标题 | 一道中考数学动点问题解析 |
范文 | 任永生 中考数学运动变化类的压轴题,题目展示涉及:单一(双)动点在三角形、四边形上运动;在直线、抛物线上运动;几何图形整体运动问题知识点涉及:全等三角形的判定与性质、特殊四边形形的判定和性质、圆的相关性质、解直角三角形勾股定理,相似三角形的性质。数学思想涉及:分类讨论、数形结合、方程思想。 解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形。确定点在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系。 例:(动点与几何图形综合型问题)在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60,AB=30。D是AC上的动点(点D与点A,C不重合),过点D作DF⊥BC于点F,过点F作FE∥AC,交AB于点E。设CD=x,DF=y。 (1)求y与x之间的函数解析式; (2)当四边形AEFD为菱形时,求x的值; (3)当△DEF是直角三角形时,求x的值。 【例题分层分析】(1)由已知求出∠C,可得到y与x之间的函数解析式; (2)若四边形AEFD为菱形,则DF=DA,从而可列方程; (3)若∠FDE=90°,你能证明四边形DFBE是矩形,四邊形CDEF是平行四边形吗? 【解题方法点析】 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。 解:(1)在Rt△ABC中, ∠B=90°,AC=60,AB=30, ∴AB∠C=30°。 在△DFC中,DF⊥BC,则∠DFC=90°。 ∵∠C=30°,∴DF=(0 (2)若四边形AEFD为菱形,则DF=DA,其中DF=y,AD=60-x。 -x,解得x=40。 (3)若∠FDE=90°,如图1所示,易证四边形DFBE是矩形, ∥FB. ∵FE∥AC, ∴四边形CDEF是平行四边形, ∴EF=CD=x。 ∵四边形AEFD是平行四边形, ∴EF=AD=60-x, ∴x=60-x,解得x=30。 若∠DEF=90°,如图2所示。 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AC=60,AB=30。 由勾股定理,得BC=3 ∵FE∥AC,∴∠EFB=∠C=30°。 ∵∠DFC=90°, ∴∠DFE=60°。而∠DEF=90°,∴∠EDF=30°。 在Rt△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,CD=x, ∴DF 同理,在Rt△DEF中,∠DEF=90°,∠EDF=30°,DF=。 在Rt△EBF中,∠EBF=90°,∠EFB=30°, 综上所述,x的值为30或48。 ?誗编辑 王彦清 |
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