| 标题 | 探究——发现在解决教学重点难点中的应用 |
| 范文 | 杨东兴 教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，运用公式进行简单的计算. 3.在计算中发现规律，并用符号表示，体会数学的简洁美. 教学重点：平方差公式的推导和应用. 教学难点：理解平方差公式并灵活运用平方差公式进行简单的计算，并能判断在何种情况下可以利用公式. 教学过程： 一、教师引领 自主探究 问题1：（算一算） 师：我们学习过了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.请大家应用所学的知识，自己来完成下面的问题： （1）（x+1）（x-1）= （2） （m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= 师：谁说说各题的结果？ 生1：（x+1）（x-1）=x2 -1 （m+2）（m-2）= m2 -4 （2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 师：在（m+2）（m-2）= m2 -4等式中，4可以写成几平方？ 生：2的平方. 师:也就是说（m+2）（m-2）= m2 -22 （2x+1）（2x-1）= （2x）2 -12 问题2：（猜一猜） 师：大家结合上面的计算结果，不计算，通过观察、比较，你来猜一下下面式子的结果. （1）（x+6）（x-6）= （2）（a+2）（a-2）= （3）（x+y）（x-y）= 师：谁大胆猜猜各题的结果？说出你猜想的依据. 生：根据（m+2）（m+2）= m2 -22 这个式子的特点，我的猜想结果是这样的: （1）（x+6）（x-6）= x2 -62 = x2 -36 （2）（a+2）（a-2）= a2 -22 = a2 -4 （3）（x+y）（x-y）= x2 -y2 师：大家说他回答得好吗？ 生：很好. 师：生3同学善于观察、善于思考、善于发现，回答得很精彩.大家要向他学习. 问题3：（说一说） 师：从上面的运算中大家发现了什么规律？ 生: （a+b）（a-b）= a2 -b2. 师：请王小明同学用自己的语言叙述所发现的规律. 生:两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差. 师:方才王小明同学表述得很流利.大家仔细分析一下，他表述的符合这个等式的含义吗？如不符合，应该怎样说？ 生:不对呀，应该表述成：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，就差一个字. 师：你说得真有道理，你表述得也太科学了.一字之差，有时就会导致错误.可见科学来不得半点差错，一定认真思考、斟酌. 师:大家看一下这个等式结构特征.等式左边意思是？ 生：两个数的和乘以这两个数的差. 师：等式右边的意思是？ 生：这两个数的平方差. 师：大家说得都对.这个等式就叫平方差公式.是本节课学习的重点.大家一定要理解记忆. 问题4：（数形结合，推理论证） 师：你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？ 生：左边阴影部分面积等于右边阴影部分图形的面积.即（a+b）（a-b）= a2 -b2 . 师：很好，根据几何图形面积相等也论证了（a+b）（a-b）= a2 -b2 这个规律是正确的. 师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式.） 请学生快速记住公式，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算.在此基础上，让学生用自己语言叙述公式.师生共同得出相同项的平方减去不同项绝对值的平方. 二、师生互动，应用提升 师：现在我来解决一下课前的简算问题，你们现在知道该如何简算了吧，15秒内抢答. 生：（快速进行计算，并得出结果.） 第一小组：3999999. 第三小组:999996. 下面请同学们一起练习几道题，看你们是否能很快地做出来呢？ 例1：运用平方差公式计算： （1）（5x+7）（5x-7） （2）（x+5y）（x-5y） 师：这两个题目是否符合平方差公式特征？（学生回答后，教师板书解题过程.） 师：下面我们再巩固一下，请大家试一试，口算： 练一练：（1）（x+y）（x-y） （2）（x+2）（x-2） （3）（ab+c）（ab-c） （4）（m+3n）（m-3n） 生：各小组抢答（准确率很高）. 例2：计算（1） （5m+2y）（5m-2y） （2） （3y-2）（2-3y） （3） （-3+x）（-3-x） 教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么.（巡视学生解题情况.） 师：哪组同学愿意把你的计算结果展示给大家？ 生：（1）题能运用平方差公式，5m相当于a，2y相当于b. 师：大家判断得很准确，第（2）题呢？ 生：不可以运用平方差进行计算，3y与-3y是互为相反数，2与-2也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算. 师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.同学们考虑一下（3）题呢？ 生：能运用平方差公式计算，-3相当于a，x相当于b. 师：很好！大家掌握得非常扎实. 三、展示交流，突破难点（大屏幕打出） 1. 判断下列多项式的乘法是否能用平方差公式计算.