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标题 一道中考数学动点问题解析
范文

    任永生

    

    中考数学运动变化类的压轴题,题目展示涉及:单一(双)动点在三角形、四边形上运动;在直线、抛物线上运动;几何图形整体运动问题知识点涉及:全等三角形的判定与性质、特殊四边形形的判定和性质、圆的相关性质、解直角三角形勾股定理,相似三角形的性质。数学思想涉及:分类讨论、数形结合、方程思想。 解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形。确定点在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系。

    例:(动点与几何图形综合型问题)在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60,AB=30。D是AC上的动点(点D与点A,C不重合),过点D作DF⊥BC于点F,过点F作FE∥AC,交AB于点E。设CD=x,DF=y。

    (1)求y与x之间的函数解析式;

    (2)当四边形AEFD为菱形时,求x的值;

    (3)当△DEF是直角三角形时,求x的值。

    【例题分层分析】(1)由已知求出∠C,可得到y与x之间的函数解析式;

    (2)若四边形AEFD为菱形,则DF=DA,从而可列方程;

    (3)若∠FDE=90°,你能证明四边形DFBE是矩形,四邊形CDEF是平行四边形吗?

    【解题方法点析】

    所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。

    解:(1)在Rt△ABC中,

    ∠B=90°,AC=60,AB=30,

    ∴AB∠C=30°。

    在△DFC中,DF⊥BC,则∠DFC=90°。

    ∵∠C=30°,∴DF=(0

    (2)若四边形AEFD为菱形,则DF=DA,其中DF=y,AD=60-x。

     -x,解得x=40。

    (3)若∠FDE=90°,如图1所示,易证四边形DFBE是矩形,

    ∥FB.

    ∵FE∥AC,

    ∴四边形CDEF是平行四边形,

    ∴EF=CD=x。

    ∵四边形AEFD是平行四边形,

    ∴EF=AD=60-x,

    ∴x=60-x,解得x=30。

    若∠DEF=90°,如图2所示。

    在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AC=60,AB=30。

    由勾股定理,得BC=3

    ∵FE∥AC,∴∠EFB=∠C=30°。

    ∵∠DFC=90°,

    ∴∠DFE=60°。而∠DEF=90°,∴∠EDF=30°。

    在Rt△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,CD=x,

    ∴DF

    同理,在Rt△DEF中,∠DEF=90°,∠EDF=30°,DF=。

    在Rt△EBF中,∠EBF=90°,∠EFB=30°,

    综上所述,x的值为30或48。

    ?誗编辑 王彦清

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更新时间:2025/3/17 1:48:15