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矩阵方程AX=B的求解方法

范文

姜鹏李扬

【摘要】本文叙述了当A为可逆矩阵以及A为不可逆矩阵或者不是方阵时，矩阵方程AX=B的求解方法。

【关键词】矩阵方程 ?线性代数

【中图分类号】O151 ?【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）17-0126-01

矩阵方程是以矩阵为未知量的方程。在矩阵方程AX=B中，A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。矩阵方程AX=B的求解问题，是线性代数中的一种典型问题，常用的求解方法主要分为如下的两种类型。

一、A为可逆矩阵

当A为可逆矩阵时，用A的逆矩阵A-1分别左乘矩阵方程AX=B的左右两端，可得其唯一解为X=A-1B。这种类型的矩阵方程，可细分为下列的两种解法。

1.伴隨矩阵法

先分别计算A的行列式|A|和A的伴随矩阵A？鄢，再通过公式A-1=A求出A-1，最后将A-1代入X=A-1B中，即可求出矩阵X。

2.初等行变换法

二、A为不可逆矩阵或者不是方阵

实际上，在计算矩阵方程AX=B时，并不知道矩阵A是否是可逆矩阵。在具体操作时，当A为方阵时，可以按照上述的做法，先求出|A|或者对（AB）施以初等行变换。如果|A|=0或者A化成的行最简形矩阵不是单位矩阵E，这时就说明A为不可逆矩阵。

当A为不可逆矩阵或者不是方阵时，就需要将矩阵X中的所有元素都设为未知数，并将原来的矩阵方程转化为关于上述未知数的线性方程组。这时，矩阵方程AX=B就不一定有解。

参考文献：

[1]谢彦红，吴茂全.线性代数及其MATLAB应用[M]. 第二版. 北京：化学工业出版社，2017年.

[2]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M]. 第二版. 武汉：华中科技大学出版社， 2000年.

作者简介：

姜鹏（1976-），男，汉族，辽宁沈阳人，硕士，讲师，主要从事应用数学的教学和研究工作。

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