若能，请计算出结果；若不能，请说明理由. （1）（a+5）（a-5） （2）（2a+3b）（3a-2b） （3）[1+（x+y）][1-（x+y）] （4）（a-x）（-a-x） 2. 用平方差公式计算： （1）（a+3）（a-3） （2）（2a+3b）（2a-3b） （3）（a+5b）（a-5b） （4）（-5y-4x）（4x-5y） 让学生在练习本上计算，教师巡视各小组解题情况，每题让不同小组学生进行板演. 3. 用简便方法计算： （1）102×98 （2）201×199 4. 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，东西要加长两米，而南北要缩短两米，问改造后的面积是多少？（教师巡视学生练习情况，请各小组不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法.） 四、反思总结，质疑求学 师：我们能不能总结一下利用平方差公式计算应注意什么？学生发言后，小结: （1）公式中的字母a、b 可以表示数，也可以表示数的单项式，多项式即整式. （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式. （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形就能应用公式. 师：这节课你有什么收获和体会？（学生以小组为单位，谈一谈通过本节课的学习你有哪些收获？） 生：（谈收获和体会.） 师：1. 什么是平方差公式？ 2. 运用公式要注意什么？ 五、布置作业，拓展新知 1. 运用平方差公式计算： （1）（2a-3b）（3b+2a） （2）（-1+3x）（-1-3x） 2. 计算： （1）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x+y） （2）（2a-b）（2a+b）-（2b-3a）（3a+2b） 1
教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，运用公式进行简单的计算. 3.在计算中发现规律，并用符号表示，体会数学的简洁美. 教学重点：平方差公式的推导和应用. 教学难点：理解平方差公式并灵活运用平方差公式进行简单的计算，并能判断在何种情况下可以利用公式. 教学过程： 一、教师引领 自主探究 问题1：（算一算） 师：我们学习过了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.请大家应用所学的知识，自己来完成下面的问题： （1）（x+1）（x-1）= （2） （m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= 师：谁说说各题的结果？ 生1：（x+1）（x-1）=x2 -1 （m+2）（m-2）= m2 -4 （2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 师：在（m+2）（m-2）= m2 -4等式中，4可以写成几平方？ 生：2的平方. 师:也就是说（m+2）（m-2）= m2 -22 （2x+1）（2x-1）= （2x）2 -12 问题2：（猜一猜） 师：大家结合上面的计算结果，不计算，通过观察、比较，你来猜一下下面式子的结果. （1）（x+6）（x-6）= （2）（a+2）（a-2）= （3）（x+y）（x-y）= 师：谁大胆猜猜各题的结果？说出你猜想的依据. 生：根据（m+2）（m+2）= m2 -22 这个式子的特点，我的猜想结果是这样的: （1）（x+6）（x-6）= x2 -62 = x2 -36 （2）（a+2）（a-2）= a2 -22 = a2 -4 （3）（x+y）（x-y）= x2 -y2 师：大家说他回答得好吗？ 生：很好. 师：生3同学善于观察、善于思考、善于发现，回答得很精彩.大家要向他学习. 问题3：（说一说） 师：从上面的运算中大家发现了什么规律？ 生: （a+b）（a-b）= a2 -b2. 师：请王小明同学用自己的语言叙述所发现的规律. 生:两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差. 师:方才王小明同学表述得很流利.大家仔细分析一下，他表述的符合这个等式的含义吗？如不符合，应该怎样说？ 生:不对呀，应该表述成：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，就差一个字. 师：你说得真有道理，你表述得也太科学了.一字之差，有时就会导致错误.可见科学来不得半点差错，一定认真思考、斟酌. 师:大家看一下这个等式结构特征.等式左边意思是？ 生：两个数的和乘以这两个数的差. 师：等式右边的意思是？ 生：这两个数的平方差. 师：大家说得都对.这个等式就叫平方差公式.是本节课学习的重点.大家一定要理解记忆. 问题4：（数形结合，推理论证） 师：你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？ 生：左边阴影部分面积等于右边阴影部分图形的面积.即（a+b）（a-b）= a2 -b2 . 师：很好，根据几何图形面积相等也论证了（a+b）（a-b）= a2 -b2 这个规律是正确的. 师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式.） 请学生快速记住公式，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算.在此基础上，让学生用自己语言叙述公式.