标题 | 牵线反比例,搭桥相似形 |
范文 | 冯安同 问题引入如图1所示,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上,点B坐标为(8,4).点M是边BC上的一个动点(不与B,C重合),反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图像经过点M且与边AB交于点N,点M在运动的过程中,线段BM,BN,BC,BA四条线段有何比例关系? 探究1若M为BC的中点,点N是AB的中点吗? 分析由点B坐标(8,4)及点M为边BC的中点,易得点M坐标为(4,4),代入反比例函数关系式y=kx,求得 k=16.将N点横坐标x=8代入y=16x得y=2,则点N(8,2)是边AB的中点. 这时BMBC=BNBA=12. 探究2若BM=14BC,那么BN=14BA吗? 分析由点B坐标(8,4)及BM=14BC,易得点M坐标为(6,4),代入反比例函数关系式y=kx,求得k=24.将N点横坐标x=8代入y=24x得y=3,所以点N坐标是(8,3),所以BN=1,又因为AB=4,那么BN=14BA. 這时BMBC=BNBA=14. 由前面的探究我们知道: ① 当M是BC的中点时,点N是AB的中点,这时BMBC=BNBA,即BMBN=BCBA; ② 当BM=14BC,BN=14BA,同样有BMBC=BNBA,也能得到BMBN=BCBA. 那么点M在运动的过程中,BMBN=BCBA具有普遍性吗? 探究3在点M的运动过程中,试说明:BMBN=BCBA. 分析由y=kx及点M的纵坐标y=4,可得x=k4,所以BM=8-k4.同样由y=kx及点N的横坐标x=8,可得y=k8,所以BN=4-k8. 这样BMBN=8-k44-k8=14(32-k)18(32-k)=2. 由于BCBA=84=2,这样BMBN=BCBA. 结论通过探究3我们发现:点M在运动的过程中,存在BMBN=BCBA. 那么上述结论有什么作用呢? 例1如图2所示,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上,点B坐标为(8,4).点M是边BC上的一个动点(不与B,C重合),反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图像经过点M且与边AB交于点N,连接MN,AC,试证明MN∥AC. 分析由探究3的结论知道,在运动的过程中有BMBN=BCBA,又因为∠MBN=∠CBA,所以△MBN∽△CBA,所以∠BMN=∠BCA,从而证得MN∥AC. 例2如图3所示,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上,点B坐标为(8,4).点M是边BC上的一个动点(不与B,C重合),反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图像经过点M且与边AB交于点N,将△BMN沿MN折叠,点B恰好落在边OA上的点G处,求此时反比例函数的解析式. 分析由探究3知,BMBN=BCBA=84=2, 过点M作MD⊥OA于D, ∴MD=OC=4,∠MDG=∠GAN=90°, ∴∠MGD+∠DMG=90°. 由折叠知,MG=MB,NG=NB,∠MGN=∠B=90°, ∴∠MGD+∠AGN=90°, ∴∠DMG=∠AGN. ∵∠MDG=∠GAN=90°, ∴△MDG∽△GAN,∴MDAG=MGGN=BMBN. 又∵BMBN=BCBA=2,∴4AG=2,∴AG=2. 设AN=a,则GN=BN=4-a. 在Rt△NAG中,NG2-AN2=AG2, ∴(4-a)2-a2=22,∴a=32, ∴点N坐标为8,32,∴k=8×32=12, ∴反比例函数解析式为y=12x. |
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