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例谈一道中考压轴题的解题分析和解题方法

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查书平

【摘要】2018年曲靖市中考数学压轴题是以二次函数为基础的综合性问题，如何才能找到解决这类问题的解题途径？本文试从解题过程分析和解题方法两个方面进行分析，通过捕捉有用信息、已有相关储备信息提取、有效整合三个方面揭示了其分析过程，并用有效的解题方法来指导，让解题分析过程变成一个简明扼要的解题过程.

【关键词】综合性问题;解题分析;解题方法

一、试题呈现

（2018年云南曲靖23·12分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线l：y=13x-45与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2-3x+c的对称轴是x=32.

（1）求抛物线的解析式.

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且 PF=3PE.求证：PE⊥PF.

（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

二、解题过程分析

（一）捕捉有用信息

结合试题捕捉到以下信息：

解决（1）问信息：点A是直线l：y=13x-43与x轴的交点;抛物线经过点A，且对称轴为x=32.

解决（2）问信息：直线m由直线l平移得到且经过原点O.PB⊥x轴，PC⊥y轴，PE=3PF.

解决（3）问信息：点P坐标为（6，2），PE⊥PF，四边形PEQF是矩形.

（二）已有相关储备信息提取

结合试题提取已有相关信息：

信息1：待定系数法求抛物线解析式;抛物线对称轴为x=-b2a.

信息2：平移前后的直线k值不变;过原点的直线为y=kx的形式.

信息3：证两直线垂直只需证他们的交角等于90°;相等锐角的同名三角函数值相等.

信息4：存在性问题的解题模式：假设结论成立;分类思想.

信息5：矩形的性质：对边相等且平行，每一个内角是直角.

信息6：全等三角形的判定及性质;相似三角形的判定及相似三角形的性质.

（三）有效整合

有效整合是指把捕捉到的有用信息與提取的已有相关信息结合起来分析，并画出思维导图，使之成为一个完整严密的逻辑结构.

试题解题思维过程导图：

三、解题方法

第（1）小题：对称轴已知、一次项系数b已知，利用对称轴公式求出二次项系数a;点A在二次函数图像上已知，进而把点A代入解析式求c.

第（2）小题：证PE⊥PF转化为证∠FPC+∠CPE=90°，进而转化为证∠FPC=∠EPB，证∠FPC=∠EPB转化为证cos∠FPC=cos∠EPB即可.

第（3）小题：探究矩形存在性问题，假设Q存在，设出E点坐标为（m，0），分E点在B点左侧时m<6或E点在B点右侧时m>6;画出图形.

则问题转化求含字母m的Q点坐标，当PE⊥PF时，△PBE≌△QMF，△PBE∽△PCF.利用全等及相似即可求出含字母的Q点坐标.再把Q点代入二次函数解析式即可求出Q点.

总之，以二次函数为基础的综合性问题综合性强、难度较大，学生解答这类问题要有较强的基础知识和基本技能，熟悉的解题方法;较强的捕捉信息、提取信息、整合信息能力，才能在具体的解题情境中有效解题.

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