袁海军

    本节内容是历年高考的热点，主要有三种题型：一是与三角函数相结合，通过三角恒等变换进行化简求值，然后利用正弦、余弦定理求解边长，角度，周长，面积等;二是与平面向量、不等式相结合，利用向量数量积运算，不等式性质判断三角形的形状或结合正弦、余弦定理化简求值，这两种题型一般难度不大，属中档题目;三是运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

    题型一、直接利用正弦、余弦定理解三角形

    例1 在？驻ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，

    且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

    （Ⅰ）求A的大小;

    （Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断？驻ABC的形状.

    解析 （Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，

    即a2=b2+c2+bc.

    由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

    故cosA=-，A=120°.

    （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.

    又sinB+sinC=1，得sinB·sinC=，即sinB=sinC=.

    因为0°

    故B=C=30°.

    所以？驻ABC是等腰的钝角三角形.

    点评 此题难度较低，解题切入点较为容易，运用正弦、余弦定理解三角形时，要分清条件和目标，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 这类题型一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.

    例2 在？驻ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，

    且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

    解析 此题多数考生反应不知从何入手，对已知条件（1）a2-c2=2b左边是二次的，右边是一次的，考生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2）sinAcosC=3cosAsinC直觉上过多的关注两角和与差的正弦公式或用正切公式，甚至有的考生还想用现在已经不再考的积化和差，将思路复杂化，从而导致找不到突破口而失分.事实上此题直接同步使用正弦、余弦定理即可.

    解法一：在？驻ABC中，∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：a·=3·c化简并整理得：2（a2-c2）=b2.

    又由已知a2-c2=2b，∴4b=b2.解得b=4或b=0（舍）.

    解法二：由余弦定理得：a2-c2=b2-2bccosA.又a2-c2=2b，b≠0.

    所以b=2ccosA+2…………………………………①

    又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC.

    sin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC.

    由正弦定理得sinB=sinC，故b=4ccosA………………②

    由①②，解得b=4.

    点评 高考考纲中就明确提出要加强对正弦、余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高考生自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，（如和差化积、积化和差）不必过于强化.

    题型二、利用正弦、余弦定理结合平面向量、不等式、数列解三角形

    例3 已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.

    解析 设最小边长为a，则另两边为a，2a.

    所以最大角余弦cos？琢==-.

    点评 本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度偏易.

    例4 在△ABC中，已知·=3·.

    （1）求证：tanB=3tanA;

    （2）若cosC=，求A的值.

    解析 （1）∵·=3·，∴AB·ACcosA=3BA·BCcosB，

    即ACcosA=3BCcosB.

    又由正弦定理，得=，∴sinBcosA=3sinAcosB.

    又∵00，cosB>0.

    ∴=3，即tanB=3tanA.

    （2）∵cosC=，0

    ∴tan[？仔-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2.∴=-2.

    由（1），得=-2，解得tanA=1，tanA=-.

    ∵cosA>0，∴tanA=1，∴A=.

    点评 此题将平面向量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，正弦定理解三角形.（1）先将·=3·表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.（2）由cosC=，可求tanC，由三角形三角关系，得到tanC=tan[？仔-（A+B）]，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值.

    题型三、利用三角公式、正弦、余弦定理等知识解决实际问题

    （1）关于测量长度、高度问题

    例5 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=？琢，∠ADE=？茁.

    （1）该小组已经测得一组？琢、？茁的值，tan？琢=1.24，tan？茁=1.20，请据此算出H的值;

    （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使？琢与？茁之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，？琢-？茁最大？

    解析

    （1）=tan？茁？圯AD=，同理：AB=，BD=.

    AD-AB=DB，故得-=，解得：H==124.

    因此，算出的电视塔的高度H是124m.

    （2）由题设知d=AB，得tan？琢=，tan？茁===，

    tan（？琢-？茁）====.

    d+≥2，（当且仅d===55当时，取等号）

    故当d=55时，tan（？琢-？茁）最大.

    因为0<？茁<？琢<，则0<？琢-？茁<，所以当d=55时，？琢-？茁最大.

    故所求的d是55m.

    点评 本题考查解三角形的实际应用，重点两角差的正切及不等式的应用.

    （1）在Rt△ABE中可得AB=，在Rt△ADE中可得AD=，在Rt△BCD中可得BD=，再根据AD-AB=DB即可得到H.

    （2）先用d分别表示出tan？琢和tan？茁，再根据两角和公式，求得tan（？琢-？茁）=，再根据均值不等式可知当d=55时，tan（？琢-？茁）有最大值即tan（？琢-？茁）有最大值，得到答案.

    （2）关于测量角度、高度问题

    例6 某人骑自行车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶6km后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为15°，求此山的高度CD.（精确到0.1km）（参考数据≈1.41，≈1.73）

    解析 在？驻ABC中，∠A=30°，∠C=75°-30°=45°，

    由=

    ？圯BC==3km.

    在Rt？驻BCD中，有CD=BC·tan∠DBC=3·（2-）=6-3≈1.0km.

    点评 本题涉及测量高度和角度.由于边、角测量不在同一平面内，需作立体图形的直观图，借助不同平面的三角形边角关系求解.此题先作出直观图：由已知条件，容易求出有关的角，再求出BC的长，进而求出高CD.

    注意：在测量与几何有关的计算通常要尽可能画出示意图;测量底部不可到达点的高度，通常要在基线上选两个观察点，在同一平面内至少测量三个数据（角边角），解两个三角形;若是直角三角形，求解更便捷.