师生共同得出相同项的平方减去不同项绝对值的平方. 二、师生互动，应用提升 师：现在我来解决一下课前的简算问题，你们现在知道该如何简算了吧，15秒内抢答. 生：（快速进行计算，并得出结果.） 第一小组：3999999. 第三小组:999996. 下面请同学们一起练习几道题，看你们是否能很快地做出来呢？ 例1：运用平方差公式计算： （1）（5x+7）（5x-7） （2）（x+5y）（x-5y） 师：这两个题目是否符合平方差公式特征？（学生回答后，教师板书解题过程.） 师：下面我们再巩固一下，请大家试一试，口算： 练一练：（1）（x+y）（x-y） （2）（x+2）（x-2） （3）（ab+c）（ab-c） （4）（m+3n）（m-3n） 生：各小组抢答（准确率很高）. 例2：计算（1） （5m+2y）（5m-2y） （2） （3y-2）（2-3y） （3） （-3+x）（-3-x） 教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么.（巡视学生解题情况.） 师：哪组同学愿意把你的计算结果展示给大家？ 生：（1）题能运用平方差公式，5m相当于a，2y相当于b. 师：大家判断得很准确，第（2）题呢？ 生：不可以运用平方差进行计算，3y与-3y是互为相反数，2与-2也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算. 师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.同学们考虑一下（3）题呢？ 生：能运用平方差公式计算，-3相当于a，x相当于b. 师：很好！大家掌握得非常扎实. 三、展示交流，突破难点（大屏幕打出） 1. 判断下列多项式的乘法是否能用平方差公式计算.若能，请计算出结果；若不能，请说明理由. （1）（a+5）（a-5） （2）（2a+3b）（3a-2b） （3）[1+（x+y）][1-（x+y）] （4）（a-x）（-a-x） 2. 用平方差公式计算： （1）（a+3）（a-3） （2）（2a+3b）（2a-3b） （3）（a+5b）（a-5b） （4）（-5y-4x）（4x-5y） 让学生在练习本上计算，教师巡视各小组解题情况，每题让不同小组学生进行板演. 3. 用简便方法计算： （1）102×98 （2）201×199 4. 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，东西要加长两米，而南北要缩短两米，问改造后的面积是多少？（教师巡视学生练习情况，请各小组不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法.） 四、反思总结，质疑求学 师：我们能不能总结一下利用平方差公式计算应注意什么？学生发言后，小结: （1）公式中的字母a、b 可以表示数，也可以表示数的单项式，多项式即整式. （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式. （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形就能应用公式. 师：这节课你有什么收获和体会？（学生以小组为单位，谈一谈通过本节课的学习你有哪些收获？） 生：（谈收获和体会.） 师：1. 什么是平方差公式？ 2. 运用公式要注意什么？ 五、布置作业，拓展新知 1. 运用平方差公式计算： （1）（2a-3b）（3b+2a） （2）（-1+3x）（-1-3x） 2. 计算： （1）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x+y） （2）（2a-b）（2a+b）-（2b-3a）（3a+2b） 1
教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，运用公式进行简单的计算. 3.在计算中发现规律，并用符号表示，体会数学的简洁美. 教学重点：平方差公式的推导和应用. 教学难点：理解平方差公式并灵活运用平方差公式进行简单的计算，并能判断在何种情况下可以利用公式. 教学过程： 一、教师引领 自主探究 问题1：（算一算） 师：我们学习过了整式的乘法，知道了两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.请大家应用所学的知识，自己来完成下面的问题： （1）（x+1）（x-1）= （2） （m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= 师：谁说说各题的结果？ 生1：（x+1）（x-1）=x2 -1 （m+2）（m-2）= m2 -4 （2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 师：在（m+2）（m-2）= m2 -4等式中，4可以写成几平方？ 生：2的平方. 师:也就是说（m+2）（m-2）= m2 -22 （2x+1）（2x-1）= （2x）2 -12 问题2：（猜一猜） 师：大家结合上面的计算结果，不计算，通过观察、比较，你来猜一下下面式子的结果. （1）（x+6）（x-6）= （2）（a+2）（a-2）= （3）（x+y）（x-y）= 师：谁大胆猜猜各题的结果？说出你猜想的依据. 生：根据（m+2）（m+2）= m2 -22 这个式子的特点，我的猜想结果是这样的: （1）（x+6）（x-6）= x2 -62 = x2 -36 （2）（a+2）（a-2）= a2 -22 = a2 -4 （3）（x+y）（x-y）= x2 -y2 师：大家说他回答得好吗？ 