难题或压轴题对待。

2.解决方法

解题方法是基于题目产生的，要想得到一类题目的通性通法，必须关心题目本身的内涵。

动点存在性问题关心平面内是否存在满足某一特殊条件的点，那么如果可以将这种条件用方程刻画出来，则可以解决问题，这是代数法;题目关心的点必然是动点，即无时无刻不处于运动之中，运动中必然伴随图形的变化，若找到变化的不同阶段分类讨论，也可以逐个击之，这就是几何法;题目关心的动点通常不会是随意运动的点，并且需要停留在某些直线、曲线才是我们需要的点，那么找到它的轨迹并求它与已知图形的交点，也可解决问题，这就是轨迹思想。

3.应用示例

4.总结反思

代数法和几何法解决动点存在性问题都是先假设存在，然后求出满足条件的点，这种做法本质上都是用反证思想解決存在性问题。轨迹法则是通过交点，一次性解决点是否存在，点在哪里。如果使用轨迹法求交点，必然关心轨迹的方程，初中阶段常见的是两种轨迹——直线与圆。

在本文例题中动点Q的轨迹是条直线，那么关心直线的斜率是什么，是否又过某定点。例题通过旋转找到了直线的斜率，又通过特例找到了直线所过的定点，这样的做法相比于代数法和几何法，更为直接。

参考文献

[1]付蓉.如何求解二次函数中的动点存在性问题[J].语数外学习（初中版），2019（09）：24-26.

[2]杨军，张红萍.“二次函数”图像点存在性问题探究[J].数理化学习（教研版），2017（02）：6-7.

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