    （3）关于求行驶（航行）角度、追击（相遇）时间问题

    例7 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到B，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=.

    （1）求索道AB的长;

    （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

    （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

    解析 （1）在？驻ABC中，∵cosA=，cosC=，

    ∴A、C∈（0，），∴sinA=，sinC=.

    ∴sinB=sin[？仔-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=.

    根据=得AB=sinC=1040m.

    （2）设乙出发t分钟后，甲.乙距离为d，此时甲行走了（100+50t）m，乙距离A处（130t）m.

    则由余弦定理得：d2=（130t）2+（100+50t）2-2×130t×（100+50t）×.

    ∴d2=200（37t2-70t+50）.

    ∵0≤t≤，即0≤t≤8，

    ∴t=时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.

    （3）由正弦定理=，得BC=sinA==500m.

    因为当乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C处，

    设乙的步行速度为V m/min，则-≤3，

    ∴-3≤-≤3，∴≤v≤.

    ∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[，]范围内.

    点评 此题将解三角形、构造函数求最值、解不等式等知识综合在一起考查，对考生有一定的难度，实质是解三角形求距离问题;关于求距离问题要注意两点：①要选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解，若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解.②要确定用正弦定理，还是余弦定理，如果都可以用，则选择更便于计算的定理.

    例8 某补给船在A岛南偏西50°相距12海里的B处，发现货船正由A岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行.问补给船需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时赶上货船补充养料.（参考数据：sin53°≈，sin37°≈）

    解析 在△ABC中，∠BAC=180°-50°-10°=120°，由余弦定理得：

    BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC

    =202+122-2×12×20×（-）=784，

    ∴BC=28.

    ∴补给船的追赶速度为14 海里/小时.

    又在△ABC中由正弦定理得：

    =，故sinB==.

    得：∠B≈37°，航向为：50°-37°=13°，故补给船行驶的方向约为北偏东13°.

    点评 解好本题需明确“方向角”这一概念，方向角是相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等.此题先利用方向角求内角，再用余弦定理、正弦定理求解.

    注意区别：方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，其范围是（0°，360°）.

    知识小结：应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤：

    1. 分析：认真审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图;

    2. 建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程（组）;

    3. 求解：选择相适应的三角公式、正弦、余弦定理及面积公式等有序的解出三角形，求得数学模型的解.

    4. 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

    题型四、探析正弦、余弦定理的来源，回归定义.

    例9 叙述并证明余弦定理.

    解析 叙述：

    余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

    a2=b2+c2-2bccosA，

    b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2abcosC.

    证明：（证法一）如图，a2==（-）·（-）

    =-2·+=-2·cosA+

    =b2-2bccosA+c2，

    即a2=b2+c2-2bccosA.

    同理可证b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2cacosC.

    （证法二）已知？驻ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），

    ∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A

    =b2+c2-2bccosA，

    即a2=b2+c2-2bccosA.

    同理可证，b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2abcosC.

    点评 本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视公式定理的产生背景、推理论证及理解，强化基础知识的学习和巩固.

    （作者单位：厦门大学附属实验中学）

    责任编校 ? 徐国坚

    注意区别：方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，其范围是（0°，360°）.

    知识小结：应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤：

    1. 分析：认真审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图;

    2. 建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程（组）;

    3. 求解：选择相适应的三角公式、正弦、余弦定理及面积公式等有序的解出三角形，求得数学模型的解.

    4. 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

    题型四、探析正弦、余弦定理的来源，回归定义.

    例9 叙述并证明余弦定理.

    解析 叙述：

    余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

    a2=b2+c2-2bccosA，

    b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2abcosC.

    证明：（证法一）如图，a2==（-）·（-）

    =-2·+=-2·cosA+

    =b2-2bccosA+c2，

    即a2=b2+c2-2bccosA.

    同理可证b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2cacosC.

    （证法二）已知？驻ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），

    ∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A

    =b2+c2-2bccosA，

    即a2=b2+c2-2bccosA.

    同理可证，b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2abcosC.

    点评 本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视公式定理的产生背景、推理论证及理解，强化基础知识的学习和巩固.

    （作者单位：厦门大学附属实验中学）

    责任编校 ? 徐国坚

    注意区别：方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，其范围是（0°，360°）.

    知识小结：应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤：

    1. 分析：认真审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图;

    2. 建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程（组）;

    3. 求解：选择相适应的三角公式、正弦、余弦定理及面积公式等有序的解出三角形，求得数学模型的解.

    4. 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

    题型四、探析正弦、余弦定理的来源，回归定义.

    例9 叙述并证明余弦定理.

    解析 叙述：

    余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

    a2=b2+c2-2bccosA，

    b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2abcosC.

    证明：（证法一）如图，a2==（-）·（-）

    =-2·+=-2·cosA+

    =b2-2bccosA+c2，

    即a2=b2+c2-2bccosA.

    同理可证b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2cacosC.

    （证法二）已知？驻ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），

    ∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A

    =b2+c2-2bccosA，

    即a2=b2+c2-2bccosA.

    同理可证，b2=c2+a2-2cacosB，

    c2=a2+b2-2abcosC.

    点评 本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视公式定理的产生背景、推理论证及理解，强化基础知识的学习和巩固.

    （作者单位：厦门大学附属实验中学）

    责任编校 ? 徐国坚

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