【内容摘要】从数形两方面探究、推导“平方差公式”，观察并总结出公式的形式特征。
【关键词】多项式乘法法则 平方差公式
一、 知识回顾
多项式乘法法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
其意义是：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
说明：这里相乘的两个多项式不管是几项式，其法则不变.
二、问题探究
计算：
（1）（x+2y）（x-2y）；
（2）（x-6y）（x+6y）；
（3）（3x+5y）（3x-5y）；
（4）（a+b）（a-b）.
观察与思考：这几道问题中相乘的两个多项式之间有何关系特征？其相乘的结果形式有何特征？为什么？你能概括出什么结论？
1.可看作是“两个数的和乘以这两个数的差”，其结果是等于“这两数的平方差”.
即：两数的和乘以这两数的差=这两数的平方差.
2.左边的两个二项式中有一项相同，另一项是互为相反数；右边是相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2；
观察其计算的过程，展开式的中间两项恰好是互为相反数，合并为零，所以最后的结果只剩下两项。
概括：（阅读课本第31页）
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.
其意义是：
（1）两个数的和乘以这两个数的差，这两数的平方差；
（2）相乘的两个多项式中，有一项相同，另一项是互为相反数，其相乘的结果是相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
说明：
1.公式中的a、b可以是数或单项式或单项式；
2.注意公式的第二层面的理解。
用面积法来解释公式的几何意义：
如图，把边长为a的正方形挖去一个边长为 的正方形，剩下的图形面积有几种不同的求法？它们表示的代数恒等式是什么？
在图1中，S=a2-b2；在图2中，S=（a+b）（a-b）。
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；或说：（a+b）（a-b）=a2-b2。
試一试：
1. 计算：
（1）（a+3）（a-3）；
（2）（2a+3b）（2a-3b）；
（3）（1+2c）（1-2c）；
（4）（-2x-y）（2x-y）.
第（4）题的进一步探究：
变式计算：
（1）（2x+y）（-y+2x）；
（2）（2x+y）（y-2x）；
（3）（-2x+y）（2x+y）；
（4）（-2x-y）（-2x+y）；
（5）（2x+y）（-2x-y）.
由这组题目的计算，你对平方差公式的特征还有什么新的认识？
相乘的两个多项式中，若有一项相同，另一项是互为相反数，则它们的积等于 项的平方减去 项的平方.
练一练：
计算：
（1）（2x+12） （2x-12）；
（2）（-x+2）（-x-2）；
（3）（-2x+3y）（2x+3y）；
（4）（y-x）（-x-y）.
注意：相同项的平方减去相反项的平方！
更上一层楼：
1.计算：（x+2）（x-3）-（x-4）（x+4）.
2.先化简，再求值：（x-3y）（x+y）-（x+3y）（x-3y），其中，x=-2，y=14.
三、课后练习
1.计算：
（1）（a+3）（a-5）= ；
（2）（a+3）（a-3）= ；
（3）（a-5）（a+5）= ；
（4）（a-3）（a-5）= .
2.计算：
（1）（x+3y）（x-3y）= ；
（2）（3x+2y）（3x-2y）= ；
（3）（2x-5y）（2x+5y）= ；
（4）（-x+3）（-x-3）= .
3.计算：
（1）（a-4）（a+4）+（a-1）（a+1）；
（2）（5+x）（5-x）+（x-1）（x+3）；
（3）（3x-4y）（3x+4y）-（x+4y）（x-4y）；
（4）（a+2b）（2b-a）-（a+3b）（a-b）.
4.解方程：4x2-（x-2）（x+2）=（x-4）（3x+4）.
5.先化简，再求值：（x+3）（x-3）-（3x+2）（2-3x），其中x=2.
6.计算：（2x-y）（2x+y）（4x2+y2）.
7.（1）探究：计算下列各式：
（x-1）（x+1）= .
（x-1）（x2+x+1）= .
（x-1）（x3+x2+x+1）= .
（2）归纳：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+...+x+1）= .
【参考文献】
[1]华师大《八年级上册》（2014版）.
（作者单位：福建省泉州市培元中学）
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