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标题 关于M-D及相关不等式
范文

    姚秀凤

    

    

    

    【摘要】本文利用控制不等式理论给出了Mitrinovic'-Djokovic'不等式的一个控制证明和相关不等式,建立了若干新的不等式.

    【关键词】M-D不等式;Schur凸性;受控

    本文中,Rn和Rn++分别表示n维实数集和n维正实数集,并记R1=R,R1++=R++.

    An(x)=∑ni=1xin为n元算术平均.

    1948年,G.H.Hardy证明了一个二元不等式[1]:

    对x1>0,x2>0且x1+x2=1有不等式

    x1+1x12+x2+1x22≥252(1)

    成立.

    1970年,塞尔维亚数学家D.S.Mitrinovic'等利用分析的方法将式(1)推广为[2]:

    定理1 如果xk>0(k=1,2,…,n),∑nk=1xk=1,对任意α>0有

    ∑nk=1xk+1xkα≥(n2+1)αnα-1(2)

    成立.

    式(2)称为M-D不等式[6],文献[6]对其研究进展有着详细的介绍与分析.

    本文另辟蹊径,利用控制不等式理论给出式(2)一个控制证明,并且对xk>0(k=1,2,…,n),∑nk=1xk=1时,给出关于∑nk=1xk+1xkα的相关式∑nk=11xk-xkα一个相关不等式,得到了一些有趣的结果.

    为了证明研究结果需要下面的定义与引理.

    定义1[3,5] 设x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn)∈Rn.

    ⅰ.若∑ki=1x[i]≤∑ki=1y[i],k=1,2,…,n-1,且∑ni=1xi=∑ni=1yi,则称x被y所控制,记作x

    ⅱ.设ΩRn,φ:Ω→Rn,若在Ω上x

    定义2[3,5] 设ΩRn.

    ⅰ.若x∈ΩPx∈Ω,n×n置换矩阵P,则称Ω为对称集.

    ⅱ.设Ω为对称集,φ:Ω→R.若对任何x∈Ω和任意n×n置换矩阵P,都有φ(Px)=φ(x),则称φ为Ω上的对称函数.

    引理1[4] 设ΩRn是有内点的对称凸集,φ:Ω→R在Ω上连续,在Ω的内部Ω0可微,则φ在Ω上Schur凸(凹)φ在Ω上对称且x∈Ω0,有

    (x1-x2)φx1-φx2≥0(≤0).(3)

    引理2[4] 设x=(x1,x2,…xn)∈Rn,有下列控制不等式成立:

    (x1,…,xn)>(An(x),…,An(x)),(4)

    其中An(x)=∑ni=1xin.

    定理2 对f(x1,x2,…,xn)=∑nk=11xk-xkα,当00时,

    f(x1,x2,…,xn)关于x1,x2,…,xn Schur凸.

    证明 分两种情况证明:

    ⅰ.当0

    令f(x1,…,xn)=∑nk=11xk-xkα,显然,f(x1,x2,…,xn)关于x1,x2,…,xn对称.

    fx1=-α1x1-x1α-11x21+1,

    fx2=-α1x2-x2α-11x22+1,

    不妨设0

    fx1-fx2=α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-1·1x21+1.

    令g(x)=1x-xα-11x2+1,于是

    g′(x)=-(α-1)1x-xα-21x2+12+1x-xα-1·-2x3

    =1x-xα-2(1-α)1x2+12+1x-x-2x3

    =1x-xα-2(1-α)+1x2-1-αx2+2(2-α)

    ≤1x-xα-2(1-α)+1x2-1-αx2+2≤0

    g(x)单调减.因此,有fx1-fx2≥0Δ1:=(x1-x2)fx1-fx2≥0.

    ⅱ.当0

    令g1(x)=1x-xα-1,则

    g1′(x)=1x-xα-1′

    =(α-1)1x-xα-2(-x-2-1)≥0,

    所以当0<α<1时g1(x)在(0,1]上是非负单调增函数.

