| 标题 | 行列式计算为背景的空间向量问题 |
| 范文 | 项效萱
【摘要】行列式为高中数学选修课程中的内容之一，该知识点简单易掌握，并且与空间向量问题有着千丝万缕的联系，使用三阶行列式计算法则，可以轻松解决多种空间向量问题。 【关键词】行列式 法向量 空间三角形面积 三棱锥体积 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）24-0296-01 背景知识：行列式基本运算法则： （1）二阶行列式 （2）三阶行列式 接下来我们来探讨行列式在空间向量中的实际运用 （1）行列式的求解法向量 法向量为 则有， 该方法的本质是：向量的“×”乘运算，得到垂直两向量的新向量，即为法向量。其方向可利用左手定则判断，与物理中的磁场力方向判断方法是完全一致的。 例1：如图所示，PA⊥面ABCD，面ABCD为矩形，PA= AB=1，PD与面ABCD所成角为30°，点F是PB中点，点E在PB边上移动，求面PAC法向量。 传统解法：建立如图所示坐标点 其中A（0，0，0）P（0，0，1） 设法向量 用行列式求解：建立如图所示坐标系 A（0，0，0）P（0，0，1） 与传统方法的求解得出的法向量一致。 小结：对于许多求解法向量较为复杂的问题，同学们很难容易出错，使用行列方法既方便又不易出错。 （2）行列式求解空间三角形的面积。 由向量的“×”乘定义知道：的本质为垂直于 的一个向量， 它的模为：（夹角）， 而△ABC的面积为： ∴ （3）行列式求解三棱锥体积空间内有四点，任意一点作为顶点，例如A 则有 =（x3-x1，y3-y1，z3-z1） =（x2-x1，y2-y1，z2-z1） 三棱锥体积 例2：如图，长方体AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E，F，G 分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，（1）试在底面A1B2C1D1上找一点H，使EH/平面FGB1；（2）求四面体EFGB1的体积。 解（1）略 （2）本题特点在于无法直接使用体積法换顶点，因为这4个顶点都无法直接得到棱锥的高。只能通过第一问结论将点E平移至H点处，对学生解题能力要求较高。 接下来我们使用行列式方法求解，已知： 小结：许多求解体积的题目，所求三棱锥形状不规则，故求解困难，而使用行列式求解则不受其影响，计算比较方便。 显然，行列式在立体几何中能帮助我们求解一些无法使用常规方法求出的题目，并且能大大降低在计算时出现错误的概率，是我们立体几何学习的重要补充和备选方案。 |
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