标题 | 华师版“平方差公式”教学案例 |
范文 | 王青松![]() 【内容摘要】从数形两方面探究、推导“平方差公式”,观察并总结出公式的形式特征。 【关键词】多项式乘法法则 平方差公式 一、 知识回顾 多项式乘法法则:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 其意义是: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 说明:这里相乘的两个多项式不管是几项式,其法则不变. 二、问题探究 计算: (1)(x+2y)(x-2y); (2)(x-6y)(x+6y); (3)(3x+5y)(3x-5y); (4)(a+b)(a-b). 观察与思考:这几道问题中相乘的两个多项式之间有何关系特征?其相乘的结果形式有何特征?为什么?你能概括出什么结论? 1.可看作是“两个数的和乘以这两个数的差”,其结果是等于“这两数的平方差”. 即:两数的和乘以这两数的差=这两数的平方差. 2.左边的两个二项式中有一项相同,另一项是互为相反数;右边是相同项的平方减去互为相反数的项的平方. (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2; 观察其计算的过程,展开式的中间两项恰好是互为相反数,合并为零,所以最后的结果只剩下两项。 概括:(阅读课本第31页) 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 其意义是: (1)两个数的和乘以这两个数的差,这两数的平方差; (2)相乘的两个多项式中,有一项相同,另一项是互为相反数,其相乘的结果是相同项的平方减去互为相反数的项的平方. 说明: 1.公式中的a、b可以是数或单项式或单项式; 2.注意公式的第二层面的理解。 用面积法来解释公式的几何意义: 如图,把边长为a的正方形挖去一个边长为 的正方形,剩下的图形面积有几种不同的求法?它们表示的代数恒等式是什么? 在图1中,S=a2-b2;在图2中,S=(a+b)(a-b)。 ∴a2-b2=(a+b)(a-b);或说:(a+b)(a-b)=a2-b2。 試一试: 1. 计算: (1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b); (3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y). 第(4)题的进一步探究: 变式计算: (1)(2x+y)(-y+2x); (2)(2x+y)(y-2x); (3)(-2x+y)(2x+y); (4)(-2x-y)(-2x+y); (5)(2x+y)(-2x-y). 由这组题目的计算,你对平方差公式的特征还有什么新的认识? 相乘的两个多项式中,若有一项相同,另一项是互为相反数,则它们的积等于 项的平方减去 项的平方. 练一练: 计算: (1)(2x+12) (2x-12); (2)(-x+2)(-x-2); (3)(-2x+3y)(2x+3y); (4)(y-x)(-x-y). 注意:相同项的平方减去相反项的平方! 更上一层楼: 1.计算:(x+2)(x-3)-(x-4)(x+4). 2.先化简,再求值:(x-3y)(x+y)-(x+3y)(x-3y),其中,x=-2,y=14. 三、课后练习 1.计算: (1)(a+3)(a-5)= ; (2)(a+3)(a-3)= ; (3)(a-5)(a+5)= ; (4)(a-3)(a-5)= . 2.计算: (1)(x+3y)(x-3y)= ; (2)(3x+2y)(3x-2y)= ; (3)(2x-5y)(2x+5y)= ; (4)(-x+3)(-x-3)= . 3.计算: (1)(a-4)(a+4)+(a-1)(a+1); (2)(5+x)(5-x)+(x-1)(x+3); (3)(3x-4y)(3x+4y)-(x+4y)(x-4y); (4)(a+2b)(2b-a)-(a+3b)(a-b). 4.解方程:4x2-(x-2)(x+2)=(x-4)(3x+4). 5.先化简,再求值:(x+3)(x-3)-(3x+2)(2-3x),其中x=2. 6.计算:(2x-y)(2x+y)(4x2+y2). 7.(1)探究:计算下列各式: (x-1)(x+1)= . (x-1)(x2+x+1)= . (x-1)(x3+x2+x+1)= . (2)归纳:(x-1)(xn-1+xn-2+xn-3+...+x+1)= . 【参考文献】 [1]华师大《八年级上册》(2014版). (作者单位:福建省泉州市培元中学) |
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