生：很好. 师：生3同学善于观察、善于思考、善于发现，回答得很精彩.大家要向他学习. 问题3：（说一说） 师：从上面的运算中大家发现了什么规律？ 生: （a+b）（a-b）= a2 -b2. 师：请王小明同学用自己的语言叙述所发现的规律. 生:两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差. 师:方才王小明同学表述得很流利.大家仔细分析一下，他表述的符合这个等式的含义吗？如不符合，应该怎样说？ 生:不对呀，应该表述成：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，就差一个字. 师：你说得真有道理，你表述得也太科学了.一字之差，有时就会导致错误.可见科学来不得半点差错，一定认真思考、斟酌. 师:大家看一下这个等式结构特征.等式左边意思是？ 生：两个数的和乘以这两个数的差. 师：等式右边的意思是？ 生：这两个数的平方差. 师：大家说得都对.这个等式就叫平方差公式.是本节课学习的重点.大家一定要理解记忆. 问题4：（数形结合，推理论证） 师：你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？ 生：左边阴影部分面积等于右边阴影部分图形的面积.即（a+b）（a-b）= a2 -b2 . 师：很好，根据几何图形面积相等也论证了（a+b）（a-b）= a2 -b2 这个规律是正确的. 师：这个内容就是我们今天要研究的内容.（板书课题：平方差公式.） 请学生快速记住公式，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算.在此基础上，让学生用自己语言叙述公式.师生共同得出相同项的平方减去不同项绝对值的平方. 二、师生互动，应用提升 师：现在我来解决一下课前的简算问题，你们现在知道该如何简算了吧，15秒内抢答. 生：（快速进行计算，并得出结果.） 第一小组：3999999. 第三小组:999996. 下面请同学们一起练习几道题，看你们是否能很快地做出来呢？ 例1：运用平方差公式计算： （1）（5x+7）（5x-7） （2）（x+5y）（x-5y） 师：这两个题目是否符合平方差公式特征？（学生回答后，教师板书解题过程.） 师：下面我们再巩固一下，请大家试一试，口算： 练一练：（1）（x+y）（x-y） （2）（x+2）（x-2） （3）（ab+c）（ab-c） （4）（m+3n）（m-3n） 生：各小组抢答（准确率很高）. 例2：计算（1） （5m+2y）（5m-2y） （2） （3y-2）（2-3y） （3） （-3+x）（-3-x） 教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么.（巡视学生解题情况.） 师：哪组同学愿意把你的计算结果展示给大家？ 生：（1）题能运用平方差公式，5m相当于a，2y相当于b. 师：大家判断得很准确，第（2）题呢？ 生：不可以运用平方差进行计算，3y与-3y是互为相反数，2与-2也是互为相反数，所以，不能用平方差公式进行计算，运用多项式乘法计算. 师：这道题只能运用多项式乘法来进行计算了.同学们考虑一下（3）题呢？ 生：能运用平方差公式计算，-3相当于a，x相当于b. 师：很好！大家掌握得非常扎实. 三、展示交流，突破难点（大屏幕打出） 1. 判断下列多项式的乘法是否能用平方差公式计算.若能，请计算出结果；若不能，请说明理由. （1）（a+5）（a-5） （2）（2a+3b）（3a-2b） （3）[1+（x+y）][1-（x+y）] （4）（a-x）（-a-x） 2. 用平方差公式计算： （1）（a+3）（a-3） （2）（2a+3b）（2a-3b） （3）（a+5b）（a-5b） （4）（-5y-4x）（4x-5y） 让学生在练习本上计算，教师巡视各小组解题情况，每题让不同小组学生进行板演. 3. 用简便方法计算： （1）102×98 （2）201×199 4. 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，东西要加长两米，而南北要缩短两米，问改造后的面积是多少？（教师巡视学生练习情况，请各小组不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法.） 四、反思总结，质疑求学 师：我们能不能总结一下利用平方差公式计算应注意什么？学生发言后，小结: （1）公式中的字母a、b 可以表示数，也可以表示数的单项式，多项式即整式. （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式. （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形就能应用公式. 师：这节课你有什么收获和体会？（学生以小组为单位，谈一谈通过本节课的学习你有哪些收获？） 生：（谈收获和体会.） 师：1. 什么是平方差公式？ 2. 运用公式要注意什么？ 五、布置作业，拓展新知 1. 运用平方差公式计算： （1）（2a-3b）（3b+2a） （2）（-1+3x）（-1-3x） 2. 计算： （1）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x+y） （2）（2a-b）（2a+b）-（2b-3a）（3a+2b） 1
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