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行列式概念的启发式教学探讨

范文

杨静

摘要从行列式产生的几何背景出发，提出行列式概念的一种启发式教学方案。利用行列式定义的建立过程，充分训练学生发现、归纳、证明知识的能力，培养学生的科研素质和创新思维。

关键词线性代数行列式启发式教学知识发现

0引言

行列式是线性代数中的基本概念，也是教学过程中的重点和难点。如何帮助学生正确理解行列式的定义并熟练运用其相关性质解决问题是行列式教学中的主要目标。

目前国内在行列式教学中采取的主流教学方式为：从较为简单的二阶和三阶行列式定义出发，引出一般n阶行列式的定义，并证明该定义具备的若干良好性质。而大部分线性代数教材中行列式的内容也是按照这个思路编写的。笔者在线性代数课程的教学实践中发现，这种教学思路给出的行列式定义往往较为抽象，而由于缺乏对行列式的直观认识，容易导致学生学习热情降低。分析发现该问题产生的原因是在教学过程中，教学活动往往从定义出发而不是从问题背景出发来展开的。因此本文借鉴文献[3，4]中行列式概念建立的思想，探讨如何从几何背景出发，通过观察总结得到行列式的若干性质，引导学生从几何的角度建立行列式的定义，并证明这些几何性质导出的行列式计算公式是存在且唯一的。

1二阶行列式定义的导出

首先以平面上两向量为邻边的平行四边形面积作为引例导出二阶行列式的定义。

给定两个平面向量，考察以它们为邻边的平行四边形的有向面积函数，面积的符号由到转角的符号决定。易知该面积函数具备以下性质：

即两向量重合时，平行四边形面积为零。

上述性质均可通过引导学生对平行四边形的有向面积进行分析得到。在归纳总结的过程中，学生可以建立对行列式性质的直观认识。然后教师可以启发学生根据平行四边形面积的上述几何性质推导得出有向面积函数的代数表达式。推导过程如下：

此时，教师可以引导学生得出结论：平面上由两个向量，确定的平行四边形其有向面积函数唯一存在，可以将此面积定义为这两个向量的行列式，记为。

2 阶行列式定义的导出

通过观察二阶行列式满足的性质（1.i）-（1.iii），再次引导学生能否可以将这些性质推广到高维空间多个向量的情形，同时也让学生思考具备相应性质的多个向量的運算法则又如何呢？学生经过初步尝试，可以建立如下的n阶行列式定义，而定义满足的性质均可由二阶行列式的性质推广得到。

定义：设为n维空间中的向量，称满足下列性质的映射D为阶行列式：

与二阶行列式的导出步骤类似，教师可引导学生探索满足性质（2.i）-（2.iii）的映射D的存在性和唯一性。事实上，大部分大一的学生都能够参照二阶行列式的导出方法对映射D的存在性进行论证，并在论证过程中给出n阶行列式的计算表达式。与此同时，教师也可以引出唯一性的问题，即n阶行列式的表达式是否唯一？

唯一性的论证是培养学生逻辑思维能力的一个环节。数学中的唯一性论证通常采用的是反证法。这里可假设存在另一个不同于D的映射D，只需证明任意在D和D下的像均相同即可。换句话说，也就是二者的差为零。这个结论的证明可以利用行列式的多重线性性和规范性加以完成。

至此，在老师的启发和引导下，学生经过自己的主动思考与探索已将n阶行列式的定义完整导出。在上述教学方案中，行列式这个抽象的知识点不再是简单的向量间的运算，而是具备某些良好性质的数学对象。学生在这个定义导出的过程中可以从不同的角度获得对行列式的多种理解。

在以上的教学过程中，教师通过充分调动学生的好奇心、探索欲和求知欲，使学生从被动的知识接受者的身份变成了主动的知识发现者，让他们不仅学到了专业知识，更重要的是在教授知识的过程中逐渐训练了学生观察、归纳、总结和发现知识的能力。在经过长期的积累后，这种能力将成为他们解决困难问题时自信心和创造力的来源。

3总结

本文主要探讨一种行列式定义的启发式教学思路。与目前主流的由代数定义到行列式性质的教学方式相比，从几何角度出发以问题为导向的教学方式可以将学生代入数学知识发现者的角色，跟随老师的引导重新“发明”行列式的定义。这个过程不仅能够提高学生学习的积极性和主动性，增进学生对行列式概念的深入理解，同时也有助于提升学生从具体知识到抽象知识的归纳总结能力，培养学生的科研思维。

参考文献

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014：1-23.

[2] 王萼芳，石明生.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013：50-67.

[3] 李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006：105-130.

[4] Charles W.Curtis.Linear Algebra：An Introductory Approach （Fourth Edition）[M]. New York： Springer， 1984：132-160.

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