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标题 由圆的两条性质所想到的
范文

    石磊

    

    【中图分类号】G633.3 ??????【文献标识码】A

    【文章编号】2095-3089(2019)15-0266-01

    圆有两个很重要性质:

    性质1:直径所对圆周角为直角;

    性质2:圆内任意一条弦的中点与圆心的连线垂直于这条线.

    在解决直线与圆相交的问题时上述两条性质起到了很大的作用,而圆与椭圆又是“近亲“,所以运用类比的思想笔者猜想椭圆也应有类似的结论:

    结论1:若AB是过椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1(a>b>0)的中心的任意一条弦,椭圆上任意一点P,若直线PA,PB的斜率都存在不为0分别设为k1,k2,则k1,k2=-b2〖〗a2。

    证明:如图1,AB为过椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1(a>b>0)中心的任意一条弦,P为椭圆上任意一点,

    设PA所在直线斜率为k1,PB所在直线的斜率为k2,且斜率存在不为0,

    P(x0,y0),A(x1,y1),B(-x1,-y1)则有:

    k1=y1-y0〖〗x1-x0,k2=-y1-y0〖〗-x1-x0,

    k1k2=y1-y0〖〗x1-x0·-y1-y0〖〗-x1-x0=y20-y21〖〗x20-x21=b2(1-21〖〗a2)-b2(1-x20〖〗a2)〖〗x20-x21=-b2〖〗a2

    结论2:若AB是椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1(a>b>0)的任意一条弦,M为AB中点,O为椭圆的对称中心,直线AB,OM的斜率存在不为0分别设为k1,k2,则k1k2=-b2〖〗a2.

    证明:如图2,AB为椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1(a>b>0)的任意一条斜率存在且不为0的弦,不妨设

    直线AB的方程为y=k1x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)将A,B代入到椭圆方程中有:〖JB({〗x21〖〗a2+y21〖〗b2=1

    x22〖〗a2+y22〖〗b2=1〖JB)〗两式作差得x21-x22〖〗a2+y21-y22〖〗b2=0化简得:

    (x1-x2)(x1+x2)〖〗a2+(y1-y2)(y1+y2)〖〗b2=0由已知x1≠x2,x1+x2≠0两边同时除以(x1-x2)(x1+x2)得:

    1〖〗a2+(y1-y2)(y1+y2)〖〗b2(x1-x2)(x1+x2)=0得到:1〖〗a2+(y1-y2)〖〗b2(x1-x2)2y0〖〗2x0化简得:1〖〗a2+1〖〗b2k1k2=0所以k1k2=-b2〖〗a2.

    〖XC63.JPG;%25%25〗

    图1 ??????????圖2

    焦点在x轴上的椭圆有上述的结论,那么焦点在y轴上的椭圆也有这样的结论:

    结论3:若AB是过椭圆y2〖〗a2+x2〖〗b2=1(a>b>0)的中心的任意一条弦,椭圆上任意一点P,若直线PA,PB的斜率都存在不为0分别设为k1,k2,则k1k2=-a2〖〗b2。

    结论4:若AB是椭圆y2〖〗a2+x2〖〗b2=1(a>b>0)的任意一条弦,M为AB中点,O为椭圆的对称中心,直线AB,OM的斜率存在不为0分别设为k1,k2,则k1k2=-a2〖〗b2.

    证明同结论1,结论2.

    〖XC64.JPG;%25%25〗

    图3 ???????????????图4

    有上述猜想后笔者又联想到,椭圆与双曲线又是一对“近亲“,如果可以根据圆的性质得到椭圆的一组结论,笔者猜想双曲线也应有类似的一组结论:

    结论5:若AB是过双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1(a>0,b>0)的中心的任意一条弦,双曲线上任意一点P,若直线PA,PB的斜率都存在不为0分别设为k1,k2,则k1k2=b2〖〗a2。

    证明:如图5,AB为过双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1(a>0,b>0)中心的任意一条弦,P为椭圆上任意一点,

    设PA所在直线斜率为k1,PB所在直线的斜率为k2,且斜率存在不为0,

    P(x0,y0),A(x1,y1),B(-x1,-y1)则有:

    k1=y1-y0〖〗x1-x0,k2=-y1-y0〖〗-x1-x0,

    k1k2=y1-y0〖〗x1-x0·-y1-y0〖〗-x1-x0=y20-y21〖〗x20-x21=b2(x21〖〗a2-1)-b2(x20〖〗a2-1)〖〗x20-x21=b2〖〗a2

    结论6:若AB是双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1(a>0,b>0)的任意一条弦,M为AB中点,O为双曲线的对称中心,直线AB,OM的斜率存在不为0分别设为k1,k2,则k1k2=b2〖〗a2.

    证明:如图2,AB为双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1(a>0,b>0)的任意一条斜率存在且不为0的弦,不妨设

    直线AB的方程为y=k1x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)将A,B代入到双曲线方程中有:〖JB({〗x21〖〗a2-y21〖〗b2=1

    x22〖〗a2-y22〖〗b2=1〖JB)〗两式作差得x21-x22〖〗a2-y21-y22〖〗b2=0化简得:

    (x1-x2)(x1+x2)〖〗a2-(y1-y2)(y1+y2)〖〗b2=0

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更新时间:2025/3/15 16:01:32