| 标题 | 再谈平行四边形第四个顶点的坐标公式及应用 |
| 范文 | 蒙少亭 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）26-0288-02 一、问题提出 近几年，许多中考真题中都考查了二次函数与平行四边形结合的题型，题型一般都是四边形的两个顶点为定点，另两个为动点，其中一个在抛物线上，而另一个动点在特殊的直线上（如：x轴、y轴或抛物线的对称轴上）以这四个点为顶点的平行四边形，求动点的坐标。解决这类问题的关键就是：设出一动点坐标，表示出另一动点的坐标（即平行四边形第四个顶点）。文献[1]中给出了推导平行四边形的第四个顶点坐标公式的方法及其应用，笔者仔细研读后对公式的推导推方法又有了新的发现与思考：从平行四边形的结构特征来看，平行四边形都可以动态的看成由它的一条边通过平移得到，能否用平移的思想，借助平移前后点的变化规律，来发现平行四邊形的四个顶点存在的内在联系.下面笔者将公式的推导过程予以展示，供大家参考。 二、问题探究 1.定形（字母有顺序） 问题1：如图，四边形ABCD为平行四边形，其中，求D点坐标。 解法如下： 解法一：平行四边形ABCD可以看成由边AB经过平移到CD而形成四边形。由平移前后点的坐标变化规律可知，B到C的平移方式与A到D的平移方式相同。点B先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点C，则点A先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点D. 解法二：平行四边形ABCD可以看成由边BC经过平移到AD而形成四边形。由平移前后点的坐标变化规律可知，B到A的平移方式与C到D的平移方式相同。点B先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点C，则点C先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点D. 不难发现，解法一和解法二结果一致。由上面的探究，可以得出以下结论： 平行四边形的四个顶点顺序一定，已知前三个点的坐标，则第四个点的横坐标即为已知对角两点的横坐标的和减去第三点的横坐标，第四个点的纵坐标即为已知对角两点的纵坐标的和减去第三点的纵坐标。 特殊地： ①平行四边形ABCD中， 则：，其中. ②平行四边形ABCD中， 则：，其中. 两种特殊情况，从数和形的角度清晰地展现出平行四边形的四个顶点存在的内在关系，同时也是公式的特殊应用。 2.不定形（字母无顺序） 问题2：以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，其中，求D点坐标。 解法如下： 由于字母的顺序不定，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形要进行分类讨论，以对角线进行分类，可以分如下图所示的三类： 类型一：以AC为对角线，由问题1的结论可知：D1 . 类型二：以BC为对角线，由问题1的结论可知：D2 . 类型二：以AB为对角线，由问题1的结论可知：D3 . 由上面的探究，可以得出以下结论： 平行四边形的四个顶点顺序不定，已知其中任意三个顶点的坐标，则第四的顶点的横坐标即为任意两点的横坐标的和减去第三点的横坐标；第四个点的纵坐标即为任意两点的纵坐标的和减去第三点的纵坐标。 上面的探究过程是从定形和不定形两种情况进行分类讨论，利用平移的规律，先推导出特殊情况下（字母有顺序）的公式，再得到一般情况下（字母无顺序）的结论，符合从特殊到一般的认知规律。同时，避免了文献[1]中中点坐标公式的使用，更便于学生的理解与运用。 三、方法应用 如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.过O，D，C三点作抛物线，若点N在上述抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：由折叠的性质，及△COE∽△EAD，易得：从而得到抛物线的表达式为： ∵抛物线的对称轴为：x=-2 ∴N（-2，n），以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形分三种情况： ①当CN为对角线时， ∵C（-4，0），N（-2，n），E（0，-3），由第四顶点坐标公式得： ∴M（-4+（-2）-0，0+n-（-3））即M（-6，n+3） 将M（-6，n+3）代入，易得M（-6，16） ②当CE为对角线时： ∵C（-4，0），E（0，-3），N（-2，n），由第四顶点坐标公式得： ∴M（-4+0-（-2），0+（-3）-n）即M（-2，-n-3） 将M（-2，-n-3）代入，易得M（-2，） ③当EN为对角线时： ∵E（0，-3），N（-2，n），C（-4，0），由第四顶点坐标公式得： ∴M（0+（-2）-（-4），-3+n-0）即M（2，n-3） 将M（2，n-3）代入，易得：M（2，16） 参考文献： [1]秦宇峰.求平行四边形第四个顶点的坐标公式[J].中学数学教学参考：中旬，2015（5）：68. |
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