    而fx1-fx2

    =α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-11x21+1

    =αgα-11(x2)1x22+1-gα-11(x1)1x21+1≥0

    Δ1:=(x1-x2)fx1-fx2≥0.

    綜合ⅰ、ⅱ,由引理1知f(x1,…,xn)关于x1,x2,…,xn Schur凸.

    定理3 对α>0,xk>0(k=1,2,…,n),∑nk=1xk=1,有不等式

    ∑nk=11xk-xkα≥(n2-1)αnα-1(5)

    成立.

    证明 由引理2控制不等式:(x1,…,xn)>(An(x),…,An(x))及定理1、定义1有

    f(x1,…,xn)≥f(A1(x),…,An(x)),

    即∑nk=11xk-xkα≥n1An(x)-An(x)α.

    于是,当∑nk=1xk=1时,有

    ∑nk=11xk-xkα≥(n2-1)αnα-1

    成立.

    推论1 对x1>0,x2>0且x1+x2=1有不等式:

    1x1-x12+1x2-x22≥92(6)

    成立.

    证明 定理2中令α=2,n=2,即有1x1-x12+1x2-x22≥92.

    推论2 对x1>0,x2>0且x1+x2=1有不等式:

    1x1-x1+1x2-x2≥6(7)

    成立.

    证明 定理2中令α=12,n=2时就有

    1x1-x1+1x2-x2≥312=6.

    推论3 当0<β<π2,有

    cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6(8)

    成立.

    证明 推论2中令x1=sinβ,x2=cosβ,于是

    1x1-x1+1x2-x2=1sin2β-sin2β+1cos2β-cos2β

    =cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6.

    最后我们给出定理1的控制证明,可以看出下面的证明比较D.S.Mitrinovic'的证明要简明.

    证明 令h(x1,x2,…,xn)=∑nk=11xk+xkα,显然,h(x1,x2,…,xn)关于x1,x2,…,xn对称.

    hx1=α1x1+x1α-1-1x21+1,

    hx2=α1x2+x2α-1-1x22+1,

    不妨设0

    hx1-hx2

    =α1x1+x1α-11-1x21-1x2+x2α-11-1x22

    =α1x2+x2α-11x22-1-1x1+x1α-11x21-1.(9)

    类似定理2的证明,我们分两种情况.

    ⅰ.当0

    令g1(x)=1x+xα-1,则

    g1′(x)=1x+xα-1′

    =(α-1)1x+xα-2(-x-2+1)≤0,

    所以,g1(x)在(0,1]上是非负单调减函数.

    ⅱ.当0

    令g(x)=1x+xα-11-1x2,则

    g′(x)=(α-1)1x+xα-21-1x22+1x+xα-12x3

    =1x+xα-2(α-1)1-1x22+1x+x2x3

    ≥0.

    因此,g(x)在(0,1]上是单调增函数.

    综合ⅰ、ⅱ,结合式(9)有:当00时Δ2:=(x1-x2)hx1-hx2≥0,又由引理1知h(x1,…,xn)关于x1,x2,…,xn Schur凸.

    再由控制不等式(x1,…,xn)>(An(x),…,An(x))及定理1、定义1有

    h(x1,…,xn)≥h(A1(x),…,An(x)),

    即∑nk=11xk+xkα≥n1An(x)+An(x)α.

    于是,当∑nk=1xk=1时,有

    ∑nk=11xk+xkα≥(n2+1)αnα-1

    成立.

    【参考文献】

    [1]G H Hardy.A Course of Pure Mathematics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1948:34.

    [2]D S Mitrinovic'.Analytic Inequalities[M].New York:Springer,1970:282.

    [3]王伯英.控制不等式基礎[M].北京:北京师范大学出版社,1990.

    [4]石焕南.受控理论与解析不等式[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2012.

    [5]A M Marshall,I Olkin.Inequalities:theory of majorization and its application[M].New York:Academies Press,1979.

    [6]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2010.

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更新时间:2025/3/11 22:28:52