| 标题 | 函数值域之换元法 |
| 范文 | 谢金辉 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02 换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元法又称辅助元素法、变量代换法。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。 一、一般换元法 【例1】求函数的值域. 解：令，则且， ， 函数的值域为. 【变式1】求函数的值域. 二、三角换元 重要公式： 有着本质的联系！ 【例2】（2005福建）已知实数满足，求的最小值. 解：， 令 ，则 的最小值为. 【例3】 求函数的值域. 解：令，其中. ， . ● 反思： 角的范圍为什么这么取？ 【变式1】 求函数的最大值. 答案：. 【例4】（2009辽宁竞赛） 函数的最大值与最小值的乘积是 . 解： ，令， 所以答案是. 三、双换元 【例5】求函数的值域. 解：方法1：平方 当时，；当或1时，. 函数的值域为. 方法2：双换元 令， 则，其中 ，则 （接下去可以用线性规划做，也可以三角换元） 令 【例6】 求函数的值域. 解：令， 则，其中 ，其中 则， 令，其中 函数的值域为. 四、整体换元 【例7】 求函数的值域. 解：， 令，则， 其中， 【变式1】（2013新课标Ⅰ） 若函数的图像关于直线对称，则的最大值为 . 解：观察得是的两根， 的图像关于对称， 和也是的两根. 由已知，和是方程的两根，由韦达定理得. 令，则，其中，. 故答案为16. 五、结论换元 当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。 【例8】已知，且，求的取值范围. 解：设，令，代入已知等式， 得 . 由 故的取值范围是. 六、小结 通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学. 【变式1】实数满足，设，求的最大值和最小值. 解：设， 则 而 |
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