肖婧宇 摘 要 复合函数是指自变量进过两次以上的映射，复合函数等于零求根的问题称为复合方程。复合方程是高考中的常见考点，需要按顺序求解两次，本来着重讨论该问题处理流程。 关键词 复合函数 复合方程 函数零点 数形结合 中图分类号：O151.2 文献标识码：A 1已知函数求根 例1：设R上的函数则关于的函数的零点个数为（D） A.2 B.3 C.5 D.7 解；设，图像如图： 或1，如图： ， 4个根； ，3个根。 分析：对于这样的题，先将换元，再解复合方程得到的可能值，最后画出图像，根据数形结合得到x的个数。 例2：定义域为R的函数若关于x的方程 + 有5个不同的实数解，则（B）。 A.2B.6 C.2或6 D.4或6 解：设，图像如图： 如圖可知：一个最多对应4个x，所以定然有2个，。因为不存在1个对应1个x的情况，所以一定是1个对应2个x，另一个对应3个x，因此有一个一定为4，代入得m=2或6。 m=2时，=1，=4 对应7个根，舍去； m=6时，=4，=9成立。 分析：对于已知实数解个数的题，应先画出图像分析的个数及对应根的个数进行讨论。 例3：关于的方程，给出下列四个命题： （1）存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； （2）存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； （3）存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； （4）存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是（A） A. 0 B. 1 C. 2 D.3 解：设 （1） ，t无解，x无解；（2） ，，x有4个解； （3）， （1）k=0，，； （2）， ，x有8个解； （3），，，， x有2个解。 分析：对于复合方程中的常数项未知的题，先根据讨论该未知量在不同取值范围内对应f（x）的范围或取值，再数形结合得到解的个数。 2已知函数图像求根 例：定义域和值域均为（常数a>0）的函数y=f（x）和y=g（x）的函数图像如图所示，给出下列4个命题： （1）方程f[g（x）]=0有且仅有三个解； （2）方程g[f（x）]=0有且仅有三个解； （3）方程f[f（x）]=0有且仅有九个解； （4）方程g[g（x）]=0有且仅有一个解。 中正确的个数为（B）。 A.1 B.2 C.3 D.4 （1）设，如图：，，都为0。，， 在g（x）图像中画出各对应1个根，共3个根，（1）正确，（2）（3）（4）错误。 分析：对于这样的题，先观察复合函数为零时内层函数的取值范围，再在内层函数图像上作图观察根的个数。 |